双曲多様体

数学において、双曲多様体とは、あらゆる点が局所的に何らかの次元の双曲空間のように見える空間である。これらは特に次元 2 と 3 で研究され、それぞれ双曲面と双曲 3 次元多様体と呼ばれる。これらの次元では、ほとんどの多様体は同相写像によって双曲多様体にすることができるため、これらは重要である。これは、ペレルマンによって証明された曲面の均一化定理と3 次元多様体の幾何化定理の結果である。

双曲型-多様${\displaystyle n}$体は、断面曲率が一定である完全なリーマン-多様体${\displaystyle n}$です。 ${\displaystyle -1}$

負の定曲率を持つすべての完備で連結な単連結多様体は、実双曲空間 に等長です。その結果、負の定曲率を持つ任意の閉多様体の普遍被覆はです。したがって、そのようなすべてのは と書くことができます。ここでは 上の等長写像の捩れのない離散群です。つまり、は の離散部分群です。多様体が有限体積を持つのは、 が格子である場合に限ります。 ${\displaystyle -1}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}/\Gamma }$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \mathrm {SO} _{1,n}^{+}\mathbb {R} }$${\displaystyle \ガンマ}$

その厚い部分と薄い部分の分解では、閉じた測地線の管状の近傍と、ユークリッド ( ) 多様体と閉じた半直線の積である端からなる薄い部分があります。多様体の厚い部分がコンパクトな場合のみ、多様体の体積は有限です。 ${\displaystyle n-1}$

双曲多様体の最も単純な例は双曲空間です。双曲空間内の各点には、双曲空間に等長な近傍が存在するからです。

しかし、単純で重要な例として、一度穴を開けたトーラスがあります。これは、 (Isom( ), )-多様体${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$の例です。これは、 の理想的な長方形 (つまり、頂点が無限遠の境界上にある長方形で、結果として得られる多様体には存在しない) を取り、反対の像を識別することによって形成できます。 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$

同様に、2 つの理想三角形を接着することで、以下に示す 3 度穴が開いた球面を作成できます。これは、表面に曲線を描く方法も示しています。図の黒い線は、緑の辺を接着すると閉じた曲線になります。穴が開いた球面を扱っているため、表面にある色の付いた円 (境界を含む) は表面の一部ではなく、そのため図では理想頂点として表されています。

8の字結び目やボロミアン環などのいくつかの単純な結び目を含む多くの結び目やリンクは双曲型であるため、 の結び目やリンクの補集合は有限体積の双曲型 3 次元多様体になります。 ${\displaystyle S^{3}}$

有限体積の双曲型多様体上の双曲型構造はモストウ剛性によって一意であるため、幾何学的不変量は実際には位相的不変量です。位相的不変量として使用されるこれらの幾何学的不変量の 1 つは、結び目またはリンク補集合の双曲型体積であり、これにより、それぞれの多様体の幾何学を調べることで 2 つの結び目を区別できます。 ${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n}$

• 双曲型3次元多様体
• 双曲空間
• 双曲化定理
• マーギュリスの補題
• 通常双曲不変多様体

• カポビッチ、マイケル (2009) [2001]、「双曲多様体と離散群」、モダン・バークハウザー・クラシックス、ボストン、マサチューセッツ州：バークハウザー・ボストン、doi：10.1007/978-0-8176-4913-5、ISBN 978-0-8176-4912-8、MR  1792613
• マクラクラン、コリン; リード、アラン W. (2003)、「双曲型 3 次元多様体の算術」、Graduate Texts in Mathematics、第 219 巻、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98386-8、MR  1937957
• ラトクリフ、ジョン G. (2006) [1994]、「双曲多様体の基礎」、Graduate Texts in Mathematics、第 149 巻 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-0-387-47322-2、ISBN 978-0-387-33197-3、MR  2249478