連結した束

数学、特に代数幾何学や複素多様体の理論において、連接層は、基礎となる空間の幾何学的性質と密接に関連する層のクラスである。連接層の定義は、この幾何学的情報を符号化する環の層を参照して行われる。

連接層はベクトル束の一般化と見なすことができる。ベクトル束とは異なり、連接層はアーベル圏を形成するため、核、像、余核を取るなどの操作に関して閉じている。 準連接層は連接層の一般化であり、無限階数の局所自由層を含む。

連接層コホモロジーは、特に与えられた連接層の切断を研究するための強力な手法である。

環状空間上の準連接層${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$束$\displaystyle {\mathcal {F}}}$の${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-ローカル表現を持つモジュール、つまり、${\displaystyle X}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$正確な数列が存在する

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

いくつかの（おそらく無限の）集合に対して${\displaystyle I}$そして${\displaystyle J}$。

環状空間上の連結層${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$束$\displaystyle {\mathcal {F}}}$の${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-次の2つの特性を満たすモジュール：

1. $\displaystyle {\mathcal {F}}}$は有限型である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$つまり、${\displaystyle X}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$で${\displaystyle X}$射影写像が存在する$\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$ある自然数に対して${\displaystyle n}$;
2. 任意の開集合に対して${\displaystyle U\subseteq X}$任意の自然数${\displaystyle n}$、および任意の射${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U} }${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール、カーネル${\displaystyle \varphi }$有限型である。

（準）連接層間の射は、層の射と同じである。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール。

任意の環空間では、準連接層は必ずしもアーベル圏を形成するとは限らない。一方、任意のスキーム上の準連接層はアーベル圏を形成し、その文脈では非常に有用である。^{[ 2 ]}

リングで囲まれたスペース${\displaystyle X}$連接層はアーベル圏を形成し、圏の完全部分圏となる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール。^{[ 3 ]} （同様に、任意の環上のコヒーレントモジュールの圏は${\displaystyle A}$は、すべての の圏の完全アーベル部分圏である。${\displaystyle A}$（モジュール）したがって、連接層の任意の写像の核、像、および余核は連接である。2つの連接層の直和は連接である。より一般的には、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$2 つの連接層の拡張である加群は連接である。^{[ 4 ]}

連接層のサブモジュールは、有限型であれば連接である。連接層は常に${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-有限表示のモジュール、つまり各点${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$そのため、制限${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$の$\displaystyle {\mathcal {F}}}$に${\displaystyle U}$射の余核と同型である${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$ある自然数に対して${\displaystyle n}$そして${\displaystyle m}$。 もし${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$がコヒーレントであれば、逆に、上の有限表示のすべての層は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$首尾一貫している。

指輪の束${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$複素解析空間上の加群の層として考えた場合に、それがコヒーレントであるならば、それはコヒーレントであると呼ばれる。特に、岡のコヒーレンス定理は、複素解析空間上の正則関数の層がコヒーレントであることを述べている。${\displaystyle X}$これは環の連接層である。証明の主要部分は次のケースである。${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$同様に、局所的にネーター的なスキームでは${\displaystyle X}$構造束${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$は環の連接層である。^{[ 5 ]}

• 1${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール$\displaystyle {\mathcal {F}}}$環状スペース上${\displaystyle X}$は、すべての点が であるとき、有限ランクの局所自由またはベクトル束と呼ばれます。${\displaystyle X}$開放的な近隣地域${\displaystyle U}$そのため、制限${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$は、コピーの有限直和と同型である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$。 もし $\displaystyle {\mathcal {F}}}$同じランクの自由${\displaystyle n}$ほぼすべてのポイント${\displaystyle X}$すると、ベクトルバンドル$\displaystyle {\mathcal {F}}}$地位が高いと言われている${\displaystyle n}$。

スキーム上の層理論的な意味でのベクトル束${\displaystyle X}$は、より幾何学的な方法で定義されたベクトル束と等価であり、スキームとして定義されます。${\displaystyle E}$射を伴う${\displaystyle \pi :E\to X}$そして覆い付き${\displaystyle X}$オープンセットによる$\displaystyle U_{\alpha }}$与えられた同型性を用いて${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$以上${\displaystyle U_{\alpha }}$交差上の2つの同型写像が${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$線形自己同型によって異なる。^{[ 6 ]}（同様の同値性は複素解析空間にも当てはまる。）例えば、ベクトル束が与えられた場合${\displaystyle E}$この幾何学的意味では、対応する層${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、開集合上で定義される。${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$、${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$-モジュール${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$は射のセクションの集合である${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$ベクトル束の層論的解釈には、ベクトル束（局所的にネーター的なスキーム上）が連接層のアーベル圏に含まれるという利点がある。

• 現地で無料のシーブには標準装備されています${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール操作ですが、これらは局所的に自由な層を返します。

• させて${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$、${\displaystyle R}$ネーター環。次にベクトル束${\displaystyle X}$は、有限生成射影加群に関連付けられた層に正確に対応します。${\displaystyle R}$または（同等に）有限生成フラットモジュール${\displaystyle R}$[ ^{7 ]​}
• させて${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$、${\displaystyle R}$ネーター主義者${\displaystyle \mathbb {N} }$次数付き環、ネーター環上の射影スキーム${\displaystyle R_{0}}$.次にそれぞれ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-評価済み${\displaystyle R}$-モジュール${\displaystyle M}$準連接層を決定する${\displaystyle {\mathcal {F}}}$の上${\displaystyle X}$そのため${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$束は${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$-モジュール${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$、 どこ${\displaystyle f}$は均質な要素である${\displaystyle R}$正の度合いで${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$は、${\displaystyle f}$消滅しない。
• 例えば、各整数に対して${\displaystyle n}$、 させて${\displaystyle R(n)}$段階的であることを表す${\displaystyle R}$-モジュールは${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$.次にそれぞれ${\displaystyle R(n)}$準連接層を決定する${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$の上${\displaystyle X}$。 もし${\displaystyle R}$として生成されます${\displaystyle R_{0}}$-代数${\displaystyle R_{1}}$、 それから${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$は線束（可逆層）である。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$は${\displaystyle n}$- 番目のテンソルパワー${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$。 特に、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$射影上のトートロジー線束と呼ばれる${\displaystyle n}$-空間。
• 連接層の簡単な例${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ベクトル束ではないものは、次のシーケンスのコカーネルによって与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

これは${\displaystyle {\mathcal {E}}}$2つの多項式の消滅軌跡に制限すると2次元ファイバーを持ち、それ以外の場所では1次元ファイバーを持つ。

• 理想的な束：もし${\displaystyle Z}$は局所的にネーター的なスキームの閉じた部分スキームである。${\displaystyle X}$束${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$すべての通常の機能が消滅する${\displaystyle Z}$は一貫性がある。同様に、${\displaystyle Z}$は複素解析空間の閉じた解析部分空間である。${\displaystyle X}$理想的な束${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$首尾一貫している。
• 構造束${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$閉鎖型サブスキームの${\displaystyle Z}$局所的にネーター的なスキーム${\displaystyle X}$は、${\displaystyle X}$正確に言うと、これは直接像層です。${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$、 どこ${\displaystyle i:Z\to X}$包含関係は、複素解析空間の閉じた解析部分空間の場合も同様である。層は、${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$開集合内の点において次元ゼロのファイバー（下記で定義）を持つ${\displaystyle X-Z}$、そして、 の点における次元 1 のファイバー${\displaystyle Z}$には、コヒーレント層の短い完全列が存在する。${\displaystyle X}$:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• 線形代数のほとんどの演算は連接層を保存します。特に、連接層の場合、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$そして${\displaystyle {\mathcal {G}}}$環状スペース上${\displaystyle X}$テンソル積層​${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$そして準同型写像の束${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$一貫性がある。^{[ 8 ]}
• 準連接層の単純な非例として、零関数による拡張が挙げられる。例えば、以下を考えてみよう。${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$のために

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^{[ 9 ]}

この層は非自明な茎を持ちながら、大域切断がゼロであるため、準連接層にはなり得ません。これは、アフィンスキーム上の準連接層は、基礎となる環上の加群の圏と同値であり、随伴関係は大域切断を取ることによって得られるためです。

させて${\displaystyle f:X\to Y}$環空間の射（例えば、スキームの射）とする。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は準連接層である${\displaystyle Y}$すると、逆像${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール（またはプルバック）${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$準コヒーレントである${\displaystyle X}$[ ^{10 ]}スキームの射の^場合${\displaystyle f:X\to Y}$そして、まとまりのある束${\displaystyle {\mathcal {F}}}$の上${\displaystyle Y}$プルバック${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$完全な一般性においては一貫性がない（例えば、${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$（これは必ずしもコヒーレントではないかもしれないが）、コヒーレント層の引き戻しは、次の場合にコヒーレントである。${\displaystyle X}$は局所的にネーター的である。重要な特殊なケースとして、ベクトル束の引き戻しがあり、これはベクトル束である。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$は、スキームの準コンパクト準分離射であり、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は準連接層である${\displaystyle X}$すると、直接像層（またはプッシュフォワード）${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$準コヒーレントである${\displaystyle Y}$[ ^{2 ]​}

連接層の直接像は、しばしば連接ではない。例えば、体の場合${\displaystyle k}$、 させて${\displaystyle X}$アフィン直線を上にする${\displaystyle k}$そして射を考える${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$;そして直接像${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$束は${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$多項式環に関連付けられている${\displaystyle k[x]}$これは一貫性がない。${\displaystyle k[x]}$無限次元を持つ${\displaystyle k}$-ベクトル空間。一方、グラウエルトとグロタンディークの結果によれば、適切な射による連接層の直接像は連接である。

連接層の重要な特徴${\displaystyle {\mathcal {F}}}$それは、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ある時点で${\displaystyle x}$動作を制御する${\displaystyle {\mathcal {F}}}$近隣の${\displaystyle x}$任意の層の場合よりも、より当てはまる。例えば、中山の補題は（幾何学的な言葉で）もし${\displaystyle {\mathcal {F}}}$スキーム上のコヒーレント層である${\displaystyle X}$すると繊維${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$の${\displaystyle F}$ある時点で${\displaystyle x}$（剰余体上のベクトル空間）${\displaystyle k(x)}$) がゼロになるのは、層が${\displaystyle {\mathcal {F}}}$あるオープンな近隣ではゼロである${\displaystyle x}$関連する事実として、コヒーレント層のファイバーの次元は上半連続である。^{[ 11 ]}したがって、コヒーレント層は開集合上では一定のランクを持ち、低次元の閉部分集合上ではランクがジャンプする可能性がある。

同じ精神で：まとまりのある束${\displaystyle {\mathcal {F}}}$計画に基づいて${\displaystyle X}$ベクトル束であるのは、その茎が${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ローカルリング上の無料モジュールです${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$すべてのポイントについて${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$[ ^{12 ]​}

一般的なスキームでは、コヒーレント層がベクトル束であるかどうかは、そのファイバー（ストークとは対照的に）だけでは判断できません。しかし、縮小された局所ネーター的スキームでは、コヒーレント層がベクトル束であるのは、そのランクが局所的に一定である場合のみです。^{[ 13 ]}

スキームの射の場合${\displaystyle X\to Y}$、 させて${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$を対角射とする。これは、の場合に閉じた埋め込みとなる。${\displaystyle X}$分離されている${\displaystyle Y}$。 させて${\displaystyle {\mathcal {I}}}$理想的な束である${\displaystyle X}$で${\displaystyle X\times _{Y}X}$微分群${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$プルバックとして定義できる${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$の${\displaystyle {\mathcal {I}}}$に${\displaystyle X}$この束のセクションは、1形式と呼ばれます。${\displaystyle X}$以上${\displaystyle Y}$ローカルに書き込むことができます${\displaystyle X}$有限和として${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$通常の機能${\displaystyle f_{j}}$そして${\displaystyle g_{j}}$。 もし${\displaystyle X}$体上の局所的に有限型である${\displaystyle k}$、 それから${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$は、${\displaystyle X}$。

もし${\displaystyle X}$滑らかです​${\displaystyle k}$、 それから${\displaystyle \Omega ^{1}}$（意味${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$) は、上のベクトル束です。${\displaystyle X}$の余接束と呼ばれる${\displaystyle X}$接線束${\displaystyle TX}$は双対束として定義される${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$。 のために${\displaystyle X}$滑らかにする${\displaystyle k}$寸法${\displaystyle n}$至る所で、接束のランクは${\displaystyle n}$。

もし${\displaystyle Y}$は、滑らかなスキームの滑らかな閉じた部分スキームである。${\displaystyle X}$以上${\displaystyle k}$すると、ベクトル束の短い完全列が存在する。${\displaystyle Y}$:

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

これは正規束の定義として使用できる。${\displaystyle N_{Y/X}}$に${\displaystyle Y}$で${\displaystyle X}$。

スムーズな計画のために${\displaystyle X}$野原を越えて${\displaystyle k}$そして自然数${\displaystyle i}$ベクターバンドル${\displaystyle \Omega ^{i}}$i形式の​${\displaystyle X}$は次のように定義されます。${\displaystyle i}$余接束の 番目の外部べき乗、${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$滑らかなバリエーションのために${\displaystyle X}$寸法${\displaystyle n}$以上${\displaystyle k}$正規バンドル${\displaystyle K_{X}}$ラインバンドルを意味する${\displaystyle \Omega ^{n}}$したがって、標準束のセクションは、上の体積形式の代数幾何学的類似物である。${\displaystyle X}$例えば、アフィン空間の標準束の断面${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$以上${\displaystyle k}$ 次のように書くことができます

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

どこ${\displaystyle f}$は係数が の多項式です${\displaystyle k}$。

させて${\displaystyle R}$可換環であり、${\displaystyle n}$自然数。各整数について。${\displaystyle j}$射影空間上の線束の重要な例がある${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$以上${\displaystyle R}$と呼ばれる${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$これを定義するには、次の射を考えます。${\displaystyle R}$-計画

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}

座標で与えられる${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$（つまり、射影空間をアフィン空間の 1 次元線形部分空間の空間と考え、アフィン空間の非ゼロ点をそれが張る直線に送る。）すると、${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$開集合上${\displaystyle U}$の${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$は正規関数として定義される${\displaystyle f}$の上${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$それは次数が同次である${\displaystyle j}$つまり、

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

通常の関数として (${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$すべての整数について${\displaystyle i}$そして${\displaystyle j}$同型写像が存在する${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$ラインバンドルの${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$。

特に、​${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$学位${\displaystyle j}$以上${\displaystyle R}$グローバルなセクションとして見ることができる${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$以上${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$射影空間の任意の閉部分スキームは、同次多項式の集合の零点集合として定義でき、したがって線束のいくつかのセクションの零点集合として定義できることに注意してください。${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$[ ^{14 ]これは、}閉じた部分スキームが単に正則関数の集合の零点集合であるアフィン空間のより単純な場合とは対照的である。射影空間上の正則関数${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$以上${\displaystyle R}$は単なる「定数」（環）です${\displaystyle R}$）、そのためラインバンドルを扱うことが不可欠です。${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$。

セールは射影空間上のすべての連接層について、アフィン空間の場合よりも微妙な代数的記述を与えた。すなわち、${\displaystyle R}$をネーター環（例えば体）とし、多項式環を考える。${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$それぞれの等級リングとして${\displaystyle x_{i}}$次数が 1 である。すると、すべての有限生成次数付き${\displaystyle S}$-モジュール${\displaystyle M}$関連する連接層を持つ${\displaystyle {\tilde {M}}}$の上${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$以上${\displaystyle R}$. すべての一貫性のある束は${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$有限生成次数からこのようにして生じる${\displaystyle S}$-モジュール${\displaystyle M}$（例えば、ラインバンドル）${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$束は${\displaystyle S}$-モジュール${\displaystyle S}$格付けが引き下げられ${\displaystyle j}$）しかし、${\displaystyle S}$-モジュール${\displaystyle M}$これは、特定のコヒーレント層を生成する。${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$は一意ではありません。変化するまでのみ一意です。${\displaystyle M}$有限個の次数のみで非零となる次数付き加群によって定義される。より正確には、連接層のアーベル圏は、${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$は有限生成次数付きカテゴリの商です${\displaystyle S}$-モジュールは、有限個の次数のみで非零であるモジュールのSerreサブカテゴリによって定義される。 ^{[ 15 ]}

射影空間の接束${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$野原を越えて${\displaystyle k}$ラインバンドルの観点から説明できる${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$すなわち、オイラー数列と呼ばれる短い完全数列が存在する。

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

したがって、正準束は${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$（接束の行列式線束の双対）は以下と同型である${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$これは代数幾何学における基本的な計算です。例えば、標準束が豊富線束の負の倍数であるという事実などが挙げられます。${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$これは、射影空間がファノ多様体であることを意味します。複素数体上では、これは射影空間が正のリッチ曲率を持つケーラー計量を持つことを意味します。

ランク 2 ベクトル束を構築するための有用な手法の 1 つは Serre 構成^{[ 16 ] [ 17 ] pg 3}であり、ランク 2 ベクトル束間の対応関係を確立します。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$滑らかな射影的多様性において${\displaystyle X}$およびコディメンション2のサブバリエーション${\displaystyle Y}$特定のものを使用する${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$-グループは以下に基づいて計算されます${\displaystyle X}$これは、線束に関するコホモロジー条件によって与えられる。${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$（以下を参照してください）。

一方向の対応関係は次のように表されます。${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$消失する位置を関連付けることができます${\displaystyle V(s)\subseteq X}$。 もし${\displaystyle V(s)}$は余次元2の部分多様体である。

1. これは局所的に完全な交差であり、アフィンチャートを取ると、${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$それから${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$関数として表現できる${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$、 どこ${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$そして${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. ラインバンドル${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$標準束と同型である${\displaystyle \omega _{V(s)}}$の上${\displaystyle V(s)}$

反対方向には、^{[ 18 ]}余次元2の部分多様体の場合${\displaystyle Y\subseteq X}$ラインバンドル${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$そのため

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

正準同型が存在する

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$、

これは余次元の包含に関して関数的である${\displaystyle 2}$部分多様体。さらに、左側に与えられた任意の同型写像は、右側の拡大の中央にある局所自由層に対応する。つまり、${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$それは同型写像であり、対応する局所自由層が存在する。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ランク2で、短い正確なシーケンスに適合するもの

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

このベクトル束は、コホモロジー不変量を用いてさらに研究することで、安定かどうかを判断できます。これは、主偏極アーベル多様体^{[ 17 ]}やK3 曲面^{[ 19 ]}など、多くの特定のケースにおける安定ベクトル束のモジュライを研究するための基礎となります。

ベクターバンドル${\displaystyle E}$滑らかな品種${\displaystyle X}$畑の上には、チョウの輪の中にチェンクラスがある${\displaystyle X}$、${\displaystyle c_{i}(E)}$で${\displaystyle CH^{i}(X)}$のために${\displaystyle i\geq 0}$[ ^{20 ]}これらは位相におけるチャーン類と同じ形式的性質を満たす。例えば、任意の短完全列^に対して

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

ベクトルバンドルの${\displaystyle X}$チェルンクラス${\displaystyle B}$は次のように与えられる。

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

したがって、ベクトル束のチャーンクラスは${\displaystyle E}$のみクラスに依存する${\displaystyle E}$グロタンディーク・グループにて${\displaystyle K_{0}(X)}$定義により、スキームの場合${\displaystyle X}$、${\displaystyle K_{0}(X)}$は、ベクトル束の同型類の集合上の自由アーベル群の商である。${\displaystyle X}$関係によって${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$上記のような任意の短い正確なシーケンスに対して。${\displaystyle K_{0}(X)}$一般的に計算が難しいが、代数的K理論は、関連する群の列など、それを研究するための多くのツールを提供する。${\displaystyle K_{i}(X)}$整数の場合${\displaystyle i>0}$。

変種はグループです${\displaystyle G_{0}(X)}$（または${\displaystyle K_{0}'(X)}$)上の連接層のグロタンディーク群${\displaystyle X}$（位相幾何学的には、G理論はスキームに対するボレル・ムーアホモロジー理論の形式的性質を持ち、 K理論は対応するコホモロジー理論である。）自然な準同型${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$同型写像であるのは、${\displaystyle X}$これは、すべての連接層がベクトル束によって有限に分解されることを利用した、通常の分離ネーター的スキームである。 ^{[ 21 ]}例えば、これは体上の滑らかな多様体上の連接層のチャーン類の定義を与える。

より一般的には、ネーター的スキーム${\displaystyle X}$は、上のすべての連接層が分解特性を持つと言われます。${\displaystyle X}$あるベクトル束からの全射を持つ${\displaystyle X}$例えば、ネーター環上のすべての準射影スキームは分解特性を持つ。

ベクトル束と有限定数ランクの局所自由層を互換的に使用する場合は、束準同型と層準同型を区別するように注意する必要があります。具体的には、与えられたベクトル束${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$定義により、束準同型${\displaystyle \varphi :E\to F}$は、上のスキーム射である。${\displaystyle X}$（つまり、${\displaystyle p=q\circ \varphi }$）各幾何学的点について${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$、${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$は、ランクに依存しない線形マップです。${\displaystyle x}$したがって、それは層準同型を誘導する。${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$対応する局所的に自由な定数ランク${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-モジュール（双対セクションの層）。しかし、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-このようにして生じない加群準同型。すなわち、定数ランクを持たないもの。

特に、サブバンドル${\displaystyle E\subseteq F}$は部分層（つまり、${\displaystyle {\mathcal {E}}}$は、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$しかし、その逆は失敗する可能性があります。たとえば、有効なカルティエ除数の場合、${\displaystyle D}$の上${\displaystyle X}$、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}$は部分層ではあるが、通常は部分束ではない（線束には2つの部分束しかないため）。

任意の固定スキーム上の準連接層はアーベル圏を形成する。ガバーは、実際には任意のスキーム上の準連接層が特に性質の良いアーベル圏、すなわちグロタンディーク圏を形成することを示した。^{[ 22 ]}準コンパクト準分離スキーム${\displaystyle X}$（体上の代数多様体など）は、準連接層のアーベル圏によって同型を除いて決定される。${\displaystyle X}$ローゼンバーグによる、ガブリエルの結果を一般化したもの。^{[ 23 ]}

代数幾何学における基本的な技術的ツールは、連接層のコホモロジー理論である。1950年代に導入されたばかりであるが、それ以前の代数幾何学の多くの手法は、連接層に適用された層コホモロジーの言語によって明確化されている。大まかに言えば、連接層コホモロジーは、特定の性質を持つ関数を生成するためのツールと見なすことができる。線束やより一般的な層の切断は、一般化された関数と見なすことができる。複素解析幾何学においても、連接層コホモロジーは基礎的な役割を果たしている。

連接層コホモロジーの中核的な成果には、コホモロジーの有限次元性に関する結果、様々な場合におけるコホモロジーの消滅に関する結果、セール双対性などの双対性定理、ホッジ理論などの位相幾何学と代数幾何学の関係、リーマン・ロッホの定理などの連接層のオイラー特性の公式などがある。

• ピカードグループ
• 除数（代数幾何学）
• 反射的束
• 見積もり制度
• ねじれた束
• 本質的に有限なベクトル束
• 主要部品の束
• ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理
• 擬似コヒーレント層
• 代数スタック上の準連接層

• Antieau、Benjamin (2016)、「ねじれた層のアーベル圏の再構築定理」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、2016 (712): 175–188、arXiv : 1305.2541、doi : 10.1515/crelle-2013-0119、MR 3466552 
• ダニロフ、VI（2001）[1994]、「コヒーレント代数層」、数学百科事典、EMS Press
• ハンス・グラウアート; Remmert、Reinhold (1984)、Coherent Analytic Sheaves、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol.  265、Springer-Verlag、土井：10.1007/978-3-642-69582-7、ISBN 3-540-13178-7MR 0755331​ 
• アイゼンバッド、デイビッド（1995）、『代数幾何学への展望を伴う可換代数』、大学院数学テキスト、第 150巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/978-1-4612-5350-1、ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960​ 
• フルトン、ウィリアム（1998）、『インターセクション理論』、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/978-1-4612-1700-8、ISBN 978-0-387-98549-7MR 1644323​ 
• Grothendieck、Alexandreのセクション 0.5.3 および 0.5.4 。ジャン・デュドネ(1960)。「幾何学的計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR 0217083。 
• ハートショーン、ロビン（1977）、『代数幾何学』、大学院数学テキスト、第 52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-90244-9MR 0463157​ 
• マムフォード、デイビッド（1999）。『多様体とスキームの赤本：曲線とそのヤコビアンに関するミシガン講義（1974年）を含む』。数学講義ノート、第 1358巻（第2 版）。シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007/ b62130。ISBN 3-540-63293-XMR 1748380 .​ 
• Onishchik, AL (2001) [1994]、「コヒーレント解析層」、数学百科事典、EMS Press
• Onishchik, AL (2001) [1994]、「連接層」、数学百科事典、EMS Press
• Serre, Jean-Pierre (1955)、「Faisceaux algébriques cohérents」、Annals of Mathematics、61 (2): 197–278、doi : 10.2307/1969915、JSTOR 1969915、MR 0068874  

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• ヴァキル、ラヴィ著『上昇する海』第5部