通約可能性（数学）

数学では、2つの非ゼロの 実数 aとbの比が、1つの/b⁠ は有理数です。そうでない場合、 aとb は通約不可能と呼ばれます。(有理数は 2 つの整数の比に等しい数であることを思い出してください。)群論には、より一般的な通約可能性の概念があります。

例えば、3と2の比率は、⁠3/2⁠は有理数です。数と も、その比 が有理数であるため、通約可能です。しかし、数と 2 は、その比 が無理数であるため、通約不可能です。 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}}$${\textstyle {\sqrt {3}}}$${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

より一般的には、定義から、aとb が2 つの非ゼロ有理数である場合、aとbは通約可能であることが直ちにわかります。また、a が任意の無理数で、b が任意の非ゼロ有理数である場合、aとb は通約不可能であることも直ちにわかります。一方、a と b の両方が無理数である場合、 aとbは通約可能である場合もそうでない場合もあります。

ピタゴラス学派は無理数の存在を証明したとされている。^{[1] [2] 2つの線分の}長さの比が無理数である場合、線分自体（長さだけでなく）も通約不可能であると説明される。

ユークリッドの『原論』第 5 巻では、通約不可能な長さを含む証明を可能にし、歴史的に限定された数の定義にのみ適用される議論を避けるために、別の、より一般的で回りくどい古代ギリシャの幾何学的大きさの比例の教義が展開されました。

ユークリッドの通約可能性の概念は、プラトンの対話篇『メノン』におけるソクラテスと奴隷の少年との議論の中で、偶然にも予見されている。この議論でソクラテスは少年の生来の能力を利用して、ソクラテス的方法論によって複雑な幾何学の問題を解く。彼は、事実上ユークリッド的な性質を持ち、通約不可能性の概念を語る証明を展開する。^[3]

この用法は主にユークリッドの『原論』の翻訳に由来しており、その中では、2 つの線分aとbが通約可能であるとされるのは、端から端までを整数回つなげてaと合同な線分を作り、また、異なる整数でbと合同な線分も作れる第 3 の線分cが存在する場合とまったく同じである。ユークリッドは実数の概念を一切使用しなかったが、線分の合同性、およびそのような線分が他の線分よりも長いか短いという概念を使用した。

それは⁠1つの/b⁠が有理数であること ある実数c、整数m、 n が存在するための必要十分条件であり、

a = mcかつb = ncです。

簡単にするためにaとbが正であると仮定すると、長さcの単位で目盛りが付けられた定規は、長さaの線分と長さbの線分の両方を測るのに使用できると言えます。つまり、 aとb の両方を測ることができる共通の長さの単位があるということです。これが用語の由来です。そうでない場合、aとb のペアは通約不可能です。

群論において、群Gの 2 つの部分群Γ ₁と Γ _2は、交差Γ ₁ ∩ Γ _{2が Γ 1}と Γ _{2 の}両方で有限の指数を持つ場合、通約可能であると言われます。

例: aとb を非ゼロの実数とします。すると、実数aとbがa / bが有理数であるという意味において通約可能である場合のみ、aによって生成される実数R の部分群は b によって生成される部分群と通約可能です。このように、通約可能性の群論的概念は、実数の概念を一般化します。

同じ群の部分群として与えられていない 2 つの群についても同様の概念があります。2 つの群G ₁とG ₂は、有限指数の部分群H ₁ ⊂ G ₁とH ₂ ⊂ G ₂が存在し、 H _1がH ₂と同型である場合に(抽象的に)通約可能です。

2 つの経路連結な 位相空間は、同相な有限シート被覆空間を持つ場合、通約可能であると言われることがあります。検討中の空間の種類に応じて、定義で同相ではなくホモトピー同値または微分同相を使用する必要がある場合があります。2 つの空間が通約可能である場合、それらの基本群は通約可能です。

例:種数が2 以上の任意の2 つの閉じた面は互いに通約可能です。