フラクタル

数学において、フラクタルとは、任意の小さなスケールで詳細な構造を持つ幾何学的形状であり、通常は位相次元を厳密に超えるフラクタル次元を持つ。多くのフラクタルは、マンデルブロ集合の連続的な拡大で示されているように、さまざまなスケールで類似しているように見える。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ますます小さなスケールで類似したパターンを示すこの現象は、自己相似性と呼ばれ、拡大対称性または展開対称性とも呼ばれる。メンガースポンジのように、この複製がすべてのスケールでまったく同じである場合、その形状はアフィン自己相似性と呼ばれる。 ^{[ 5 ]}フラクタル幾何学は、そのハウスドルフ次元によって、数学の測度論の分野と関連付けられる。

フラクタルが他の幾何学的図形と異なる点の1つは、その拡大縮小の仕方です。塗りつぶされた多角形の辺の長さを2倍にすると、面積は4倍になります。これは、新しい辺の長さと古い辺の長さの比である2を、塗りつぶされた多角形の通常の次元である2乗した値です。同様に、塗りつぶされた球（またはボール）の半径を2倍にすると、体積は8倍になります。これは、新しい半径と古い半径の比である2を、塗りつぶされた球の通常の次元である3乗した値です。しかし、フラクタルの1次元の長さをすべて2倍にすると、フラクタルの空間的内容は、必ずしも整数ではないべき乗で拡大縮小し、一般的には通常の次元よりも大きくなります。^{[ 1 ]}このべき乗は、通常の次元（正式には位相次元と呼ばれる）と区別するために、幾何学的オブジェクトのフラクタル次元と呼ばれます。^{[ 6 ]}

解析的には、多くのフラクタルはどこでも微分可能ではない。^{[ 1 ] [ 4 ]}無限フラクタル曲線は、通常の直線とは異なる方法で空間を曲がりくねって進むと考えることができる。位相的には依然として1次元であるが、そのフラクタル次元は、通常の直線よりも局所的に空間をより効率的に満たすことを示している。^{[ 1 ] [ 6 ]}

17 世紀に再帰の概念から始まったフラクタルは、ますます厳密な数学的処理を経て、19 世紀にはベルナルド・ボルツァーノ、ベルンハルト・リーマン、カール・ワイエルシュトラスの先駆的な研究により、連続だが微分不可能な関数の研究へと発展し^{[ 7 ]}、 20 世紀にはフラクタルという言葉が造語され、その後、20 世紀にはフラクタルとコンピュータベースのモデリングへの関心が急激に高まりました^{[ 8 ] [ 9 ] 。}

数学者の間では、フラクタルの概念をどのように正式に定義すべきかについて意見の相違がある。マンデルブロ自身はそれを「美しく、非常に難しく、ますます有用になっている。それがフラクタルだ」と要約した。^{[ 10 ]}より正式には、1982年にマンデルブロはフラクタルを次のように定義した。「フラクタルとは、定義上、ハウスドルフ・ベシコビッチ次元が位相次元を厳密に超える集合である。」^{[ 11 ]}後に、これは制限が厳しすぎると考え、彼は定義を簡略化して次のように拡張した。「フラクタルとは、粗いまたは断片的な幾何学的形状であり、それぞれが（少なくとも近似的に）全体の縮小コピーである部分に分割できる。」^{[ 1 ]}さらに後になって、マンデルブロは「厳密な定義なしにフラクタルを使用し、フラクタル次元をすべての変種に適用できる一般的な用語として使用する」ことを提案した。^{[ 12 ]}

数学者の間では、理論的なフラクタルは無限に自己相似な反復的で詳細な数学的構成物であり、多くの例が定式化され研究されているという共通認識がある。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}フラクタルは幾何学的パターンに限定されず、時間内のプロセスを記述することもできる。^{[ 5 ] [ 4 ] [ 13 ]さまざまな程度の自己相似性を持つフラクタルパターンは、}視覚、物理、聴覚メディアで表現または研究されており^{[ 14 ]}、自然[ ^{15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}、テクノロジー^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}、芸術^{[ 23 ] [ 24 ]} 、建築にも見られる。^{[ 25 ]}フラクタルは、ほとんどのカオス過程の幾何学的表現に現れるため（通常はアトラクターまたは吸引領域間の境界として）、カオス理論の分野で特に重要である。 ^{[ 26 ]}

「フラクタル」という用語は、1975 年に数学者のブノワ・マンデルブロによって造語されました。 ^{[ 27 ]}マンデルブロは、ラテン語のfrāctus （「壊れた」または「破れた」という意味）を基にこの用語を考案し、理論的な分数次元の概念を自然界の幾何学的パターンに拡張するために使用しました。^{[ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]}

「フラクタル」という言葉は、数学者と一般の人々の間でしばしば異なる意味合いを持ちます。一般の人々は、数学的な概念としてのフラクタルよりも、フラクタルアートの方が馴染み深い場合が多いでしょう。数学的な概念としてのフラクタルを正式に定義するのは、数学者にとっても難しいことですが、基本的な数学の知識があれば、その重要な特徴を理解することができます。

例えば、「自己相似性」という特徴は、デジタル画像を拡大して、これまで見えなかったより細かい新しい構造を明らかにするレンズやその他の装置でズームインすることに例えると容易に理解できます。しかし、これをフラクタルに対して行うと、新しい詳細が現れません。何も変化せず、同じパターンが何度も繰り返されるか、一部のフラクタルでは、ほぼ同じパターンが何度も現れます。自己相似性自体は必ずしも直感に反するものではありません（例えば、人々は平行鏡の無限後退やホムンクルス、つまり頭の中の小さな人の頭の中の小さな人など、非公式に自己相似性について考えてきました…）。フラクタルの場合の違いは、再現されるパターンが詳細でなければならないということです。^{[ 1 ] : 166, 18 [ 2 ] [ 28 ]}

この詳細さという概念は、数学的な背景知識がなくても理解できる別の特徴と関連しています。たとえば、フラクタル次元が位相次元よりも大きいということは、幾何学的形状が通常どのように認識されるかと比較して、フラクタルがどのように拡大縮小されるかを示しています。たとえば、直線は慣習的に一次元であると理解されています。このような図形を元の長さの 1/3 ずつに分割すると、常に 3 つの等しいピースが得られます。正方形は二次元であると理解されています。このような図形を両方の次元で 1/3 ずつに縮小したピースに分割すると、合計で 3 ² = 9 個のピース​​が得られます。

通常の自己相似オブジェクトの場合、n 次元であるということは、それを 1/ rの縮尺係数で縮小した断片に複製タイル状に分割すると、合計でr ⁿ個の断片ができることを意味します。ここで、コッホ曲線を考えてみましょう。これは、それぞれ 1/3 の縮尺係数で縮小した 4 つのサブコピーに複製タイル状に分割できます。したがって、厳密に類推によって、コッホ曲線の「次元」は^3D = 4を満たす唯一の実数Dであると考えることができます。この数はコッホ曲線のフラクタル次元と呼ばれ、曲線の従来認識されている次元とは異なります。一般に、フラクタルの重要な特性は、フラクタル次元が従来理解されている次元 (正式には位相次元と呼ばれる) と異なることです。

これはまた、数学方程式としてのフラクタルは「どこでも微分不可能」であるという 3 つ目の特徴の理解にもつながります。具体的には、これはフラクタルを従来の方法で測定できないことを意味します。^{[ 1 ] [ 4 ] [ 30 ]}詳しく説明すると、波状の非フラクタル曲線の長さを求めようとすると、波の上に端から端まで置けるほど小さい測定ツールの直線部分を見つけることができ、テープメジャーで測定する通常の方法で曲線に適合すると考えられるほど小さくすることができます。しかし、コッホ雪片のような無限に「波打つ」フラクタル曲線を測定する場合、ギザギザのパターンが任意に小さなスケールで常に再び現れるため、曲線に適合するほど小さい直線部分を見つけることは決してできません。つまり、テープメジャーを曲線にますますぴったりと合わせようとするたびに、テープメジャーのより多くの部分が測定された全長に引き込まれることになります。その結果、曲線全体を完全に覆うには無限のテープが必要となり、つまり雪の結晶は無限の周長を持つことになる。^{[ 1 ]}

フラクタルの歴史は、主に理論的な研究からコンピュータグラフィックスにおける現代の応用へと至る道をたどり、その過程で何人かの著名な人物が標準的なフラクタル形式に貢献してきた。^{[ 8 ] [ 9 ]}伝統的なアフリカ建築 の共通のテーマはフラクタルスケーリングの使用であり、円形の家々で構成された円形の村のように、構造の小さな部分が大きな部分に似ている傾向がある。^{[ 31 ]}ピッコーバー によれば、フラクタルの背後にある数学は、17 世紀に数学者で哲学者のゴットフリート・ライプニッツが再帰的自己相似性について考察したときに形になり始めた（ただし、彼は直線だけがこの意味で自己相似であると考えるという間違いを犯した）。 ^{[ 32 ]}

ライプニッツは著作の中で「分数指数」という用語を用いたが、「幾何学」がまだそれを知らないことを嘆いた。^{[ 1 ]： 405}実際、様々な歴史的記述によれば、それ以降、この問題に取り組む数学者は少なく、取り組んだ数学者の業績は、数学の「怪物」と呼ばれることもある、こうした馴染みのない新たな概念への抵抗のために、ほとんど知られることなく埋もれてしまった。^{[ 30 ] [ 8 ] [ 9 ]}こうして、2世紀が経過した1872年7月18日、カール・ワイエルシュトラスが、今日ではフラクタルとみなされるグラフを持つ関数の最初の定義をプロイセン王立科学アカデミーで発表するまで、その定義は存在しなかった。この関数は、どこでも連続であるが、どこでも微分可能ではないという、直感に反する性質を持っていた。 ^{[ 8 ]： 7 [ 9 ]}

さらに、総和指数が増加するにつれて、商の差は任意に大きくなる。^{[ 33 ]}その後間もなく、1883年に、ワイエルシュトラスの講義に出席していたゲオルク・カントール^{[ 9 ]}は、カントール集合として知られる実数直線の部分集合の例を発表した。これらは特異な性質を持ち、現在ではフラクタルとして認識されている。^{[ 8 ]： 11-24}また、同世紀後半には、フェリックス・クラインとアンリ・ポアンカレが、「自己逆」フラクタルと呼ばれるようになったフラクタルのカテゴリーを導入した。^{[ 1 ]： 166}

次のマイルストーンの 1 つは 1904 年に、ヘルゲ・フォン・コッホがポアンカレの考えを拡張し、ワイエルシュトラスの抽象的で解析的な定義に不満を持ち、同様の関数の手描きの画像を含む、より幾何学的な定義を与えたことで、これが現在コッホの雪片と呼ばれています。^{[ 8 ] : 25 [ 9 ]} 10年後の 1915 年に、ヴァツワフ・シェルピンスキが有名な三角形を構築し、その 1 年後にカーペットを構築したことで、もう 1 つのマイルストーンが生まれました。1918 年までに、フランスの数学者 2 人、ピエール・ファトゥーとガストン・ジュリアは、独立して研究していましたが、複素数と反復関数のマッピングに関連する現在フラクタル挙動と見なされているものを記述する結果にほぼ同時に到達し、アトラクターとリペラー(つまり、他の点を引き付けたり反発したりする点)に関するさらなるアイデアにつながり、フラクタルの研究で非常に重要になりました。 ^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ]}

その研究が提出されてから間もなく、1918年3月までに、フェリックス・ハウスドルフは「次元」の定義を拡張し、集合が非整数次元を持つことを許容することで、フラクタルの定義の発展に大きく貢献した。^{[ 9 ]}自己相似曲線の考え方は、ポール・レヴィによってさらに発展させられ、彼は1938年の論文「全体に類似した部分からなる平面または空間の曲線と曲面」の中で、新しいフラクタル曲線であるレヴィC曲線について記述した。^{[注1 ]}

さまざまな研究者は、現代のコンピュータグラフィックスの助けがなければ、初期の研究者は手描きの図で表現できる範囲にとどまり、発見した多くのパターンの美しさを視覚化し、その意味を理解する手段がなかったと仮定している（たとえば、ジュリア集合は、非常に単純な図として数回の反復でしか視覚化できなかった）。^{[ 1 ] : 179 [ 30 ] [ 9 ]}しかし、1960 年代に、ブノワ・マンデルブロがルイス・フライ・リチャードソンの以前の研究に基づいて、「英国の海岸線はどれくらい長いか？統計的自己相似性と分数次元」などの論文で自己相似性について書き始めたことで、状況は変わった。^{[ 34 ] [ 35 ]}

1975年、^{[ 28 ]}マンデルブロは「フラクタル」という言葉を作り出し、数百年にわたる思考と数学的発展を確固たるものにし、印象的なコンピュータで構築された視覚化によって数学的定義を説明しました。彼の標準的なマンデルブロ集合などのこれらの画像は、人々の想像力を掻き立てました。それらの多くは再帰に基づいており、「フラクタル」という用語の一般的な意味につながりました。^{[ 36 ] [ 30 ] [ 8 ] [ 32 ]}

1980年、ローレン・カーペンターはSIGGRAPHでプレゼンテーションを行い、フラクタル的に生成された風景を生成およびレンダリングするためのソフトウェアを紹介した。^{[ 37 ]}

マンデルブロが幾何学的フラクタルを説明するために発表したよく引用される説明の 1 つは、「粗いまたは断片的な幾何学的形状で、それぞれが（少なくとも近似的に）全体の縮小コピーである部分に分割できる」というものです。^{[ 1 ]}これは一般的に役立ちますが、限定的です。著者はフラクタルの正確な定義について意見が分かれていますが、ほとんどの場合、自己相似性の基本概念と、フラクタルが埋め込まれている空間と持つ特異な関係について詳しく説明しています。^{[ 1 ] [ 5 ] [ 2 ] [ 4 ] [ 38 ]}

合意されている点の 1 つは、フラクタル パターンはフラクタル次元によって特徴付けられるということだが、これらの数値は複雑さ(つまり、スケールの変化に伴う詳細の変化) を定量化する一方で、特定のフラクタル パターンを構築する方法の詳細を一意に記述したり指定したりするものではない。^{[ 39 ]} 1975 年にマンデルブロが「フラクタル」という言葉を造語したとき、彼はハウスドルフ・ベシコビッチ次元が位相次元よりも大きいオブジェクトを示すためにそうした。^{[ 28 ]}しかし、この要件はヒルベルト曲線などの空間充填曲線では満たされない。^{[注 2 ]}

フラクタルの定義を一つに絞るのが難しいことから、フラクタルは厳密に定義すべきではないと主張する人もいる。ファルコナーによれば、フラクタルは一般的に以下の特徴のゲシュタルトによって特徴づけられるべきである。 ^{[ 2 ]}

• 自己相似性には以下が含まれる可能性がある。

• 完全な自己相似性：あらゆるスケールで同一であること。例えば、コッホ曲線など。
• 準自己相似性：異なるスケールで同じパターンを近似する。歪んだり退化した形で、フラクタル全体の小さなコピーを含む場合がある。例えば、マンデルブロ集合のサテライトは集合全体の近似であるが、正確なコピーではない。
• 統計的自己相似性：パターンを確率的に繰り返すことで、数値的または統計的尺度がスケールを超えて保持される。例えば、イギリスの海岸線のようなランダムに生成されたフラクタルでは、コッホ雪片のようなフラクタルを定義する繰り返し単位のように、セグメントがきちんと拡大縮小されて繰り返されるとは予想されない。^{[ 4 ]}
• 質的な自己相似性: 時系列の場合^{[ 13 ]}
• 多重フラクタルスケーリング：複数のフラクタル次元またはスケーリング規則によって特徴付けられる

• 任意の小さなスケールでの微細または詳細な構造。この構造の結果として、フラクタルは創発特性を持つ可能性がある^{[ 40 ]}（このリストの次の基準に関連）。
• 局所的にも全体的にも不規則で、再帰的に定義された一連の段階の極限として以外には、従来のユークリッド幾何学の言葉では簡単に説明できない。フラクタルパターンの画像については、「滑らかに積み重なる表面」や「渦巻きの上に渦巻き」などのフレーズで表現されている。^{[ 6 ]}フラクタルを生成するための一般的な手法を参照。

これらの基準は、一般的にフラクタルの特徴を持たない自己相似性を持つものなど、特定のケースを除外するためのガイドラインを形成します。たとえば、直線は自己相似性はありますが、詳細がなく、再帰を必要とせずにユークリッド言語で簡単に記述できるため、フラクタルではありません。^{[ 1 ] [ 4 ]}

マンデルブロがフラクタルという用語を導入したとき、数学的なフラクタルよりも範囲が限定された物理的なフラクタルに対応するために、拡大範囲を定義特性から除外した。^{[ 41 ]}

フラクタル画像は、フラクタル生成プログラム によって作成できます。バタフライ効果のため、単一の変数のわずかな変化が予測不可能な結果を​​もたらす可能性があります。

• 反復関数システム（IFS） – 固定された幾何学的置換ルールを使用する。確率的または決定論的である可能性がある。 ^{[ 42 ]}例：コッホ雪片、カントール集合、ハーファーマンカーペット、 ^{[ 43 ]}シェルピンスキーカーペット、シェルピンスキーギャスケット、ペアノ曲線、ハーター・ハイウェイドラゴン曲線、 T定規、メンガースポンジ
• ストレンジアトラクター– カオスを示すマ​​ップの反復、または初期値微分方程式もしくは差分方程式系の解を使用する（例：多重フラクタル画像、またはロジスティックマップを参照）。
• Lシステム– 文字列書き換えを使用。植物、生物細胞（ニューロンや免疫系細胞など^{[ 18 ]}）、血管、肺構造^{[ 44 ]}などの分岐パターン、または空間充填曲線やタイルなどのタートルグラフィックスパターンに似ている場合が
• エスケープタイムフラクタルとは、空間（複素平面など）の各点で数式または漸化式を用いるフラクタルであり、通常は準自己相似性を持ち、「軌道」フラクタルとも呼ばれます。例えば、マンデルブロ集合、ジュリア集合、バーニングシップフラクタル、ノヴァフラクタル、リアプノフフラクタルなどがあります。エスケープタイム数式の1回または2回の反復によって生成される2次元ベクトル場も、点（またはピクセルデータ）をこの場に繰り返し通過させるとフラクタル形状になります。
• ランダムフラクタル– 確率的ルールを使用します。例:レヴィ飛行、パーコレーションクラスター、自己回避ウォーク、フラクタルランドスケープ、ブラウン運動の軌跡、ブラウンツリー(すなわち、拡散律速凝集または反応律速凝集クラスターのモデリングによって生成される樹状フラクタル)。^{[ 4 ]}

• 有限分割ルールは、再帰的なトポロジーアルゴリズムを使用してタイリングを細分化します^{[ 45 ]} 。これは細胞分裂のプロセスに似ています^{[ 46 ]}。カントール集合とシェルピンスキーカーペットの作成に使用される反復プロセスは、重心分割と同様に、有限分割ルールの例です。

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• バーンズリー、マイケル・F、ライジング、ホーレー著『フラクタルは至る所に』ボストン：アカデミック・プレス・プロフェッショナル、1993年。ISBN 0-12-079061-0
• ドゥアルテ、ゲルマン A.；『フラクタル・ナラティブ：幾何学とテクノロジーの関係性、そしてそれが物語空間に与える影響について』ビーレフェルト：トランスクリプト、2014年。ISBN 978-3-8376-2829-6
• ファルコナー、ケネス著『フラクタル幾何学の技法』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1997年。ISBN 0-471-92287-0
• ユルゲンス、ハルトムート。パイトゲン, ハインツ・オットー;そしてソープ、ディートマール。カオスとフラクタル: 科学の新たなフロンティア。ニューヨーク: Springer-Verlag、1992。ISBN 0-387-97903-4
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• パイトゲン、ハインツ＝オットー。そしてソープ、ディートマール。編;フラクタル画像の科学。ニューヨーク: Springer-Verlag、1988。ISBN 0-387-96608-0
• Pickover, Clifford A.編;カオスとフラクタル：コンピュータグラフィックスの旅 ― 10年間の先進研究の集大成。Elsevier、1998年。ISBN 0-444-50002-2
• ジョーンズ、ジェシー著『Fractals for the Macintosh』、Waite Group Press、カリフォルニア州コルテマデラ、1993年。ISBN 1-878739-46-8。
• ラウワーリエ、ハンス著『フラクタル：無限に繰り返される幾何学的図形』、ソフィア・ギル＝ホフスタット訳、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1991年。ISBN 0-691-08551-X布製。ISBN 0-691-02445-6ペーパーバック。「本書は幅広い読者層を対象として書かれています…」付録にBASICプログラムのサンプルが含まれています。
• スプロット、ジュリアン・クリントン（2003）。カオスと時系列分析。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-850839-7。
• ヴァール、バーント。ヴァン・ロイ、ピーター。ラーセン、マイケル。そしてカンプマン、エリック。Macintosh でのフラクタルの探索、Addison Wesley、1995。ISBN 0-201-62630-6
• レスモア＝ゴードン、ナイジェル著『無限の色彩：フラクタルの美しさ、力、そして意味』 2004年。ISBN 1-904555-05-5（本書には、アーサー・C・クラークによるフラクタル概念とマンデルブロ集合に関するドキュメンタリーDVDが付属しています。）
• 劉華傑著『フラクタルアート』長沙：湖南科学技術出版社、1997年、ISBN 9787535722348。
• グイエ、ジャン＝フランソワ著；物理学とフラクタル構造（B・マンデルブロによる序文）；マッソン、1996年。ISBN 2-225-85130-1、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、1996年。ISBN 978-0-387-94153-0絶版。PDF版は以下で入手可能。「物理学とフラクタル構造」（フランス語）。Jfgouyet.fr 。 2010年10月17日取得。
• ファルコナー、ケネス（2013）。フラクタル、超入門。オックスフォード大学出版局。

• 米国議会図書館ウェブアーカイブにあるフラクタルに関する資料（2001年11月16日アーカイブ）
• 「隠された次元を追う」、PBS NOVA、2011年8月24日初放送
• ブノワ・マンデルブロ：フラクタルと粗さの芸術（TED 、2010年2月
• 分数階微積分に基づく自己相似フラクタル測度の式（2007）
• 東洋の五行フラクタル