共役問題

抽象代数学において、与えられた表現を持つ群Gの共役性問題は、 G内の2つの単語xとy が与えられたときに、それらがGの共役元を表すかどうかを判断する決定問題である。つまり 、問題は、 Gの元z が存在し、

${\displaystyle y=zxz^{-1}.\,\!}$

共役問題は変換問題としても知られています。

共役性問題は、1911 年にマックス・デーンによって群論における基本的な決定問題の 1 つとして特定されました。他の 2 つは、単語問題と同型性問題です。共役性問題には、単語問題が特殊なケースとして含まれています。つまり、xとy が単語である場合、これらが同じ単語であるかどうかを判断することは、が単位元であるかどうかを判断することと同等であり、これは単位元と共役であるかどうかを判断することと同じです。1912 年にデーンは、種数が 2 以上 (種数 0 と種数 1 の場合は自明) の閉じた向き付け可能な 2 次元多様体の基本群について、単語問題と共役性問題の両方を解くアルゴリズムを与えました。 ${\displaystyle xy^{-1}}$

共役問題は、多くの群のクラスに対して決定不可能であることが知られています。解決可能であることが知られている群表現のクラスには、次のものがあります。

• フリーグループ（定義関係子なし）
• ねじれのある1つの関係子のグループ
• 編み込みグループ
• 結び目グループ
• 有限に提示された共役可分群
• 有限生成アーベル群（関係子にはすべての交換子が含まれる）
• グロモフ双曲群
• 双自動グループ
• CAT(0) グループ
• 幾何化可能な3次元多様体の基本群

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