表面（数学）

数学において、面は表面という共通概念の数学的モデルである。面は平面を一般化したものであるが、平面とは異なり、曲がっている場合がある。これは、直線を一般化した曲線に類似している。

文脈や研究に使用される数学的ツールに応じて、より正確な定義がいくつかあります。最も単純な数学的表面は、ユークリッド 3 次元空間内の平面と球です。表面の正確な定義は、文脈によって異なります。通常、代数幾何学では、表面はそれ自体と交差することがあります (また、他の特異点を持つ場合があります)。一方、位相幾何学と微分幾何学では、そうではありません。

表面は2次元の位相空間です。つまり、表面上の移動点は 2 方向に移動できます (2 つの自由度があります)。言い換えると、ほぼすべての点の周りには、2 次元の座標系が定義されている座標パッチがあります。たとえば、地球の表面は (理想的には) 球に似ており、緯度と経度によって 2 次元の座標が提供されます (極と180 度子午線を除く)。

定義

多くの場合、面はその点の座標が満たす方程式によって定義されます。これは、2変数の連続関数のグラフの場合です。3変数の関数の零点の集合は面であり、暗黙の面と呼ばれます。^[1]定義する3変数関数が多項式である場合、その面は代数面です。たとえば、単位球は代数面であり、暗黙の方程式によって定義される場合があります。

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.

面は、2つの変数の連続関数の、少なくとも3次元の空間における像として定義されることもあります（像が曲線ではないことを保証するために、さらにいくつかの条件が必要です）。この場合、パラメトリック面があり、これはパラメータと呼ばれる2つの変数によってパラメータ化されます。たとえば、単位球は、経度 $u$ と緯度 $v$ とも呼ばれるオイラー角によってパラメータ化できます。

{\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}

曲面の媒介変数方程式は、いくつかの点で不規則になることがよくあります。たとえば、単位球面の 2 点を除くすべての点は、上記のパラメータ化により、正確に 1 組のオイラー角 ( $2$ $π$ を法として ) の像になります。残りの 2 点 (北極と南極) については、 $cos$ $v$ $= 0$ となり、経度 $u は$ 任意の値を取ることができます。また、曲面全体をカバーする単一のパラメータ化が存在できない曲面もあります。そのため、複数の媒介変数方程式によってパラメータ化された曲面 (その像が曲面をカバーする) を考えることがよくあります。これは、多様体の概念によって形式化されます。多様体のコンテキストでは、典型的には位相幾何学と微分幾何学において、曲面は 2 次元の多様体です。つまり、曲面は、すべての点がユークリッド平面の開集合に同相な近傍を持つような位相空間です ( 「曲面 (位相)」および「曲面 (微分幾何学)」を参照)。これにより、3 次元を超える空間内の曲面や、他のどの空間にも含まれない抽象的な曲面を定義することが可能になります。一方、円錐面の頂点や曲面が交差する点など、特異点を持つ曲面は除外されます。

古典幾何学では、面は一般に点または線の軌跡として定義されます。たとえば、球は中心と呼ばれる固定点から一定の距離にある点の軌跡です。円錐面は固定点を通過して曲線と交差する線の軌跡です。回転面は線の周りを回転する曲線の軌跡です。線織面は、いくつかの制約を満たす移動線の軌跡です。現代の用語では、線織面は線の和集合である面です。

用語

数学では、いくつかの種類の表面が考えられます。したがって、必要に応じてそれらを区別するために、明確な用語が必要です。位相面は、次元 2 の多様体である表面です(§ 位相面を参照)。微分可能面は、微分可能多様体である表面です(§ 微分可能面を参照)。すべての微分可能面は位相面ですが、その逆は成り立ちません。

「面」は、多くの場合、暗黙的に3 次元のユークリッド空間(通常は $R 3$ )に含まれるものと想定されます。射影空間に含まれる面は射影面と呼ばれます(§ 射影面を参照)。別の空間に含まれないことが想定されている面は抽象面と呼ばれます。

例

$R$ $2$ の連結した開集合上で定義された 2 変数の連続関数のグラフは位相面です。関数が微分可能であれば、グラフは微分可能面です。
平面は代数面であると同時に微分可能面でもあります。また、線織面や回転面でもあります。
円柱（つまり、円を横切り、指定された方向に平行な線の軌跡）は代数面であり、微分可能な面です。
円錐（円を横切り、円の平面の外側にある固定点（頂点）を通過する直線の軌跡）は、微分可能面ではない代数曲面です。頂点を除去すると、円錐の残りの部分は 2 つの微分可能面の和集合になります。
多面体の表面は位相面であり、微分可能面でも代数面でもない。
双曲放物面（関数 $z = xy$ のグラフ）は微分可能面であり代数面です。また、線織面でもあるため、建築分野でよく使用されます。
二枚双曲面は代数面であり、交差しない 2 つの微分可能面の和集合です。

パラメトリックサーフェス

パラメトリック曲面は、ユークリッド平面（通常は）の開部分集合を連続関数で描いたもので、位相空間（通常は少なくとも 3 次元のユークリッド空間）内にあります。通常、関数は連続的に微分可能であると想定されており、この記事では常にそのように扱われます。 $\mathbb {R} ^{2}$

具体的には、パラメトリック面は、パラメータと呼ばれる2つの変数 $u$ と $v$ の3つの関数によって与えられます。 $\mathbb {R} ^{3}$

{\begin{aligned}x&=f_{1}(u,v),\\[4pt]y&=f_{2}(u,v),\\[4pt]z&=f_{3}(u,v)\,.\end{aligned}}

このような関数の像は曲線になる可能性があるので（例えば、３つの関数が $v$ に関して一定である場合）、さらに条件が必要となり、一般に、ほぼすべてのパラメータ値に対して、ヤコビ行列

{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\end{bmatrix}}

は階数が 2です。ここで「ほぼすべて」とは、階数が 2 であるパラメータの値が、パラメータ化の範囲の密な開集合を含むことを意味します。より高次元の空間のサーフェスの場合、ヤコビ行列の列数を除いて条件は同じです。

接線平面と法線ベクトル

上記のヤコビ行列が階数 2 である点 $p は$ 正則と呼ばれます。または、より正確には、パラメーター化は $p$ で正則であると呼ばれます。

正規の点 $p$ における接平面は $、 p$ を通り、ヤコビ行列の2 つの行ベクトルに平行な方向を持つ唯一の平面です。接平面は、その定義が測定基準の選択に依存しないため、アフィン概念です。言い換えると、任意のアフィン変換は、ある点における曲面への接平面を、その点の像における曲面の像への接平面にマッピングします。

表面上の点における法線は、その点を通り接平面に垂直な唯一の線です。法線ベクトルは法線に平行なベクトルです。

点の近傍における曲面の他の微分不変量については、「曲面の微分幾何学」を参照してください。

不規則点と特異点

パラメトリック面上の正規でない点は不規則点です。不規則点にはいくつかの種類があります。

パラメータ化を変更すると、不規則な点が規則的になる場合があります。これは、オイラー角による単位球のパラメータ化における極の場合です。極を変更するには、異なる座標軸の役割を並べ替えるだけで十分です。

一方、パラメトリック方程式の円錐を考える。

{\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}

円錐の頂点は原点 $(0, 0, 0)$ であり、 $t = 0$ のときに得られます。これは不規則な点であり、どのパラメータ化を選択しても不規則なままです (そうでない場合は、一意の接平面が存在することになります)。接平面が定義されていないこのような不規則な点は、特異点と呼ばれます。

特異点には別の種類もあります。自己交差点、つまり表面が自分自身と交差する点があります。言い換えると、これらはパラメータの (少なくとも) 2 つの異なる値に対して得られる点です。

二変量関数のグラフ

$z = f (x, y)$ を2つの実変数の関数とします。これはパラメトリック曲面であり、次のようにパラメータ化されます。

{\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}

この表面のすべての点は正則であり、ヤコビ行列の最初の 2 つの列は階数 2 の単位行列を形成します。

有理曲面

有理曲面とは、2つの変数の有理関数によってパラメータ化できる曲面のことである。つまり、 $f i (t, u)が$ $i = 0, 1, 2, 3$ に対して2つの不定値の多項式である場合、次のように定義されるパラメトリック曲面は

{\begin{aligned}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},\\[6pt]y&={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},\\[6pt]z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,,\end{aligned}}

有理曲面です。

有理曲面は代数曲面ですが、ほとんどの代数曲面は有理曲面ではありません。

暗黙の表面

3次元ユークリッド空間（または、より一般的にはアフィン空間）の暗黙曲面は、3変数の微分可能関数の共通零点の集合である。

f(x,y,z)=0.

暗黙的とは、方程式が変数の1つを他の変数の関数として暗黙的に定義することを意味します。これは、暗黙関数定理によってさらに正確になります。f $($ $x$ $0$ $,$ $y$ $0$ $,$ $z$ $0$ $) =$ $0$ で、fのzの偏微分が $($ x $0$ $,$ $y$ $0$ $,$ $z$ $0$ $)$ $で$ $ゼロ$ $で$ ない場合、微分可能な関数 $φ$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ が存在し、

f(x,y,\varphi (x,y))=0

$（$ $x$ $0$ $、$ $y$ $0$ $、$ $z$ $0$ $）$ の近傍にあります。言い換えれば、暗黙の曲面は、 $z$ の偏導関数がゼロでない曲面の点の近くにある関数のグラフです。したがって、暗黙の曲面は、3つの偏導関数がゼロである曲面の点を除いて、局所的にはパラメトリック表現を持ちます。

正則点と接平面

$f$ の少なくとも1つの偏導関数がゼロでない曲面上の点は、正則と呼ばれます。そのような点では、接平面と法線の方向は明確に定義されており、§接平面と法線ベクトルで示した定義から暗黙の関数定理を使用して演繹することができます。法線の方向は勾配、つまりベクトルです。 $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].

接平面は暗黙の方程式によって定義される。

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.

特異点

陰的曲面（）の特異点とは、陰的方程式が成り立ち、その定義関数の 3 つの偏導関数がすべて 0 となる曲面上の点です。したがって、特異点は3 つの未定値における 4 つの方程式の連立解です。このような連立方程式のほとんどには解がないため、多くの曲面には特異点がありません。特異点のない曲面は、正則または非特異と呼ばれます。 $\mathbb {R} ^{3}$

特異点付近の曲面の研究と特異点の分類は特異点理論と呼ばれます。特異点は、その近傍に他の特異点がない場合に孤立しています。そうでない場合、特異点は曲線を形成することがあります。これは特に自己交差曲面の場合に当てはまります。

代数面

もともと代数面とは、暗黙の方程式で定義できる面のことであった。

f(x,y,z)=0,

ここで、 $f は$ 実係数を持つ 3 つの不定値の多項式です。

この概念は、任意の体上の曲面を定義したり、任意の次元の空間や射影空間内の曲面を考慮したりすることで、さまざまな方向に拡張されています。明示的に別の空間に埋め込まれていない抽象代数曲面も考慮されます。

任意のフィールド上の曲面

代数曲面を定義するために、任意の体の係数を持つ多項式が受け入れられます。しかし、多項式の係数の体は明確に定義されていません。たとえば、有理数係数を持つ多項式は、実数または複素数係数を持つ多項式と見なすこともできます。したがって、曲面の点の概念は次のように一般化されています。^[2]^{[ページが必要]}

多項式 $f (x, y, z)$ が与えられたとき、係数を含む最小の体を $kとし、$ $K を$ $k$ の無限超越次数の代数的に閉じた拡大とする。^[3]このとき、面上の点は $K$ $3$ の元であり、これは次の式の解である。

f(x,y,z)=0.

多項式が実係数を持つ場合、体 $K$ は複素体であり、（通常の点）に属する曲面の点は実点と呼ばれます。 $k$ $3$ に属する点は $k$ 上の有理数体、または $k が$ 有理数体である場合は単に有理点と呼ばれます。 $\mathbb {R} ^{3}$

射影面

3 次元の射影空間の射影面は、同次座標が 4 変数の単一の同次多項式のゼロである点の集合です。より一般的には、射影面は、 2 次元の射影多様体である射影空間のサブセットです。

射影面は、アフィン面（つまり、通常の代数面）と密接に関連しています。射影面から対応するアフィン面へは、定義多項式（通常は最後の多項式）の何らかの座標または不定値を 1 に設定することによって移行します。逆に、アフィン面からそれに関連付けられた射影面（射影完備化と呼ばれる）へは、定義多項式を均質化することによって（3 次元の空間の面の場合）、または定義イデアルのすべての多項式を均質化することによって（より高次元の空間の面の場合）移行します。

高次元空間では

代数多様体と代数多様体の次元の一般的な定義なしに、3 次元より高い空間における代数曲面の概念を定義することはできません。実際、代数曲面は次元 2 の代数多様体です。

$より正確には、次元n$ の空間における代数曲面は、少なくとも $n - 2 個の多項式の共通零点の集合であるが、これらの多項式は、すぐには検証できない可能性のあるさらなる条件を満たす必要がある。まず、多項式は、多様体または高次元の$ 代数集合を定義してはならず、これは通常、多項式の 1 つが他の多項式によって生成されるイデアル内にある場合に当てはまる。一般に、 $n - 2$ 個の多項式は、次元 2 以上の代数集合を定義する。次元が 2 の場合、代数集合には複数の既約成分が含まれることがある。成分が 1 つしかない場合、 $n - 2個の多項式は、$ 完全な交差である曲面を定義する。成分が複数ある場合は、特定の成分を選択するためのさらなる多項式が必要となる。

ほとんどの著者は、代数曲面として次元 2 の代数多様体のみを考慮しますが、既約成分が次元 2 であるすべての代数集合も曲面として考慮する著者もいます。

3 次元空間の曲面の場合、すべての曲面は完全な交差であり、曲面は単一の多項式によって定義されます。この多項式が既約かどうかは、2 次元の非既約代数集合が曲面と見なされるかどうかによって決まります。

位相面

位相幾何学では、表面は一般に 2 次元の多様体として定義されます。つまり、位相表面とは、すべての点がユークリッド平面の開集合に同相な近傍を持つ位相空間のことです。

すべての位相面は多面体面と同相であり、すべての面は三角形です。このような三角形の配置（または、より一般的には、高次元の単体）の組み合わせ研究は、代数的位相幾何学の出発点です。これにより、種数やホモロジー群などの純粋に代数的な不変量によって面の特性を特徴付けることができます。

曲面の同相類は完全に記述されています ( 「曲面 (位相) 」を参照)。

微分可能面

数学において、曲面の微分幾何学は、さまざまな付加構造（最もよく使われるのはリーマン計量）を持つ滑らかな曲面の微分幾何学^[a]を扱います。^[b]

曲面は、ユークリッド空間への埋め込みに関連する外的観点から、また、曲面上の曲線に沿って測定された曲面内の距離によってのみ決定される特性を反映する内的観点から、さまざまな観点から広範に研究されてきました。調査された基本的な概念の1つはガウス曲率で、カール・フリードリヒ・ガウス^[4]によって初めて詳細に研究され、曲率はユークリッド空間への等長的な埋め込みとは無関係に、曲面の固有の特性であることを示しました。

曲面は、自然に一組の変数の関数のグラフとして現れ、時にはパラメトリックな形で現れたり、空間曲線に関連付けられた軌跡として現れたりする。それらの研究において重要な役割を果たしてきたのが、（エルランゲン計画の精神に基づく）リー群、すなわちユークリッド平面、球面、双曲面の対称群である。これらのリー群は、一定のガウス曲率を持つ曲面を記述するために使用できるほか、接続を介した内在的微分幾何学への現代的なアプローチに不可欠な要素も提供する。一方、ユークリッド空間への曲面の埋め込みに依存する外在的特性も広く研究されてきた。これは変分法における非線形オイラー・ラグランジュ方程式によってよく説明されます。オイラーは、埋め込みとは独立に定義される測地線を理解するために 1 変数方程式を開発しましたが、ラグランジュによる 2 変数方程式の主な応用の 1 つは、埋め込みによってのみ定義できる概念である極小曲面への応用でした。

フラクタル面

フラクタル風景またはフラクタル面は、自然の地形の外観を模倣したフラクタル挙動を生成するように設計された確率的アルゴリズムを使用して生成されます。言い換えれば、この手順から得られる表面は決定論的ではなく、むしろフラクタル挙動を示すランダムな表面です。^[5]

多くの自然現象は、フラクタル面によってモデル化できる何らかの統計的自己相似性を示す。^[6]さらに、表面テクスチャの変化は、表面の方向と傾斜に関する重要な視覚的手がかりを提供し、ほぼ自己相似なフラクタルパターンを使用すると、自然に見える視覚効果を生み出すのに役立つ。^[7] 地球の粗い表面を分数ブラウン運動によってモデル化するという手法は、ブノワ・マンデルブロによって初めて提案された。^[8]

プロセスの意図された結果は数学的な関数ではなく風景を作成することであるため、より説得力のある風景を作成するために、そのような表面の定常性や全体的なフラクタル動作にさえ影響を与える可能性のあるプロセスがそのような風景に頻繁に適用されます。

RRシアラーによれば、自然に見える表面や風景の生成は、幾何学的なコンピュータ生成画像と自然な人間が作った芸術との区別が曖昧になった、美術史における大きな転換点であった。^{[9]映画でフラクタル生成風景が初めて使用されたのは、1982年の映画『}スタートレックII カーンの逆襲』 である。ローレン・カーペンターはマンデルブロの技法を改良して、異星人の風景を作り出した。^[10]

コンピュータグラフィックス

コンピュータ支援設計やコンピュータ支援製造などの3D コンピュータグラフィックス( CAx ) の技術アプリケーションでは、サーフェスはオブジェクトを表現する 1 つの方法です。他の方法は、ワイヤフレーム(直線と曲線) とソリッドです。ポイントクラウドは、ポイントを使用して 3 つの永続的な表現の 1 つ以上を作成することを目的として、オブジェクトを表現する一時的な方法として使用されることも時々あります。

参照

脚注

^ 滑らかな表面とは、各点がE ^{2内の何らかの開集合と}微分同相な近傍を持つ表面です。
^ リーマン面は、リーマン計量を備えた滑らかな面です。

注記

^ ここで「暗黙的」とは、他の手段で定義される可能性のある表面の特性を指すのではなく、表面がどのように定義されるかを指します。したがって、この用語は「暗黙的な方程式によって定義された表面」の略語です。
^ ウェイル、アンドレ(1946)、「代数幾何学の基礎」、アメリカ数学会コロキウム出版、第29巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 1–363、ISBN 9780821874622、MR 0023093^{[ページが必要]}
^超越性の無限の度合いは、 一般的な点の概念を正確に定義することを可能にする技術的な条件です。
^ ガウス 1902.
^ 「自然のフラクタル幾何学」。
^ マルチメディアモデリングの進歩：第13回国際マルチメディアモデリング、 Tat-Jen Cham著、2007年ISBN 3-540-69428-5ページ[1]
^ 人間の対称性知覚とその計算分析クリストファー・W・タイラー 2002 ISBN 0-8058-4395-7 173-177ページ [2]
^ フラクタル面のダイナミクスフェレイドゥーン・ファミリーとタマス・ヴィチェク著 1991 ISBN 981-02-0720-4 45ページ [3]
^ ロンダ・ローランド・シアラー「イメージとメタファーの再考」アルバート・M・ガラブルダ著『脳の言語』 2002年ISBN 0-674-00772-7 351-359ページ [4]
^ ブリッグス、ジョン (1992)。フラクタル：カオスのパターン：芸術、科学、自然の新しい美学。サイモン＆シュスター。p. 84。ISBN 978-0671742171. 2014年6月15日閲覧。

出典

ガウス、カール・フリードリヒ（1902）、1825年と1827年の曲面の一般的研究、プリンストン大学図書館

[4] 滑らかな表面とは、各点がE ^{2内の何らかの開集合と}微分同相な近傍を持つ表面です。

[5] リーマン面は、リーマン計量を備えた滑らかな面です。

[1] ここで「暗黙的」とは、他の手段で定義される可能性のある表面の特性を指すのではなく、表面がどのように定義されるかを指します。したがって、この用語は「暗黙的な方程式によって定義された表面」の略語です。

[2] ウェイル、アンドレ(1946)、「代数幾何学の基礎」、アメリカ数学会コロキウム出版、第29巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 1–363、ISBN 9780821874622、MR 0023093^{[ページが必要]}

[3] ^超越性の無限の度合いは、 一般的な点の概念を正確に定義することを可能にする技術的な条件です。

[FOOTNOTEGauss1902-6] ガウス 1902.

[7] 「自然のフラクタル幾何学」。

[Fractal_landscape_Cham-8] マルチメディアモデリングの進歩：第13回国際マルチメディアモデリング、 Tat-Jen Cham著、2007年ISBN 3-540-69428-5ページ[1]

[9] 人間の対称性知覚とその計算分析クリストファー・W・タイラー 2002 ISBN 0-8058-4395-7 173-177ページ [2]

[10] フラクタル面のダイナミクスフェレイドゥーン・ファミリーとタマス・ヴィチェク著 1991 ISBN 981-02-0720-4 45ページ [3]

[11] ロンダ・ローランド・シアラー「イメージとメタファーの再考」アルバート・M・ガラブルダ著『脳の言語』 2002年ISBN 0-674-00772-7 351-359ページ [4]

[Fractal_landscape_ftpoc-12] ブリッグス、ジョン (1992)。フラクタル：カオスのパターン：芸術、科学、自然の新しい美学。サイモン＆シュスター。p. 84。ISBN 978-0671742171. 2014年6月15日閲覧。