メトリック空間

距離に関するさまざまな概念の有用性を理解するために、地球の表面を点の集合として考えてみましょう。そのような2点間の距離は、表面に沿った最短経路の長さ、つまり「直線距離」で測定できます。これは、船舶や航空において特に有用です。また、地球内部を通る2点間の直線距離を測定することもできます。この概念は、例えば地震学において自然なものであり、地震波が2点間を伝わるのにかかる時間とほぼ一致します。

距離空間の公理によって表現される距離の概念は、比較的少ない要件しか持ち合わせていません。この汎用性によって、距離空間は高い柔軟性を備えています。同時に、この概念は距離の意味に関する多くの直感的な事実を表現するのに十分な強さも持ち合わせています。つまり、距離空間に関する一般的な結果は、さまざまな文脈に適用できるということです。

多くの基本的な数学概念と同様に、距離空間上の距離はさまざまな方法で解釈できます。特定の距離は、物理的な距離を測定するものとして考えるのではなく、ある状態から別の状態への変化にかかるコスト（測度空間上のワッサースタイン距離など）や、2つのオブジェクト間の差異の度合い（例えば、2つの文字列間のハミング距離、または距離空間自体間のグロモフ・ハウスドルフ距離など）として考えるのが最適です。

形式的には、距離空間は順序対( M , d )であり、 Mは集合 (その要素は点と呼ばれる)であり、dはM上の距離、すなわち関数である。$${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$すべての点について以下の公理を満たす${\displaystyle x,y,z\in M}$: ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

1. ある点からその点自身までの距離はゼロです。$$d(x,x)=0$$
2. （正値性）2つの異なる点間の距離は常に正の値である。$${\displaystyle {\text{もし }}x\neq y{\text{ならば }}d(x,y)>0}$$
3. （対称性） xからyまでの距離は常にyからxまでの距離と同じである。$${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. 三角不等式が成り立つ。$$\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$これは、物理的な距離の概念と比喩的な距離の概念の両方に共通する自然な性質です。xからzへyを経由して迂回することはできますが、それによって直接の経路よりも距離が短くなるわけではありません。

dが何であるかが分かっている場合、( M , d )の略語としてMと表記するのが慣例です。

距離空間M内の任意の点xと任意の実数r > 0に対して、xを中心とする半径rの開球は、 xから距離rより厳密に小さい点の集合として定義される。 $${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$これは、 x に比較的近い点の集合を定義する自然な方法です。したがって、集合は${\displaystyle N\subseteq M}$xの近傍(非公式には、 xに「十分近い」すべての点を含む) とは、 xを中心とする半径rの開球 (r > 0 ) を含む場合を指します。

開集合とは、そのすべての点の近傍である集合のことである。したがって、開球はM上の位相の基底を形成する。言い換えれば、Mの開集合は開球の和集合に他ならない。あらゆる位相と同様に、閉集合は開集合の補集合である。集合は開集合かつ閉集合である場合もあれば、開集合でも閉集合でもない場合もある。

この位相は、距離空間に関するすべての情報を含んでいるわけではありません。例えば、上で定義された距離d ₁、d ₂、d _∞はすべて、同じ位相を誘導します。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$両者は多くの点で異なる振る舞いをするが、同様に、${\displaystyle \mathbb {R} }$ユークリッド距離とその部分空間において、誘導された距離を持つ区間(0, 1)は同相であるが、距離の性質は大きく異なる。

逆に、すべての位相空間に距離を与えることができるわけではありません。距離と互換性のある位相空間は距離化可能と呼ばれ、多くの点で特に良い性質を持ちます。特に、それらはパラコンパクト^{[ 11 ]}ハウスドルフ空間（したがって正規）であり、第一可算です。^{[ a ]}永田-スミルノフ距離化定理は、距離を参照せずに、他の位相的性質によって距離化可能性を特徴付けます。

ユークリッド空間における数列の収束は、次のように定義される。

数列( x _n )は、任意のε > 0に対して、すべてのn > Nに対してd ( x _n , x ) < ε となるような整数Nが存在する場合に、点xに収束します。

位相空間における数列の収束は、次のように定義される。

数列( x _n )が点xに収束するとは、 xを含む任意の開集合Uに対して、すべてのn > Nに対して、となる整数Nが存在する場合である。${\displaystyle x_{n}\in U}$。

距離空間においては、これら二つの定義はどちらも意味を持ち、等価である。これは距離空間の位相的性質に関する一般的なパターンである。すなわち、純粋に位相的な方法で定義することも可能だが、多くの場合、距離を用いた定義の方が記述しやすく、実解析においてより馴染み深いものとなる。

非公式に言えば、距離空間は「欠落点」がない場合に完全である。つまり、何らかの値に収束するように見えるすべての数列は、実際に収束する。

これを厳密に言うと、距離空間Mにおける数列( x _n )は、任意のε > 0に対して、すべてのm , n > Nに対してd ( x _m , x _n ) < εとなるような整数Nが存在する場合にコーシー列である。三角不等式により、収束する数列はコーシー列である。すなわち、x _mとx _{n が}ともに極限からεより小さい距離にある場合、それらは互いに2εより小さい距離にある。逆が真である場合、つまりMのすべてのコーシー列が収束する場合、Mは完備である。

ユークリッド空間は完全であり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上記で説明した他の指標とともに。完全でない空間の2つの例は、(0, 1)と有理数であり、それぞれから誘導される指標を持つ。${\displaystyle \mathbb {R} }$(0, 1)は端点 0 と 1 が「欠けている」と考えることができます。有理数にはすべての無理数が欠けています。なぜなら、任意の無理数にはそれに収束する有理数列が存在するからです。${\displaystyle \mathbb {R} }$（例えば、その連続する小数近似）。これらの例は、完全性が位相的性質ではないことを示している。${\displaystyle \mathbb {R} }$は完全であるが、同相空間(0, 1)は完全ではない。

この「欠落点」という概念は、より厳密に定義できる。実際、すべての距離空間には一意の完備化が存在する。完備化とは、与えられた空間を稠密な部分集合として含む空間のことである。例えば、[ 0, 1 ]は(0, 1)の完備化であり、実数は有理数の完備化である。

完備空間は一般的に扱いやすいため、完備化は数学全体を通して重要です。例えば、抽象代数学では、p進数は異なる距離空間における有理数の完備化として定義されます。完備化は関数解析において特に一般的なツールです。多くの場合、一連の扱いやすい関数と、それらの間の距離を測る方法があります。この距離空間の完備化を行うと、元の扱いやすい関数と重要な点で同様の振る舞いをするため、それほど扱いやすくはないものの、有用な新しい関数の集合が得られます。例えば、微分方程式の弱解は、微分方程式が実際に意味を持つ元の扱いやすい関数の空間ではなく、通常は完備化（ソボレフ空間）に存在します。

距離空間Mは、 M内のどの点のペアも距離rを超えないようなrが存在する場合に有界である。^{[ b ]}このようなrの最小値をMの直径と呼ぶ。

空間M は、任意のr > 0に対して半径rの開球によるMの有限被覆が存在する場合、プレコンパクトまたは完全有界と呼ばれます。すべての完全有界空間は有界です。これを確認するには、任意のrに対してr個の球による有限被覆から始めます。これらの球の中心からなるMの部分集合は有限であるため、その直径は有限であり、例えばDです。三角不等式により、空間全体の直径は最大でD + 2 rです。逆は成り立ちません。有界ではあるが完全有界ではない距離空間の例は次のとおりです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（またはその他の任意の無限集合）離散距離を持つ。

コンパクト性とは、ユークリッド空間の閉集合かつ有界集合の性質を一般化した位相的性質である。距離空間におけるコンパクト性には、いくつかの同等の定義が存在する。

1. 距離空間Mは、すべての開被覆が有限部分被覆を持つ場合、コンパクトである（通常の位相幾何学的定義）。
2. 距離空間Mは、任意の数列が収束する部分列を持つ場合にコンパクトである。（一般的な位相空間では、これは数列コンパクト性と呼ばれ、コンパクト性とは同値ではない。）
3. 距離空間Mは、完備かつ全有界である場合にコンパクトである。（この定義は距離空間の性質に基づいており、一般的な位相空間には当てはまらないが、コンパクト性と同値であるため位相的に不変である。）

コンパクト空間の一例として、閉区間[ 0, 1 ]が挙げられます。

コンパクト性は、完全性と同様の理由で重要です。つまり、極限を見つけやすくなるからです。もう一つ重要なツールは、ルベーグの数の補題です。これは、コンパクト空間の任意の開被覆に対して、すべての点がその被覆のいずれかの集合の内部に相対的に深く存在することを示しています。

「構造保存型」マップの解釈の一つとして、距離関数を完全に保存するマップが挙げられる。

関数${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$M ₁内の任意の点xとy のペアに対して、距離保存性^{[ 12 ]}が成り立つ場合、$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

距離空間の公理から、距離保存関数は単射であることが導かれる。全単射の距離保存関数は等長写像と呼ばれる。^{[ 13 ]}本稿で説明する空間間の等長写像の、おそらく自明ではない例の1つは、写像である。${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$定義される $${\displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y).}$$

空間M ₁とM ₂の間に等長写像が存在する場合、それらは等長であると言われます。等長である距離空間は本質的に同一です。

その対極にあるのは、距離構造を完全に無視して、位相構造のみを保持する連続写像を研究することである。距離空間における連続性には、いくつかの同等の定義が存在する。最も重要なものは以下のとおりである。

• 位相的定義。関数${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$M ₂の任意の開集合Uに対して、逆像が連続である場合${\displaystyle f^{-1}(U)}$営業中です。
• 逐次連続性。関数${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$数列( x _n )がM ₁内の点xに収束するたびに、数列が連続である。${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$M ₂内の点f ( x )に収束する。

（これら最初の2つの定義は、すべての位相空間において同等であるとは限りません。）

• ε-δ の定義。関数${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$M ₁のすべての点xとすべてのε > 0に対して、M ₁のすべてのyに対してδ > 0が存在し、$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

同相写像とは、逆写像も連続である連続な全単射のことです。M 1_とM ₂の間に同相写像が存在する場合、それらは同相であると言われます。同相な空間は位相の観点からは同じですが、計量特性は大きく異なる場合があります。例えば、${\displaystyle \mathbb {R} }$は非有界かつ完備であるのに対し、(0, 1)は有界ではあるが完備ではない。

関数${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$は、すべての実数ε > 0に対して、すべての点xおよびy ∈ M _{1に対して}、 δ > 0が存在し、${\displaystyle d(x,y)<\delta }$、 我々は持っています$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

この定義とε–δによる連続性の定義との唯一の違いは、量化子の順序です。δの選択はεのみに依存し、点xには依存してはなりません。しかし、この微妙な違いが大きな違いを生み出します。例えば、一様連続写像はM _{1のコーシー列を}M ₂のコーシー列に写像します。言い換えれば、一様連続性は、純粋に位相的な性質ではないいくつかの計量的な性質を保持します。

一方、ハイネ・カントールの定理によれば、 M ₁がコンパクトであれば、すべての連続写像は一様連続である。言い換えれば、一様連続性は、コンパクト距離空間の非位相的な特徴を区別することはできない。

リプシッツ写像とは、距離を最大で有界な係数だけ拡大する写像のことである。形式的には、実数K > 0が与えられたとき、写像は${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$K -リプシッツである場合 $${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$$ リプシッツ写像は、距離保存写像よりも柔軟性がありながら、計量を本質的に利用するため、計量幾何学において特に重要です。^{[ 14 ]}例えば、計量空間内の曲線は、リプシッツ再パラメータ化を持つ場合に限り、可測（有限長）となります。

1-リプシッツ写像は、非拡大写像または距離写像と呼ばれることもあります。距離写像は一般的に、距離空間の圏の射とみなされます。

K < 1のK-リプシッツ写像は縮約と呼ばれます。バナッハの不動点定理は、M が完備距離空間である場合、すべての縮約が K-リプシッツ写像であることを示しています。${\displaystyle f:M\to M}$一意の不動点を持つ。距離空間Mがコンパクトであれば、 fに関する条件を少し弱めても結果は成り立つ。${\displaystyle f:M\to M}$一意の固定点を持つ場合 $${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

準等長写像とは、距離空間の「大規模構造」を保持する写像のことです。準等長写像は連続である必要はありません。例えば、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$そしてその部分空間${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$片方が連結で、もう片方が離散的であっても、これらは準等長である。準等長の同値関係は幾何学的群論において重要であり、シュヴァルツ・ミルナーの補題によれば、群が幾何学的に作用するすべての空間は準等長である。^{[ 15 ]}

正式には、地図${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$は、定数A ≥ 1およびB ≥ 0が存在して、 $${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.}$$準等長写像であるのは、準全射写像でもある場合 である。すなわち、定数C ≥ 0が存在し、すべての点が となる。${\displaystyle M_{2}}$画像内のどこかの点から最大で距離Cにある。${\displaystyle f(M_{1})}$。

2つの距離空間が与えられた場合${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$そして${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$:

• それらの間に同相写像（すなわち、連続な逆写像を持つ連続な全単射）が存在する場合、それらは同相（位相的に同型）であると呼ばれます。${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$そして恒等写像は同相写像であるならば、${\displaystyle d_{1}}$そして${\displaystyle d_{2}}$これらは位相的に同等であると言われている。
• それらの間に一様同型写像（すなわち、一様連続な全単射と、それに対応する一様連続な逆写像）が存在する場合、それらは一様同型（一様同型）であると呼ばれます。
• それらの間にリプシッツ全単射（つまり、リプシッツ逆写像を持つリプシッツ全単射）が存在する場合、それらはリプシッツ同相であると呼ばれます。
• 両者の間に（全単射の）等長写像が存在する場合、それらは等長であると呼ばれます。この場合、2つの距離空間は本質的に同一です。
• それらの間に準等長写像が存在する場合、それらは準等長写像と呼ばれます。

ノルム付きベクトル空間とは、ベクトルの長さを測る関数であるノルムを備えたベクトル空間のことである。ベクトルvのノルムは通常、で表される。${\displaystyle \lVert v\rVert }$任意のノルムベクトル空間には、2つのベクトルxとy間の距離が次のように与えられる 計量を持たせることができる。$${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert .}$$ The metric d is said to be induced by the norm ${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$.

Conversely,^[16] if a metric d on a vector spaceX is

• translation invariant: ${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$ for every x, y, and a in X; and
• absolutely homogeneous: ${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$ for every x and y in X and real number α;

then ${\displaystyle \lVert x\rVert$ :=d(x,0)} is a norm induced by the metric. A similar relationship holds between seminorms and pseudometrics.

Among examples of metrics induced by a norm are the metrics d₁, d₂, and d_∞ on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, which are induced by the Manhattan norm, the Euclidean norm, and the maximum norm, respectively. More generally, the Kuratowski embedding allows one to see any metric space as a subspace of a normed vector space.

Infinite-dimensional normed vector spaces, particularly spaces of functions, are studied in functional analysis. Completeness is particularly important in this context: a complete normed vector space is known as a Banach space. An unusual property of normed vector spaces is that linear transformations between them are continuous if and only if they are Lipschitz. Such transformations are known as bounded operators.

A curve in a metric space (M, d) is a continuous function ${\displaystyle \gamma$ :[0,T]\to M} . The length of γ is measured by $${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$ In general, this supremum may be infinite; a curve of finite length is called rectifiable.^[17] Suppose that the length of the curve γ is equal to the distance between its endpoints—that is, it is the shortest possible path between its endpoints. After reparametrization by arc length, γ becomes a geodesic: a curve which is a distance-preserving function.^[15] A geodesic is a shortest possible path between any two of its points.^[c]

測地距離空間とは、その任意の2点間に測地線が存在する距離空間のことである。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$そして${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$どちらも測地距離空間である。${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$測地線は独特ですが、${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$記事冒頭の図に示すように、2点間にはしばしば無限に多くの測地線が存在する。

空間Mは、任意の 2 点xとyの間の距離がそれらの間の経路の長さの最小値である場合、長さ空間(または計量dが固有)である。測地距離空間とは異なり、最小値は達成される必要はない。測地距離ではない長さ空間の例は、原点を除いたユークリッド平面である。点(1, 0)と(-1, 0)は、長さが 2 に任意に近づく経路で結ぶことができるが、長さ 2 の経路では結ぶことができない。長さ空間ではない計量空間の例は、球面上の直線距離である。地球の中心を通る 2 点間の直線は、表面に沿ったどの経路よりも短い。

任意の距離空間( M , d )が与えられたとき、点xとyの間の距離を、それらの間の経路のd長さの最小値とすることで、 M上に新しい固有距離関数_d intrinsicを定義できます。たとえば、d が球面上の直線距離である場合、d _intrinsicは大円距離になります。ただし、場合によってはd _{intrinsic は}無限大の値をとることがあります。たとえば、M が部分空間距離dを持つコッホ雪片である場合、${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$すると、結果として得られる固有距離は、異なる点の任意のペアに対して無限大となる。

リーマン多様体は、あらゆる点における接ベクトルの長さを決定するリーマン計量テンソルを備えた空間である。これは、距離の概念を無限小で定義することと考えることができる。特に、微分可能な経路${\displaystyle \gamma$ リーマン多様体Mにおける:[0,T]\to M} の 長さは、パスへの接ベクトルの長さの積分として定義されます。 $${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$ 連結リーマン多様体上では、2点間の距離は、それらの点間の滑らかな経路の長さの最小値として定義される。この構成は、部分リーマン計量やフィンズラー計量など、多様体上の他の種類の微小計量にも一般化できる。

The Riemannian metric is uniquely determined by the distance function; this means that in principle, all information about a Riemannian manifold can be recovered from its distance function. One direction in metric geometry is finding purely metric ("synthetic") formulations of properties of Riemannian manifolds. For example, a Riemannian manifold is a CAT(k) space (a synthetic condition which depends purely on the metric) if and only if its sectional curvature is bounded above by k.^[20] Thus CAT(k) spaces generalize upper curvature bounds to general metric spaces.

Real analysis makes use of both the metric on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ and the Lebesgue measure. Therefore, generalizations of many ideas from analysis naturally reside in metric measure spaces: spaces that have both a measure and a metric which are compatible with each other. Formally, a metric measure space is a metric space equipped with a Borel regular measure such that every ball has positive measure.^[21] For example Euclidean spaces of dimension n, and more generally n-dimensional Riemannian manifolds, naturally have the structure of a metric measure space, equipped with the Lebesgue measure. Certain fractal metric spaces such as the Sierpiński gasket can be equipped with the α-dimensional Hausdorff measure where α is the Hausdorff dimension. In general, however, a metric space may not have an "obvious" choice of measure.

One application of metric measure spaces is generalizing the notion of Ricci curvature beyond Riemannian manifolds. Just as CAT(k) and Alexandrov spaces generalize sectional curvature bounds, RCD spaces are a class of metric measure spaces which generalize lower bounds on Ricci curvature.^[22]

A metric space is discrete if its induced topology is the discrete topology. Although many concepts, such as completeness and compactness, are not interesting for such spaces, they are nevertheless an object of study in several branches of mathematics. In particular, finite metric spaces (those having a finite number of points) are studied in combinatorics and theoretical computer science.^[23] Embeddings in other metric spaces are particularly well-studied. For example, not every finite metric space can be isometrically embedded in a Euclidean space or in Hilbert space. On the other hand, in the worst case the required distortion (bilipschitz constant) is only logarithmic in the number of points.^[24][25]

For any undirected connected graphG, the set V of vertices of G can be turned into a metric space by defining the distance between vertices x and y to be the length of the shortest edge path connecting them. In graph theory, this is also called the shortest-path distance or geodesic distance. In geometric group theory this construction is applied to the Cayley graph of a (typically infinite) finitely-generated group, yielding the word metric. Up to quasi-isometry, the word metric depends only on the group and not on the chosen finite generating set.^[15]

An important area of study in finite metric spaces is the embedding of complex metric spaces into simpler ones while controlling the distortion of distances. This is particularly useful in computer science and discrete mathematics, where algorithms often perform more efficiently on simpler structures like tree metrics.

A significant result in this area is that any finite metric space can be probabilistically embedded into a tree metric with an expected distortion of ${\displaystyle O(\log n)}$, where ${\displaystyle n}$ is the number of points in the metric space.^[26]

This embedding is notable because it achieves the best possible asymptotic bound on distortion, matching the lower bound of ${\displaystyle \Omega (\log n)}$. The tree metrics produced in this embedding dominate the original metrics, meaning that distances in the tree are greater than or equal to those in the original space. This property is particularly useful for designing approximation algorithms, as it allows for the preservation of distance-related properties while simplifying the underlying structure.

The result has significant implications for various computational problems:

• ネットワーク設計：メトリック空間をツリーメトリックに単純化することにより、グループシュタイナー木問題（シュタイナー木問題の一般化）や大量購入ネットワーク設計（ネットワーク計画および設計の問題）などの問題に対する近似アルゴリズムを改善します。
• クラスタリング：階層的クラスタリングをツリーメトリック上でより効率的に実行できるクラスタリング問題に対するアルゴリズムを強化します。
• オンラインアルゴリズム：簡素化された指標によってより優れた競争比率を提供することで、kサーバー問題やメトリックタスクシステムなどの問題にメリットをもたらします。

この手法では、元の距離空間の階層的分解を構築し、ランダム化アルゴリズムによってそれをツリー距離に変換する。${\displaystyle O(\log n)}$歪み限界は、いくつかのアルゴリズム問題において近似比の向上につながり、この理論的結果の実践的な重要性を示している。

現代数学では、点自体が数学的対象であるような空間を研究することがしばしばあります。このような空間における距離関数は、一般的に2つの対象間の類似性の低さを測ることを目的としています。以下にいくつかの例を示します。

• 距離空間への関数。Xが任意の集合で、M が距離空間である場合、すべての有界関数の集合は、${\displaystyle f\colon X\to M}$（つまり、その像が有界部分集合である関数）${\displaystyle M}$) は、2 つの有界関数fとgの間の距離を次のように定義することにより、距離空間に変換できます。$${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$この距離は一様距離または上限距離と呼ばれます。^{[ 27 ]} Mが完備であれば、この関数空間も完備です。さらに、Xも位相空間であれば、 XからMへのすべての有界連続関数からなる部分空間も完備です。Xが部分空間である場合、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$この関数空間は、古典的なウィーナー空間として知られています。
• グラフ編集距離とは、2つのグラフ間の類似性の低さを測る尺度であり、あるグラフを別のグラフに変換するために必要な最小限のグラフ編集操作の数として定義されます。
• ワッサースタイン距離は、同じ距離空間上の2つの尺度間の距離を測定する指標です。2つの尺度間のワッサースタイン距離は、おおまかに言えば、一方の尺度を他方の尺度へ移動させるのにかかるコストです。
• ある体上のすべてのm × n行列の集合は、ランク距離に関して距離空間である。${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$。
• ゲーム理論におけるヘリー指標は、ゲームにおける戦略間の違いを測定する指標である。

数学的対象の空間という概念は、距離空間自体だけでなく、距離空間の部分集合にも適用できる。ハウスドルフ距離とグロモフ・ハウスドルフ距離は、それぞれ距離空間のコンパクト部分集合の集合とコンパクト距離空間の集合上の距離を定義する。

( M , d )を距離空間と し、S をMの部分集合とする。SからMの点xまでの距離は、非公式には、 xからSの最も近い点までの距離である。ただし、最も近い点が一つだけとは限らないため、下限によって定義される。 $${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$ 特に、${\displaystyle d(x,S)=0}$xがSの閉包に属する場合に限り、次の式が成り立つ。さらに、点と集合間の距離は、三角不等式の一種を満たす。 $${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$ そのため地図${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$定義される${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$は連続である。ちなみに、これは距離空間が完全に正則であることを示している。

Mの2 つの部分集合SとTが与えられたとき、それらのハウスドルフ距離は $${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$ 非公式には、2 つの集合SとT は、 Sのどの要素もTから遠すぎず、またその逆も成り立つ場合、ハウスドルフ距離で互いに近いと言えます。たとえば、Sがユークリッド空間の開集合で、TがS内のε-ネットである場合、${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$一般に、ハウスドルフ距離は${\displaystyle d_{H}(S,T)}$無限大またはゼロになる可能性がある。ただし、2つの異なるコンパクト集合間のハウスドルフ距離は常に正で有限である。したがって、ハウスドルフ距離はMのコンパクト部分集合の集合上の距離を定義する。

The Gromov–Hausdorff metric defines a distance between (isometry classes of) compact metric spaces. The Gromov–Hausdorff distance between compact spaces X and Y is the infimum of the Hausdorff distance over all metric spaces Z that contain X and Y as subspaces. While the exact value of the Gromov–Hausdorff distance is rarely useful to know, the resulting topology has found many applications.

• Given a metric space (X, d) and an increasing concave function${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$ such that f(t) = 0 if and only if t = 0, then ${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$ is also a metric on X. If f(t) = t^α for some real number α < 1, such a metric is known as a snowflake of d.^[28]
• The tight span of a metric space is another metric space which can be thought of as an abstract version of the convex hull.
• The knight's move metric, the minimal number of knight's moves to reach one point in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ from another, is a metric on ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.
• The British Rail metric (also called the "post office metric" or the "French railway metric") on a normed vector space is given by ${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$ for distinct points ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle d(x,x)=0}$. More generally ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ can be replaced with a function ${\displaystyle f}$ taking an arbitrary set ${\displaystyle S}$ to non-negative reals and taking the value ${\displaystyle 0}$ at most once: then the metric is defined on ${\displaystyle S}$ by ${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$ for distinct points ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$, and ${\displaystyle d(x,x)=0}$. The name alludes to the tendency of railway journeys to proceed via London (or Paris) irrespective of their final destination.
• The Robinson–Foulds metric used for calculating the distances between Phylogenetic trees in Phylogenetics^[29]

If ${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$ are metric spaces, and N is the Euclidean norm on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, then ${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$ is a metric space, where the product metric is defined by $${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$ そして誘導された位相は積位相と一致する。有限次元におけるノルムの等価性により、Nがタクシーノルム、pノルム、最大ノルム、または正のnタプルの座標が増加するにつれて減少しない他のノルム（三角不等式を与える）である場合、位相的に等価な計量が得られる。

同様に、可算個の距離空間の位相積上の距離は、距離を用いて得ることができる。 $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

非可算個の距離空間の位相積は距離化可能ではない。例えば、非可算個のコピーの積は距離化可能ではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$は第一可算名詞ではないため、計量化できません。

Mが距離dを持つ距離空間である場合、${\displaystyle \sim }$M上の同値関係であれば、商集合を付与することができる。${\displaystyle M/{\sim }}$擬似距離を用いた。2つの同値類間の距離${\displaystyle [x]}$そして${\displaystyle [y]}$は次のように定義される。 $${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$ ここで、下限はすべての有限数列について取られる。${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$そして${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$と${\displaystyle p_{1}\sim x}$、${\displaystyle q_{n}\sim y}$、${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$^{[ 30 ]}一般に、これは擬似距離のみを定義します。${\displaystyle d'([x],[y])=0}$必ずしも意味するものではない${\displaystyle [x]=[y]}$ただし、一部の同値関係（例えば、多面体を面に沿って貼り合わせることによって得られる関係）については、${\displaystyle d'}$これは指標です。

商の指標${\displaystyle d'}$以下の普遍的な性質によって特徴付けられます。${\displaystyle f\colon (M,d)\to (X,\delta )}$f ( x ) = f ( y )を満たす距離空間間の距離（すなわち1-リプシッツ）写像は、${\displaystyle x\sim y}$すると、誘導関数${\displaystyle {\overline {f}}\colon M/{\sim }\to X}$によって与えられた${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$はメトリックマップです${\displaystyle {\overline {f}}\colon (M/{\sim },d')\to (X,\delta ).}$

商距離は必ずしも商位相を誘導するとは限りません。例えば、距離空間の位相的商は${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$フォームのすべてのポイントを特定する${\displaystyle (n,0)}$は第一可算ではないため計量化できませんが、商計量は同じ集合上の明確に定義された計量であり、より粗い位相を誘導します。さらに、元の位相空間（可算個の区間の非交和）上の異なる計量は、商上の異なる位相につながります。^{[ 31 ]}

位相空間が逐次的であるのは、それが距離空間の（位相的）商である場合に限る。^{[ 32 ]}

一部の著者は、距離関数d が∞ の値を取ることができるようにメトリックを定義しています。つまり、距離は拡張された実数直線上の非負の数です。^{[ 4 ]}このような関数は、拡張メトリックまたは「∞メトリック」とも呼ばれます。すべての拡張メトリックは、位相的に等価な実数値メトリックに置き換えることができます。これは、ゼロでゼロとなる、劣加法的な単調増加の有界関数を使用して行うことができます。${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$または${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$。

メトリックが値を取るという要件${\displaystyle [0,\infty )}$次のような他の構造の値を持つ指標を考慮するように緩和することができます。

• 順序付けられた体、一般化された距離の概念を生み出す。
• より一般的な有向集合。加算演算がない場合、三角不等式は意味をなさず、超距離不等式に置き換えられます。これにより、一般化された超距離の概念が導かれます。^{[ 33 ]}

これらの一般化は依然として空間上に均一な構造をもたらす。

擬似距離​${\displaystyle X}$関数です${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$これは計量の公理を満たしているが、2番目（不可弁別物の同一性）の代わりに${\displaystyle d(x,x)=0}$すべての人々のために${\displaystyle x}$が必要である。^{[ 34 ]}言い換えれば、擬距離の公理は次のようになる。

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$。

擬似距離は、半ノルムとの関係から、一部の文脈では半距離^{[ 35 ]}と呼ばれています。

準計量は、対称性を除く計量のすべての公理を満たす関数として定義されることがある。^{[ 36 ]}この一般化の名称は完全に標準化されているわけではない。^{[ 37 ]}

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

準距離は実生活でよく見られます。例えば、山村の集合Xが与えられた場合、 Xの要素間の典型的な徒歩時間は準距離を形成します。これは、上り坂の移動は下り坂の移動よりも時間がかかるためです。別の例としては、一方通行の道路がある都市での自動車の走行距離が挙げられます。この場合、 A地点からB地点への最短経路は、 B地点からA地点への最短経路とは異なる道路の集合を通るため、長さも異なる場合があります。

実数上の準計量は、次のように定義できる。 $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ 1 は、例えば無限大や${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$または、 y - xのその他の劣加法関数。この準計量は、金属棒を改造するコストを表しています。やすりで削ってサイズを小さくするのは簡単ですが、大きくするのは困難または不可能です。

X上の準距離が与えられたとき、 x の周りのR球を次のように定義できる。${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$距離の場合と同様に、このような球はX上の位相の基底を形成しますが、この位相は距離化可能である必要はありません。たとえば、上述の実数上の準距離によって誘導される位相は、（反転した）ソルゲンフレイ線です。

メタメトリックでは、同一点間の距離が必ずしもゼロではないという点を除いて、メトリックのすべての公理が満たされます。言い換えれば、メタメトリックの公理は次のとおりです。

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

メタメトリクスは、グロモフ双曲距離空間とその境界の研究に現れる。このような空間上の視覚メタメトリクスは、${\displaystyle d(x,x)=0}$ポイントのために${\displaystyle x}$境界線上では、しかしそれ以外では${\displaystyle d(x,x)}$はおおよそからの距離です${\displaystyle x}$境界まで。メタメトリクスは、最初に Jussi Väisälä によって定義されました。^{[ 38 ]}他の研究では、これらの公理を満たす関数は部分計量^{[ 39 ] [ 40 ]}または転位計量^{[ 34 ]}と呼ばれます。

半計量​${\displaystyle X}$関数です${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$これは最初の３つの公理を満たすが、必ずしも三角不等式を満たすとは限らない。

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

一部の著者は、次のような三角不等式のより弱い形式を使用しています。

ρ-inframetric 不等式は ρ-relaxed 三角形不等式 (最初の公理を仮定) を意味し、ρ-relaxed 三角形不等式は 2ρ-inframetric 不等式を意味します。これらの等価条件を満たすセミメトリックは、準メトリック^{[ 41 ]} 、ニアメトリック^{[ 42 ]}、またはinframetrics ^{[ 43 ]}と呼ばれることがあります。

ρ-inframetric 不等式は、インターネットの往復遅延時間をモデル化するために導入されました。^{[ 43 ]}三角不等式は 2-inframetric 不等式を意味し、超距離不等式は1-inframetric 不等式と全く同じです。

最後の３つの公理を緩和すると、プレメトリック、すなわち以下の条件を満たす関数の概念が得られます。

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

これは標準的な用語ではありません。擬似半距離^{[ 44 ]}や擬似距離^{[ 45 ]}など、他の距離の一般化を指すのに使用されることもあります。ロシア語の書籍の翻訳では、「prametric」と表記されることもあります。^{[ 46 ]}対称性を満たすプレメトリック、つまり擬似半距離も距離と呼ばれます。^{[ 47 ]}

任意のプレメトリックは、次のような位相を生み出す。正の実数に対して${\displaystyle r}$、${\displaystyle r}$ボールは一点を中心としている${\displaystyle p}$は次のように定義される。

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

集合は、任意の点に対して、${\displaystyle p}$セットには${\displaystyle r}$-ボールの中心は${\displaystyle p}$これは集合に含まれています。すべてのプレメトリック空間は位相空間であり、実際にはシーケンス空間です。 一般に、${\displaystyle r}$球自体は、この位相に関して開集合である必要はない。距離に関しては、2つの集合間の距離は${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は次のように定義されます。

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

これは、プレメトリック空間の冪集合上のプレメトリックを定義します。擬似半メトリック空間から始めると、擬似半メトリック、つまり対称プレメトリックが得られます。任意のプレメトリックはプレクロージャ演算子を生み出します。${\displaystyle cl}$次のように：

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

接頭辞pseudo-、quasi-、semi-も組み合わせることができ、例えば、擬似準計量(時には半計量とも呼ばれる) は不可弁別公理と対称性公理の両方を緩和し、単に三角不等式を満たす前計量である。擬似準計量空間の場合、開空間は${\displaystyle r}$-球は開集合の基底を形成する。擬似準距離空間の非常に基本的な例は集合である。${\displaystyle \{0,1\}}$プレメトリックは次のように与えられる${\displaystyle d(0,1)=1}$そして${\displaystyle d(1,0)=0.}$ The associated topological space is the Sierpiński space.

Sets equipped with an extended pseudoquasimetric were studied by William Lawvere as "generalized metric spaces".^[48] From a categorical point of view, the extended pseudometric spaces and the extended pseudoquasimetric spaces, along with their corresponding nonexpansive maps, are the best behaved of the metric space categories. One can take arbitrary products and coproducts and form quotient objects within the given category. If one drops "extended", one can only take finite products and coproducts. If one drops "pseudo", one cannot take quotients.

Lawvere also gave an alternate definition of such spaces as enriched categories. The ordered set ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$ can be seen as a category with one morphism${\displaystyle a\to b}$ if ${\displaystyle a\geq b}$ and none otherwise. Using + as the tensor product and 0 as the identity makes this category into a monoidal category${\displaystyle R^{*}}$. Every (extended pseudoquasi-)metric space ${\displaystyle (M,d)}$ can now be viewed as a category ${\displaystyle M^{*}}$ enriched over ${\displaystyle R^{*}}$:

• The objects of the category are the points of M.
• For every pair of points x and y such that ${\displaystyle d(x,y)<\infty }$, there is a single morphism which is assigned the object ${\displaystyle d(x,y)}$ of ${\displaystyle R^{*}}$.
• The triangle inequality and the fact that ${\displaystyle d(x,x)=0}$ for all points x derive from the properties of composition and identity in an enriched category.
• Since ${\displaystyle R^{*}}$ is a poset, all diagrams that are required for an enriched category commute automatically.

The notion of a metric can be generalized from a distance between two elements to a number assigned to a multiset of elements. A multiset is a generalization of the notion of a set in which an element can occur more than once. Define the multiset union ${\displaystyle U=XY}$ as follows: if an element x occurs m times in X and n times in Y then it occurs m + n times in U. A function d on the set of nonempty finite multisets of elements of a set M is a metric^[49] if

1. ${\displaystyle d(X)=0}$ if all elements of X are equal and ${\displaystyle d(X)>0}$ otherwise (positive definiteness)
2. ${\displaystyle d(X)}$（順序付けされていない）多重集合Xのみに依存する（対称性）
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$（三角不等式）

多重集合Xが2つの要素を持つ場合の公理1と公理2 、および多重集合X、Y、Zがそれぞれ1つの要素を持つ場合の公理3を考慮すると、通常の距離尺度の公理が再現される。つまり、すべての多重集合距離尺度は、2つの要素の集合に制限すると、通常の距離尺度となる。

簡単な例としては、空でないすべての有限多重集合の集合が挙げられる。${\displaystyle X}$整数の${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$より複雑な例としては、マルチセットにおける情報距離^{[ 49 ]}や、マルチセットにおける正規化圧縮距離（NCD）^{[ 50 ]などがある。}