準等長法

数学において、準等長変換とは、 2 つの距離空間の大規模な幾何学的形状を尊重し、小規模な詳細は無視する、2 つの距離空間間の関数です。2 つの距離空間の間に準等長変換が存在する場合、それらの距離空間は準等長変換です。準等長変換であるという特性は、距離空間のクラスにおける同値関係のように動作します。

準等長の概念は、グロモフの研究に続いて、幾何学的群論において特に重要である。^[1]

が、ある距離空間から別の距離空間への（必ずしも連続ではない）関数であるとする。定数、、が存在し、次の2つの性質が両方とも成り立つとき、はからへの準等長写像と呼ばれる：^[2]${\displaystyle f}$${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$${\displaystyle A\geq 1}$${\displaystyle B\geq 0}$${\displaystyle C\geq 0}$

1. 内の任意の 2 つの点とについて、それらの像間の距離は、元の距離の倍以内の加法定数までです。より正式には、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. のすべての点は像点から 一定の距離内にあります。より正式には、${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle C}$

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

2 つの距離空間と は、からへの準等長変換が存在する場合、準等長であると呼ばれます。 ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

マップは、最初の条件を満たすが、必ずしも 2 番目の条件を満たすとは限らない (つまり、粗くリプシッツであるが、粗く射影的ではない可能性がある) 場合、準等長埋め込みと呼ばれます。言い換えると、マップを通過する場合、は の部分空間に準等長です。 ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

2 つの距離空間M ₁とM ₂は、準等長空間 が存在する場合、 と表記され、準等長空間であるといわれます。 ${\displaystyle M_{1}{\underset {qi}{\sim }}M_{2}}$${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

ユークリッド平面と、すべての点をその点自身に送るマンハッタン距離を持つ平面との間の写像は、準等長写像です。この写像では、距離は最大で 倍になります。たとえば、マンハッタン距離では点同士の距離は等しくなりますが、ユークリッド平面では、4 つの点同士の距離が等しくないため、等長写像は存在しないことに注意してください。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$

すべての整数の組をそれ自身に送る写像（どちらもユークリッド距離を持つ）は準等長写像です。つまり、距離は正確に保存され、すべての実数組は整数組から距離内に収まります。反対方向では、すべての実数組を最も近い整数組に丸める不連続関数も準等長写像です。この写像によって各点はその点から距離内にある点に渡されるため、丸めによって点のペア間の距離は最大 を加算または減算して変化します。 ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$

有限または有界距離空間のすべてのペアは準等長です。この場合、一方の空間から他方の空間へのすべての関数は準等長です。

が擬似等長変換である場合、擬似等長変換 が存在します。実際、 は、からの距離内にある の像内の任意の点を とし、内の任意の点を とすることで定義できます。 ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$

恒等写像は準等長写像であり、 2 つの準等長写像の合成も準等長写像であるため、準等長写像であるという特性は距離空間のクラス上の同値関係のように動作することになります。

有限生成群Gの有限生成集合 Sが与えられれば、 SとGの対応するケイリーグラフを形成できる。各辺の長さを 1 と宣言すれば、このグラフは距離空間になる。異なる有限生成集合Tを取ると、異なるグラフと異なる距離空間が得られるが、2 つの空間は準等長である。^[3]この準等長類は、したがって群Gの不変量である。距離空間の、空間の準等長類にのみ依存する特性はいずれも、直ちに群の別の不変量を生み、群論の分野を幾何学的手法に開く。

より一般的には、Švarc-Milnor の補題は、群G が適切な測地空間X上でコンパクト商で適切に不連続に作用する場合、G はXに対して準等長である(つまり、 Gの任意のケーリー グラフがそうである) ことを述べています。これにより、互いに準等長である群の新しい例が与えられます。

• G' がGの有限指数の部分群である場合、G'はGに対して準等長である。
• GとHが同じ次元dの2つのコンパクト双曲多様体の基本群である場合、それらは両方とも双曲空間H ^dに対して準等長であり、したがって互いに準等長である。一方、有限体積の基本群の準等長類は無限に存在する。^[4]

距離空間における準測地線は、を に準等長的に埋め込むものである。より正確には、が存在するような写像であり、 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$${\displaystyle C,K>0}$

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|st|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|st|+K}$

は -準測地線と呼ばれます。明らかに測地線 (弧長でパラメータ化) は準測地線です。いくつかの空間では逆がおおむね真であるという事実、つまりすべての準測地線が真の測地線から制限された距離内に留まるという事実は、モースの補題と呼ばれます (微分位相幾何学のモースの補題と混同しないでください)。正式には、このステートメントは次のようになります。 ${\displaystyle (C,K)}$

および適切なδ 双曲空間とします。 が存在し、任意の-準測地線に対して となる測地線が存在し、すべての に対してとなります。${\displaystyle \delta ,C,K>0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (C,K)}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

これは幾何学的群論における重要なツールです。直接的な応用としては、真正双曲空間間の任意の準等長写像がその境界間に同相写像を誘導するということが挙げられます。この結果は、モストウの剛性定理の証明の第一歩です。

さらに、この結果は、Googleマップに似たアプリケーションにおけるユーザーインタラクションデザインの分析にも有用であることがわかっています。^[5]

以下は、準等長変換に対して不変な群ケイリーグラフの性質の例である。^[2]

グループのケイリー グラフの 1 つが何らかの δ に対する δ 双曲空間である場合、そのグループは双曲的と呼ばれます。双曲性の異なる定義間で変換する場合、δ の特定の値は変わる可能性がありますが、結果として得られる双曲グループの概念は同等になります。

双曲群には解ける単語問題があります。双曲群は双自動的かつ自動的です。^[6]実際、双曲群は強く測地的に自動的です。つまり、単語アクセプタによって受け入れられる言語がすべての測地的単語の集合であるグループに自動構造があります。

対称生成セットに関するグループの成長率は、グループ内のボールのサイズを表します。グループ内のすべての要素は、ジェネレータの積として表すことができ、成長率は、長さnの積として表すことができる要素の数を数えます。

グロモフの定理によれば、多項式増加群は事実上冪零、つまり有限指数の冪零 部分群を持ちます。特に、多項式増加の位数は自然数でなければならず、実際 です。 ${\displaystyle k_{0}}$${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

がどの指数関数よりもゆっくりと増加する場合、 G は指数関数以下の増加率を持ちます。このような群はいずれも従順です。 ${\displaystyle \#(n)}$

位相空間の端は、大まかに言えば、空間の「理想的な境界」の連結成分です。つまり、各端は空間内で無限に移動する位相的に異なる方法を表します。各端に点を追加すると、元の空間のコンパクト化が得られ、端のコンパクト化と呼ばれます。

有限生成群の端は、対応するケイリーグラフの端として定義されます。この定義は、有限生成セットの選択とは無関係です。すべての有限生成無限群には、0、1、2、または無限個の端があり、群の端に関するスタリングの定理は、複数の端を持つ群の分解を提供します。

連結された2つの局所有限グラフが準等長グラフである場合、それらのグラフの端の数は同じです。^[7]特に、2つの準等長有限生成群の端の数は同じです。

従属群とは、局所的にコンパクトな 位相群 Gであり、群の元による変換に対して不変である有界関数上の一種の平均化操作を伴う。 Gの部分集合上の有限加法不変測度（または平均）に関する元の定義は、バナッハ・タルスキーのパラドックスへの対応として、1929年にジョン・フォン・ノイマンによってドイツ語名「messbar」（英語では「measurable」）で導入された。 1949年にマロン・M・デイは、おそらく語呂合わせで英語の翻訳「amenable」を導入した。^[8]

離散群論では、G は離散位相を持ち、より単純な定義が使用されます。この設定では、任意の部分集合がG のどの程度の割合を占めるかを言うことができれば、その群は従順であるといえます。

グループにFølner シーケンスがある場合、そのグループは自動的に従属的になります。

超極限は、距離空間の列 X _nに極限距離空間を割り当てる幾何学的構成です。重要な超極限のクラスは、距離空間のいわゆる漸近錐です。 ( X、d ) を距離空間とし、ω を上の非主超フィルタとし、p _n  ∈  X を基点の列とします。すると、列のω –超極限はωに関するXの漸近錐と呼ばれ、と表記されます。基点列は定数、つまり、あるp ∈ Xに対してp _n = p であるとすることがよくあります。この場合、漸近錐はp ∈ Xの選択に依存せず、または単にと表記されます 。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

漸近錐の概念は、幾何学群論において重要な役割を果たしている。漸近錐（より正確には、その位相型と双リプシッツ型）は、一般に距離空間の準等長不変量、特に有限生成群の準等長不変量を提供するからである。^{[9]漸近錐は、}相対双曲群とその一般化の研究においても有用なツールであることが判明している。 ^[10]

• 等長法
• 粗い構造