幾何学 において 、四角形は 4辺の多角形 で、4つの辺 （側面）と4つの角 （頂点）を持ちます。この言葉は、ラテン語のquadri （4 の異形）とlatus （「側面」を意味する）に由来します。また、他の多角形（例えば五角形）との 類推 から、ギリシャ語の「tetra」（「4」を意味する）と「gon」（「角」または「角度」を意味する）に由来するテトラゴンとも呼ばれます。「gon」は「角度」を意味するため、類推的に四角形 、または4角形とも呼ばれます。頂点を持つ四角形A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} C {\displaystyle C} D {\displaystyle D} ◻ A B C D {\displaystyle \square ABCD} 1 ]
四角形は、単純四角形 （自己交差しない）か複雑四角形 （自己交差する、または交差する）のいずれかです。単純四角形は、凸四角形 か凹四角形の いずれかです。
単純な（そして平面の ）四角形ABCDの 内角の合計 は360度 、つまり[ 1 ]
∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360 ∘ 。 {\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.} これはn 角形の内角の和の公式の特殊なケースです。S = ( n − 2) × 180° (ここではn=4)。[ 2 ]
自己交差しないすべての四角形は、辺の中点を中心とした繰り返し回転によって平面を敷き詰める。 [ 3 ]
単純な四角形 自己交差しない四角形はすべて単純四角形である。
凸四角形 いくつかの種類の単純な四角形のオイラー図 。（UK）はイギリス英語、（US）はアメリカ英語を表します。対称性により凸四角形となる（ハッセ図で表現） 凸四角形では、すべての内角が180°未満であり、2本の対角線は両方とも四角形の内側にある。
不規則な四角形[ a ] 台形 （英国）または台形 （米国）：少なくとも一組の対辺が平行で ある。台形（英国）と台形（米国）には平行四辺形が含まれる。二等辺台形 （英国式）または二等辺台形 （米国式）：向かい合う辺の一組が平行で、底角 が等しい図形。別の定義としては、向かい合う辺の一組を二等分する対称軸を持つ四角形、または対角線の長さが等しい台形が挙げられる。平行四辺形 ：2組の平行な辺を持つ四角形。同等の条件としては、対辺の長さが等しい、対角が等しい、または対角線が互いに二等分する、のいずれかがある。平行四辺形には、ひし形（正方形と呼ばれる長方形を含む）と菱形（長方形と呼ばれる長方形を含む）が含まれる。言い換えれば、平行四辺形にはすべてのひし形とすべての菱形が含まれるため、すべての長方形も含まれる。ひし形 、菱形：[ 1 ] 菱形：隣接する辺の長さが等しくなく、いくつかの角が 斜角 （直角がない）である平行四辺形。非公式には「押し倒された長方形」。すべての文献が一致しているわけではなく、菱形ではない平行四辺形を菱形と定義しているものもある。[ 4 ] 長方形 ：4つの角がすべて直角（等角）である。同等の条件として、対角線が互いに二等分し、長さが等しいという条件もある。長方形には正方形と長方形が含まれる。非公式には、「箱または長方形」（正方形を含む）とも呼ばれる。正方形 （正四角形）：4辺の長さがすべて等しく（正四角形）、4つの角がすべて直角である。これと同等の条件として、対辺が平行であること（正方形は平行四辺形である）、および対角線が互いに垂直に二等分し、長さが等しいことが挙げられる。四角形が正方形であるのは、それがひし形かつ長方形である場合（つまり、4辺の長さと4つの角の長さがすべて等しい場合）に限る。長方形 ：長さが幅より長い、または幅が長さより長い（つまり、正方形ではない長方形）。[ 5 ] 凧形 ：隣接する2組の辺の長さが等しい図形。これは、1本の対角線が凧形を合同な三角形 に分割し、したがって2組の等しい辺の間の角度が等しいことを意味します。また、対角線は互いに垂直であることも意味します。凧形にはひし形が含まれます。
接線四角形 ：4辺が内接円に接している四角形。凸四角形は、向かい合う辺の和が等しい場合に限り、接線四角形となる。接線台形 ：4辺が内接円 に接する 台形。円に内接する四角形 ：4つの頂点が外接円 上にある四角形。凸四角形は、対角の和が180°である場合に限り、円に内接する四角形である。直角凧 ：対向する2つの角が直角である凧形。円に内接する四角形の一種。調和四角形 ：対向する辺の長さの積が等しい円に内接する四角形。二中心四角形 ：接線方向と円周方向の両方を満たす。直交対角四角形 ：対角線が直角 に交わる。正対角線四角形 ：対角線の長さが等しい。二等分対角線四角形：一方の対角線がもう一方の対角線を等しい長さに二等分する四角形。ダーツや凧形はすべて二等分対角線四角形です。両方の対角線が互いを二等分する場合、それは平行四辺形です。 接線四角形 ：辺の4つの延長線が接円 に接している。正四角形と は、向かい合う2辺の長さが等しく、それらを延長すると60°の角度で交わる四角形のことである。ワット四角形 とは、対辺の長さが等しい四角形のことである。[ 6 ] 四角形は 、4つの頂点がすべて正方形の周上にある凸四角形です。[ 7 ] 直径四角形 とは、その辺の1つが外接円の直径である円に内接する四角形のことである。[ 8 ] ヘルムスレフ四角形 とは、対向する頂点に2つの直角を持つ四角形のことである。[ 9 ]
凹四角形 凹四角形では、内角の1つが180°より大きく、かつ2本の対角線の1つが四角形の外側にある。
ダーツ（または矢じり）は、凧のように左右対称の凹四角形ですが 、内角の1つが反射角です。凧 を 参照してください。
複雑な四角形 反平行四辺形 自己交差する 四角形は、クロス四角形 、交差四角形 、蝶 四角形、蝶ネクタイ 四角形鋭角2 つと 反射角 2 つ、図形をトレースするとすべて左側またはすべて右側）の合計は 720° になります。[ 10 ]
凸四角形の面積 辺の長さがa = AB 、 b = BC 、 c = CD 、 d = DA ABCDの 面積 K
面積は三角関数を用いて次のように表すことができる[ 14 ]
K = 1 2 p q 罪 θ 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,} ここで、対角線の長さはp q θ [ 15 ] K = p q 2 {\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}} θ 90° なので。
面積は二中央値を用いて次のように表すこともできます[ 16 ]
K = m n 罪 φ 、 {\displaystyle K=mn\sin \varphi ,} ここで、二分線の長さはm n φ
ブレッチュナイダーの公式 [ 17 ] [ 14 ]
K = （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） − 1 2 1 b c d [ 1 + コス （ A + C ） ] = （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） − 1 b c d コス 2 1 2 （ A + C ） {\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{整列}}} ここで、辺は順にa b c d s A C A + C = 180° ブラフマグプタの公式 に帰着します。
辺と角に関する別の面積公式（角Cは辺 b c Aは辺 a d
K = 1 2 1 d 罪 A + 1 2 b c 罪 C 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.} 円に内接する四角形の場合、後者の式は次のようになる。K = 1 2 （ 1 d + b c ） 罪 A 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}
平行四辺形では、対辺と対角のペアが両方とも等しいため、この式は次のように簡略化されます。K = 1 b ⋅ 罪 A 。 {\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}
あるいは、 θ が90° でない限り、辺と対角線の交角θ [ 18 ]
K = 1 4 | タン θ | ⋅ | 1 2 + c 2 − b 2 − d 2 | 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.} 平行四辺形の場合、後者の式は次のようになる。K = 1 2 | タン θ | ⋅ | 1 2 − b 2 | 。 ${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$
辺a b c dを含む別の面積公式は [ 16 ]
K = 1 2 （ （ 1 2 + c 2 ） − 2 x 2 ） （ （ b 2 + d 2 ） − 2 x 2 ） 罪 φ {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }} ここで、 x φは 二分線 間の角度である。
辺a b c d α a b [ 19 ]
K = 1 2 1 b 罪 α + 1 4 4 c 2 d 2 − （ c 2 + d 2 − 1 2 − b 2 + 2 1 b コス α ） 2 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},} これは、最初の符号+を - に変更するだけで、凹四角形 (凹面が角度α
以下の2つの式は、辺a b c d 半周長 s p q
K = （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） − 1 4 （ 1 c + b d + p q ） （ 1 c + b d − p q ） 、 {\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},} [ 20 ] K = 1 4 4 p 2 q 2 − （ 1 2 + c 2 − b 2 − d 2 ） 2 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.} [ 21 ] 最初の式は円に内接する四角形の場合にはブラフマグプタの公式に帰着する。なぜなら、その場合pq = ac + bd
面積は、二分線m n p q
K = 1 2 （ m + n + p ） （ m + n − p ） （ m + n + q ） （ m + n − q ） 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},} [ 22 ] K = 1 2 p 2 q 2 − （ m 2 − n 2 ） 2 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.} [ 23 ] ： 実際、m n p q p 2 + q 2 = 2 （ m 2 + n 2 ） 。 {\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).} [ 24 ] : [ 25 ]
K = 1 2 [ （ m + n ） 2 − p 2 ] ⋅ [ p 2 − （ m − n ） 2 ] 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},} 2 つの二分線と 1 つの対角線の長さが与えられている場合、[ 25 ]
K = 1 4 [ （ p + q ） 2 − 4 m 2 ] ⋅ [ 4 m 2 − （ p − q ） 2 ] 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},} 2本の対角線と1本の二分線の長さが与えられている場合。
四角形ABCD ベクトル を用いて計算できます。ベクトルAC BDをそれぞれ A C Bから D
K = 1 2 | A C × B D | 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,} これは、ベクトルAC BD の外積 の半分の大きさです。2 次元ユークリッド空間では、ベクトルAC を デカルト空間の自由ベクトル ( x 1 , y 1 ) として、BD を 表す と 、 これ は 次 の ように書き換えることができます。
K = 1 2 | x 1 y 2 − x 2 y 1 | 。 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}
対角線
四角形の対角線の性質 次の表には、最も基本的な四角形の対角線が互いに二等分するかどうか、対角線が垂直 かどうか、対角線の長さ が等しいかどうかがリストされています。[ 26 ]
注1：最も一般的な台形と二等辺台形は垂直な対角線を持ちませんが、垂直な対角線を持ち、他の名前の付いた四角形ではない（相似でない）台形と二等辺台形は無限に存在します。 注2：凧形においては、一方の対角線がもう一方の対角線を二等分します。最も一般的な凧形は対角線の長さが異なりますが、対角線の長さが等しい（かつ他の名前の付いた四角形ではない）凧形は無限に存在します（互いに相似ではありません）。
対角線の長さ 凸四角形ABCD の対角線の長さは、1つの対角線と四角形の2辺によって形成される各三角形上で余弦定理を 用いて計算できる。したがって
p = 1 2 + b 2 − 2 1 b コス B = c 2 + d 2 − 2 c d コス D {\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}} そして
q = 1 2 + d 2 − 2 1 d コス A = b 2 + c 2 − 2 b c コス C 。 {\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.} 対角線の長さに関するその他のより対称的な式は[ 27 ]である。
p = （ 1 c + b d ） （ 1 d + b c ） − 2 1 b c d （ コス B + コス D ） 1 b + c d {\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}} そして
q = （ 1 b + c d ） （ 1 c + b d ） − 2 1 b c d （ コス A + コス C ） 1 d + b c 。 {\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}
任意の凸四角形ABCD において、4辺の二乗の和は、2つの対角線の二乗の和に、対角線の中点を結ぶ線分の二乗の4倍を加えたものに等しい。したがって
1 2 + b 2 + c 2 + d 2 = p 2 + q 2 + 4 x 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}} ここで、x は 対角線の中点間の距離です。[ 24 ] ： これは、オイラーの四角形定理 として知られることもあり、平行四辺形の法則 の一般化です。
ドイツの数学者カール・アントン・ブレッチュナイダー は1842年に、凸四角形の対角線の積に関するプトレマイオスの定理 の次の一般化を導き出した[ 28 ]。
p 2 q 2 = 1 2 c 2 + b 2 d 2 − 2 1 b c d コス （ A + C ） 。 {\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.} この関係は、四角形における余弦定理 とみなすことができます。円に内接する四角形 （A + C = 180°pq = ac + bd ( A + C ) ≥ − 1で ある ことから、プトレマイオスの不等式の証明にもなります。
その他の距離関係 凸四角形ABCD（ 辺a = AB b = BC c = CD d = DA） において、 B とD から対角線AC = p X とY である場合、[ 29 ] ： p.14
X Y = | 1 2 + c 2 − b 2 − d 2 | 2 p 。 {\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.} 辺の長さがa = AB b = BC c = CD d = DA E で交わる凸四角形ABCD において、
e f g h （ 1 + c + b + d ） （ 1 + c − b − d ） = （ 1 g h + c e f + b e h + d f g ） （ 1 g h + c e f − b e h − d f g ） {\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)} ここで、e = AE f = BE g = CE h = DE [ 30 ]
凸四角形の形状とサイズは、その辺の長さと、指定された2つの頂点間の1つの対角線の長さによって完全に決定されます。四角形の2つの対角線p 、q a 、b 、c 、d は、ケイリー・メンガー 行列式 によって次のように関連付けられています[ 14 ]
検出 [ 0 1 2 p 2 d 2 1 1 2 0 b 2 q 2 1 p 2 b 2 0 c 2 1 d 2 q 2 c 2 0 1 1 1 1 1 0 ] = 0. {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}
ヴァリニヨンの平行四辺形EFGH 四角形の二中線 は、対辺の中点を 結ぶ線分です。二中線の交点は、四角形の頂点の重心です。 [ 14 ]
任意の四角形（凸四角形、凹四角形、交差四角形）の辺の中点は、バリニョン平行四辺形と呼ばれる平行四辺形の頂点になります。 バリニョン平行四辺形 には、次の性質があります。
ヴァリニョン平行四辺形の対向する辺のペアは、元の四角形の対角線と平行である。 ヴァリニョン平行四辺形の一辺の長さは、それが平行な元の四角形の対角線の長さの半分である。 ヴァリニョン平行四辺形の面積は、元の四角形の面積の半分に等しい。これは、凸四角形、凹四角形、交差四角形のいずれにも当てはまる。ただし、後者の面積は、それを構成する2つの三角形の面積の差として定義される。[ 32 ] ヴァリニョン平行四辺形の周長は 、元の四角形の対角線の合計に等しい。 ヴァリニョン平行四辺形の対角線は、元の四角形の二中線である。 四角形の2つの二中線と、その四角形の対角線の中点を結ぶ線分は一点で 交わり、いずれも交点で二等分される。[ 24 ] ：
辺の長さがa 、b 、c 、d である凸四角形において、辺a とc の中点を結ぶ二中線の長さは
m = 1 2 − 1 2 + b 2 − c 2 + d 2 + p 2 + q 2 {\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}} ここで、 p とqは 対角線の長さである。[ 33 ] 辺b とd の中点を結ぶ二中線の長さは
n = 1 2 1 2 − b 2 + c 2 − d 2 + p 2 + q 2 。 {\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.} したがって[ 24 ] ：
p 2 + q 2 = 2 （ m 2 + n 2 ） 。 {\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).} これは、ヴァリニョン平行四辺形に適用される平行四辺形の法則 の帰結でもある。
二分線の長さは、2 つの対向する辺と対角線の中点間の距離xで表すこともできます。これは、上記の式でオイラーの四角形定理を使用すると可能です。したがって [ 23 ]
m = 1 2 2 （ b 2 + d 2 ） − 4 x 2 {\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}} そして
n = 1 2 2 （ 1 2 + c 2 ） − 4 x 2 。 {\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.} これらの式における2つの対辺は、二分線が結ぶ2辺とは異なることに注意してください。
凸四角形では、二中線と対角線の間に次のような双対関係があります。 [ 29 ]
2つの二分線の長さが等しいのは、 2つの対角線が垂直である 場合に限る 。 2つの二分線が垂直であるのは、2つの対角線の長さが等しい場合に限る。
不平等
エリア 凸四角形が連続する辺a 、b 、c 、d と対角線p 、q を持つ場合、その面積Kは [ 37 ]
K ≤ 1 4 （ 1 + c ） （ b + d ） {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)} 長方形 の場合にのみ成立する。K ≤ 1 4 （ 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 ） {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})} 正方形 の場合のみ等号が成立する。K ≤ 1 4 （ p 2 + q 2 ） {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})} K ≤ 1 2 （ 1 2 + c 2 ） （ b 2 + d 2 ） {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}} [ 16 ] ブレッチュナイダーの公式 から、四角形の面積が次の式を満たすことが直接的に導かれる。
K ≤ （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） （ s − d ） {\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} 等号が成立するのは、 四角形が円に内接する か、または退化していて、1辺が他の3辺の合計に等しい場合（線分 に縮退しているため、面積はゼロ）に限られます。
また、
K ≤ 1 b c d 、 {\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}},} 二中心四角形 または長方形の場合、等号が成り立つ。
任意の四角形の面積は不等式[ 38 ]も満たす。
K ≤ 1 2 （ 1 b + c d ） （ 1 c + b d ） （ 1 d + b c ） 3 。 {\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.} 周囲長をL とすると、[ 38 ] ：
K ≤ 1 16 L 2 、 {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},} 正方形の場合のみ等号が成立する。
凸四角形の面積も以下を満たす。
K ≤ 1 2 p q {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq} 対角線の長さp とq について、等号が成り立つのは対角線が垂直である場合に限る。
a 、b 、c 、d を 面積Kの凸四角形 ABCD の辺の長さとし、対角線をAC = p 、BD = q と する。すると[ 39 ]
K ≤ 1 8 （ 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 + p 2 + q 2 + p q − 1 c − b d ） {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)} 面積がKである凸四角形 ABCD の辺の長さをa 、b 、c 、d とすると、次の不等式が成り立つ: [ 40 ]
K ≤ 1 3 + 3 （ 1 b + 1 c + 1 d + b c + b d + c d ） − 1 2 （ 1 + 3 ） 2 （ 1 2 + b 2 + c 2 + d 2 ） {\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}
オイラーの四角形定理の系として、次の不等式が導かれる。
1 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ p 2 + q 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}} 等号が成立するのは、四角形が平行四辺形 である場合に限る。
オイラーは また、円に内接する四角形 における等式であるプトレマイオスの定理を 、凸四角形における不等式へと一般化した。それは次のように述べている。
p q ≤ 1 c + b d {\displaystyle pq\leq ac+bd} 等号が成立するのは、四角形が円に内接する場合に限る。 [ 24 ] ： プトレマイオスの不等式 と呼ばれる。
任意の凸四角形において、二中線m、n と対角線p、q は不等式によって関係付けられる。
p q ≤ m 2 + n 2 、 {\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},} 等号が成立するのは、対角線が等しい場合に限る。[ 41 ] ： m 2 + n 2 = 1 2 （ p 2 + q 2 ） 。 {\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}
側面 任意の四角形の辺a 、b 、c 、dは [ 42 ] :
1 2 + b 2 + c 2 > 1 3 d 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}} および[ 42 ] ：
1 4 + b 4 + c 4 ≥ 1 27 d 4 。 {\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}
最大値と最小値の特性 周長 が与えられた四角形の中で、面積が 正方形である。これは 四角形の 等周定理と [ 38 ] の直接的な結果である。p.114
K ≤ 1 16 L 2 {\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}} ここで、Kは周囲長 L の凸四角形の面積です。等号が成り立つのは、四角形が正方形の場合のみです 。双対定理は、与えられた面積を持つすべての四角形の中で、正方形の周囲長が最も短いことを述べています。
与えられた辺の長さを持つ四角形で面積が最大となるのは 円に内接する四角形 である。[ 43 ]
与えられた対角線を持つすべての凸四角形の中で、直交対角四角形 が最大の面積を持つ。[ 38 ] ：
K = 1 2 p q 罪 θ ≤ 1 2 p q 、 {\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,} ここで、θは対角線 p とq の間の角度である。等号が成り立つのは、 θ = 90°の場合に限る。
Pが凸四角形 ABCD の内部点である場合、
A P + B P + C P + D P ≥ A C + B D 。 {\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.} この不等式から、四角形の内部で頂点 までの距離の合計を最小にする 点は、対角線の交点であることがわかる。したがって、その点は凸四角形のフェルマー点である。 [ 44 ] ： p.120
凸四角形における注目すべき点と線 四角形の中心は、いくつかの異なる方法で定義できます。「頂点重心」は、四角形が空洞であるが、頂点に等しい質量があるとみなすことから得られます。「辺重心」は、辺が単位長さあたり一定の質量を持つとみなすことから得られます。通常の中心、単に重心 （面積の中心）と呼ばれるものは、四角形の表面が一定の密度を持つとみなすことから得られます。これら 3 つの点は、一般にすべて同じ点ではありません。[ 45 ]
「頂点重心」は、2 つの二分法線 の交点です。[ 46 ] x 座標とy 座標は、頂点のx 座標とy 座標の算術平均です。
四角形ABCD の「面積重心」は、次のように構成できます。三角形BCD 、ACD 、ABD 、ABC の重心をそれぞれG a 、G b 、G c 、G d とします。すると、「面積重心」は直線G a G c G b G d [ 47 ]
一般的な凸四角形ABCDには、 三角形 の外心 と垂心 に相当する自然な類似点はありません。しかし、そのような 2 つの点は、次のように構成できます。三角形BCD 、ACD 、ABD 、ABC の外心をそれぞれO a O b O c O d とし、同じ三角形の垂心をH a H b H c H d O a O c O b O d の交点を凸四角形の準外心 と呼び、直線H a H c H b H d 準垂心 と呼びます。 [ 47 ] オイラー線 を定義することができます。凸四角形では、準直交中心H 、面積重心G 、準外心Oはこの順に 同一直線上 にあり、HG = 2 GO である。[ 47 ]
また、 E a E b E c E d BCD 、ACD 、 ABD、 ABCの 9 つの 中心である直線E a E c E b E d の交点として準点中心 E を定義することもでき ます 。すると、Eは OH の中点に なります。[ 47 ]
凸非平行四辺形におけるもう 1 つの注目すべき線は、対角線の中点を結ぶニュートン線です。これらの点を結ぶ線分は、頂点の重心によって二等分されます。もう 1 つの興味深い線 (ある意味で ニュートン 線と双対) は、対角線の交点と頂点の重心を結ぶ線です。この線は、(面積)重心を含むという点で注目に値します。頂点の重心は、対角線の交点と (面積)重心を結ぶ線分を 3:1 の比率で分割します。[ 48 ]
点P とQ がそれぞれ AD とBC およびAB とCD の交点である任意の四角形ABCD に対して、円(PAB)、(PCD)、(QAD)、 および(QBC) は、ミケル点と呼ばれる共通の点M を通ります。[ 49 ]
凸四角形ABCD において、 E は対角線の交点、Fは辺 BC とAD の延長線の交点とする。EとFを通る 円 ω は、CB と内部でMで、 DA と内部でN で交わる。CAは ω と再びL で交わり、DB は ω と再びK で交わる。このとき、 ω に内接する六角形EKNFML とEKMFNLに パスカルの定理 を適用すると、次のことが成り立つ。直線NK とML は辺 AB 上の点P で交わる。直線NL とKM は 辺CD上の点 Q で交わる。点P とQ は、辺 AB とCD 上の円 ω によって形成される「パスカル点」と呼ばれる。 [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]
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![{\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6195867b271ce1ef16fc42e8371f1fcf1657f0cc)
![{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(mn)^{2}]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e6f895931ea57ab71ca3ec4d03175e3d73bef8)
![{\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(pq)^{2}]}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2f523551c427056fa7199b6ad0d093b770d4b6)
![{\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/423a43c2641c34f91f0be6e9ccf2ba7c9cc8412a)
