ヒルベルト空間

ヒルベルト空間の最もよく知られた例の1つは、3次元ベクトルからなるユークリッドベクトル空間であり、で表される。$\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$、そしてドット積を備えています。ドット積は2つのベクトルxとyを受け取り、実数x ⋅ yを生成します。xとyがデカルト座標で表されている場合、ドット積は次のように定義されます。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

ドット積は次の性質を満たします: ^{[ 1 ]}

1. これはxとyに関して対称です。x ⋅ y = y ⋅ x。
2. これは最初の引数に関して線形です。 ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y )は、任意のスカラーa、bおよびベクトルx ₁、x ₂、yに対して成り立ちます。^{[ a ]}
3. これは正定値です。すべてのベクトルxに対して、x ⋅ x ≥ 0であり、等号が成り立つのはx = 0の場合のみです 。

ドット積のように、これら 3 つの性質を満たすベクトルのペアに対する演算は、（実）内積として知られています。このような内積を備えたベクトル空間は、（実）内積空間として知られています。すべての有限次元内積空間は、ヒルベルト空間でもあります。^{[ 2 ]}ドット積をユークリッド幾何学と結びつける基本的な特徴は、ベクトルの長さ（またはノルム）‖x‖と、 2つのベクトルxとyの間の角度θの両方と、式によって関連付けられていることです^{。[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

ユークリッド空間における多変数微積分は、極限を計算する能力と、極限が存在すると結論付けるための有用な基準を持つことに依存している。数学的級数$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$R ³ のベクトルから構成されるものは、長さの和が通常の実数級数として収束する場合に絶対収束する: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$ スカラーの系列と同様に、絶対収束するベクトルの系列も、ユークリッド空間内の 極限ベクトルLに収束する。$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}=0.}$$ この性質はユークリッド空間の完全性を表している。すなわち、絶対収束する級数は通常の意味でも収束するということである。^{[ 5 ]}

ヒルベルト空間はしばしば複素数上で取られる。複素平面Cには、複素モジュラス| z |という大きさの概念が備わっており、これはzとその複素共役の積の平方根として定義される。^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

z = x + iyがzの実部と虚部への分解である場合、モジュラスは通常のユークリッドの 2 次元の長さになります。^{[ 6 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

複素数zとwの内積は、 zとwの複素共役の積です。^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

これは複素数値です。⟨ z , w ⟩ の実部は、通常の2次元ユークリッド内積を与えます。^{[ 7 ]}

2つ目の例は、要素が複素数のペアである空間C ^{2です。この場合}、zと別のそのよう_なベクトルw = ( w 1 _, w 2 ₎の内積は_[ ^{7 ]で}与えられます。$${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w}}_{1}+z_{2}{\overline {w}}_{2}\,.}$$

⟨ z , w ⟩の実部は、4 次元のユークリッド内積です。この内積はエルミート対称であるため、zとw を入れ替えた結果は複素共役になります。^{[ 7 ]}$${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

ヒルベルト空間とは、実数または複素数の内積空間であり、内積によって誘導される距離関数に関して完備な距離空間でもある。 ^{[ 8 ]}

複素ベクトル空間Hが複素内積空間であるということは、内積が存在することを意味する。${\displaystyle \langle x,y\rangle }$各要素のペアに複素数を関連付ける${\displaystyle x,y}$以下の性質を満たすH : ^{[ 9 ]}

1. 内積は共役対称性を持つ。つまり、2つの要素の内積は、それらの要素を入れ替えた内積の複素共役に等しい。$${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$重要なことに、これは次のことを意味します。${\displaystyle \langle x,x\rangle }$は実数である。^{[ 9 ]}
2. 内積は最初の引数に関して線形である。 ^{[ b ]}すべての複素数に対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b,}$^{[ 9 ]}$${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. 要素とそれ自身との内積は正定値である: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

性質 1 と 2 から、複素内積は、その第 2 引数に関して反線形、または共役線形と呼ばれることがわかります。つまり、^{[ 10 ]}$${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

実内積空間は、 Hが実ベクトル空間であり、内積が実数値をとる点を除いて、同様に定義されます。このような内積は双線形写像となり、${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$二重システムを形成するだろう。^{[ 11 ]}

ノルムは実数値関数である^{[ 12 ]}$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$ そして距離${\displaystyle d}$2点間${\displaystyle x,y}$Hにおけるは、ノルムによって次のように定義される。 $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$ ここ、${\displaystyle d(x,y)}$は距離関数^{[ 13 ]}であり、まず、対称であることを意味します。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y,}$第二に、距離が${\displaystyle x}$そしてそれ自体はゼロであり、それ以外の場合は間の距離は${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$正でなければならず、最後に三角形の不等式が成り立つこと、つまり三角形xyzの 1 つの辺の長さが他の 2 つの辺の長さの合計を超えることはできないこと: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

この最後の性質は、より基本的なコーシー・シュワルツの不等式の結果であり、それは次のように主張する。 $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$ 等号は、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$線形従属である。^{[ 15 ]}

このように距離関数を定義すると、任意の内積空間は距離空間になります。内積空間は、プレヒルベルト空間と呼ばれることもあります。^{[ 15 ]}さらに完備空間でもあるプレヒルベルト空間は、ヒルベルト空間です。^{[ 16 ]}

Hの完全性は、 H内の数列に対するコーシー基準の形式を用いて表現されます。前ヒルベルト空間H は、すべてのコーシー数列がこのノルムに関して空間内の要素に収束する場合に完全です。完全性は、次の同等の条件によって特徴付けられます。ベクトルの列が $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$絶対的に収束するという意味で、 $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$すると、部分和がHの要素に収束するという意味で、 級数はHで収束する。^{[ 17 ]}

完備ノルム空間であるヒルベルト空間は、定義上バナッハ空間でもある。^{[ 18 ]}そのため、ヒルベルト空間は位相ベクトル空間であり、部分集合の開性や閉性といった位相概念が明確に定義されている。^{[ 19 ]}特に重要なのは、制限によって誘導される内積を持つヒルベルト空間の閉線形部分空間の概念であり、これは完備距離空間の閉集合であるため、それ自体がヒルベルト空間となる。^{[ 20 ]}

シーケンス空間${\textstyle \ell ^{2}}$は、複素数の無限数列z = ( z ₁ , z ₂ , ...)から成り、その数列は次のようになります。$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$ その二乗ノルムの収束は、 . ^{[ 21 ]} の内積は、${\textstyle \ell ^{2}}$^{[ 21 ]}で定義される$${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,.}$$ 内積の級数は、コーシー・シュワルツの不等式と、2 つの二乗ノルム級数の収束の仮定の結果として収束する。^{[ 22 ]}

空間の完全性は、次の条件が満たされる場合に成立する。${\textstyle \ell ^{2}}$絶対収束（ノルムにおいて）すると、次の要素に収束する。${\textstyle \ell ^{2}}$証明は数学解析の基本であり、空間の要素の数学的級数を複素数（または有限次元ユークリッド空間のベクトル）の級数と同じように簡単に操作することを可能にする。^{[ 23 ]}

ルベーグ空間は、測度空間( X , M , μ )に関連付けられた関数空間です。ここで、Xは集合、MはXの部分集合のσ 代数、μはM上の可算加法測度です。L 2 ( X , μ ) を、関数^の絶対値の二乗のルベーグ積分が有限であるX上の複素数値可測関数の空間とします。つまり、 L ² ( X , μ )の関数fに対して、 $${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\,\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$また、関数が識別されるのは、それらが測度ゼロの集合 上でのみ異なる場合に限られる。^{[ 44 ]}

L ² ( X , μ )における関数fとgの内積は次のように定義される。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$または$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

ここで、2 番目の形式 (最初の要素の共役) は理論物理学の文献でよく見られます。L 2 の f と g については、^コーシー・シュワルツの不等式により積分が存在し、空間上の内積を定義します。この内積を備えているため、L ²は実際には完全です。^{[ 45 ]}完全性を保証するにはルベーグ積分が不可欠です。たとえば、実数領域では、十分な数の関数がリーマン積分可能ではありません。^{[ 46 ]}

ルベーグ空間は多くの自然な場面に現れる。^{[ 47 ]}実数直線および単位区間上のルベーグ測度に関する二乗可積分関数の空間L ² ( R )およびL ² ([0,1])は、フーリエ変換およびフーリエ級数を定義する自然な領域である。 ^{[ 48 ]}他の状況では、測度は実数直線上の通常のルベーグ測度以外のものである場合もある。例えば、w が任意の 正の可測関数である場合、区間[0, 1]上のすべての可測関数fの空間は、$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$は重み付きL2空間^L2w ([0, 1])_と 呼ばれ、wは重み関数^と呼ばれる。内積は次のように定義される 。$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

重み付き空間L ² _w ([0, 1])は、ヒルベルト空間L ² ([0, 1], μ )と同一であり、ルベーグ可測集合Aの測度μは次のように定義される。 $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

このような重み付きL2空間は^、異なる重み関数に関して直交する異なる直交多項式の族が存在するため、直交多項式を研究するためによく使用されます。 ^{[ 49 ]}

ソボレフ空間は、H ^sまたはW ^{s ,2}と表記され、ヒルベルト空間の一種です。これらは、微分が可能な特殊な関数空間ですが、（ヘルダー空間などの他のバナッハ空間とは異なり）内積の構造をサポートします。微分が許容されるため、ソボレフ空間は偏微分方程式の理論にとって便利な設定となります。^{[ 50 ]}また、変分法の直接法の理論の基礎を形成します。^{[ 51 ]}

s を非負整数、Ω ⊂ R ⁿとすると、ソボレフ空間H ^s (Ω)には^、 sまでの弱微分がL ²であるL ²関数が含まれる。H s (Ω)の内積は $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$ ここで、ドットは各階の偏導関数のユークリッド空間における内積を表します。ソボレフ空間は、sが整数でない場合にも定義できます。

ソボレフ空間はスペクトル理論の観点からも研究されており、より具体的にはヒルベルト空間構造に依拠している。Ωが適切な領域であれば、ソボレフ空間H ^s (Ω)をベッセルポテンシャルの空間として定義することができる。^{[ 52 ]}おおまかに言うと、 $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

ここでΔはラプラシアンであり、(1 − Δ) ^{− s / 2}はスペクトル写像定理の観点から理解されます。この定義は、非整数sに対するソボレフ空間の実用的な定義を提供するだけでなく、フーリエ変換の下で特に望ましい性質も持ち、擬微分作用素の研究に理想的です。コンパクトなリーマン多様体上でこれらの方法を使用すると、例えばホッジ分解が得られます。これはホッジ理論の基礎です。^{[ 53 ]}

常微分方程式の理論では、適切なヒルベルト空間上のスペクトル法を用いて、微分方程式の固有値と固有関数の挙動を研究します。例えば、シュトゥルム・リウヴィル問題は、バイオリンの弦やドラムの波の倍音の研究において生じ、常微分方程式の中心的な問題です。^{[ 59 ]}この問題は、次の形式の微分方程式です。 $${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$区間[ a , b ]上の 未知関数yに対して、一般的な同次ロビン境界条件を満たす$${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$ 関数p、q、wはあらかじめ与えられており、問題は、方程式が解を持つような関数yと定数λを見つけることです。この問題は、システムの固有値と呼ばれる特定のλの値に対してのみ解を持ち、これは、システムのグリーン関数によって定義される積分演算子にコンパクト演算子のスペクトル定理を適用した結果です。さらに、この一般的な結果のもう 1 つの結果は、システムの固有値λ を無限大に近づく増加列に並べることができるということです。^{[ 60 ] [ c ]}

ヒルベルト空間は偏微分方程式の研究における基本的なツールです。^{[ 50 ]}線形楕円型方程式など、多くのクラスの偏微分方程式では、関数のクラスを拡張することで一般化された解（弱解として知られる）を考えることができます。多くの弱形式は、ヒルベルト空間であるソボレフ関数のクラスを含みます。適切な弱形式は、幾何学的問題、解を見つける解析的問題、または多くの場合より重要な、与えられた境界データに対して解が存在し一意であることを示す問題に帰着します。線形楕円型方程式の場合、多くの問題に対して一意の可解性を保証する幾何学的結果の1つは、ラックス・ミルグラムの定理です。この戦略は、偏微分方程式の数値解法のためのガラーキン法（有限要素法）の基礎を形成します。^{[ 61 ]}

一例として、R ²内の有界領域Ωにおけるディリクレ境界条件を持つポアソン方程式−Δ u = gが挙げられる。弱形式は、 Ω内の境界上でゼロとなる すべての連続微分可能な関数vに対して、次の条件を満たす関数uを見つけることである。$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

これは、 Ω上で二乗可積分であり、境界上でゼロとなる関数 u と、その弱偏導関数からなるヒルベルト空間H ¹ ₀ (Ω)の観点から再定式化できる。すると問題は、この空間内の すべてのvに対して となるような u をこの空間内で見つけることに帰着する。$${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

ここで、aは連続双線形形式であり、bは連続線形汎関数であり、それぞれ次のように与えられる。 $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

ポアソン方程式は楕円型であるため、ポアンカレの不等式から双線形形式aは強圧的であることがわかります。ラックス・ミルグラムの定理により、この方程式の解の存在と一意性が保証されます。^{[ 62 ]}

ヒルベルト空間では、多くの楕円型偏微分方程式を同様の方法で定式化することができ、ラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的なツールとなる。適切な修正を加えることで、同様の手法を放物型偏微分方程式や特定の双曲型偏微分方程式にも適用できる。^{[ 63 ]}

エルゴード理論の分野は、カオス的な力学系の長期的な挙動を研究する分野である。エルゴード理論が適用される分野の典型的な例は熱力学であり、熱力学では、系の微視的な状態は極めて複雑であるが（物質粒子間の個々の衝突の集合を理解することは不可能である）、十分に長い時間間隔にわたる平均的な挙動は扱いやすい。熱力学の法則は、そのような平均的な挙動に関する主張である。特に、熱力学の第零法則の1つの定式化では、十分に長い時間スケールにわたって、平衡状態にある熱力学系について行うことができる唯一の機能的に独立した測定値は、温度の形で表されるその全エネルギーであると主張されている。^{[ 64 ]}

エルゴード的力学系とは、ハミルトニアンによって測定されるエネルギー以外に、位相空間上に機能的に独立な保存量が存在しない系のことである。より具体的には、エネルギーEが固定されていると仮定し、Ω _{E を}エネルギーEのすべての状態からなる位相空間の部分集合（エネルギー面）とし、T _{t を位相空間上の時間発展演算子とする。Ω E}上のすべての不変可測関数がほとんど至るところで一定である場合、力学系はエルゴード的である。^{[ 65 ]}不変関数fは、 $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$Ω _E上のすべてのwとすべての時刻t に対して。リウヴィルの定理は、時間並進の下で不変なエネルギー曲面上の測度μ が存在することを示唆している。結果として、時間並進は、エネルギー曲面Ω _E上の二乗可積分関数からなるヒルベルト空間L ² (Ω _E , μ )の内積に関する ユニタリ変換である。$${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{\Omega _{E}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

フォン・ノイマンの平均エルゴード定理^{[ 38 ]}は次のように述べている。

• U _tがヒルベルト空間H上の(強連続な) 1 パラメータ半群のユニタリ作用素であり、P がU t_の共通不動点空間{ x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0}への直交射影である場合、$${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

エルゴード系の場合、時間発展の固定集合は定数関数のみで構成されるため、エルゴード定理は以下を意味します。任意の関数f ∈ L ² (Ω _E , μ )に対して、^{[ 66 ]}$${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

つまり、観測量fの長時間平均は、エネルギー面上の期待値に等しい。^{[ 67 ]}

フーリエ解析の基本的な目標の一つは、関数を与えられた基底関数の（場合によっては無限の）線形結合、すなわちフーリエ級数に分解することです。区間[0, 1]で定義された関数fに関連付けられた古典的なフーリエ級数は、次の形式の級数です。 $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$ どこ $${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

図には、のこぎり波関数のフーリエ級数の最初の数項を足し合わせた例が示されています。基底関数は、波長λ / n （nは整数）がのこぎり波自体の波長λよりも短い正弦波です（ n =1の場合は基本波）。

古典的なフーリエ級数における重要な問題は、フーリエ級数が関数fに収束するかどうか、また収束するとすればどのような意味で収束するかという点である。ヒルベルト空間法は、この問いに対する一つの可能​​な答えを提供する。^{[ 68 ]}関数e _n ( θ ) = e ^{2π inθ}は、ヒルベルト空間L ² ([0, 1])の直交基底を形成する。したがって、任意の二乗可積分関数は級数として表現できる。 $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$$ さらに、この級数はヒルベルト空間の意味で収束します（つまり、L ²平均で収束します）。

この問題は抽象的な観点からも研究できます。すべてのヒルベルト空間には正規直交基底があり、ヒルベルト空間のすべての要素は、これらの基底要素の倍数の和として一意に記述できます。これらの基底要素に現れる係数は、抽象的には空間の要素のフーリエ係数として知られています。^{[ 69 ]}この抽象化は、 L2 ([ ⁰ , 1])のような空間に対して異なる基底関数を使用する方が自然な場合に特に役立ちます。多くの場合、関数を三角関数に分解するのではなく、直交多項式やウェーブレットなどに分解することが望ましいです。[ ^{70 ]また}、高次元では球面調和関数に分解します。^{[ 71 ]}

例えば、e _{n が}L ² [0, 1]の任意の正規直交基底関数である場合、 L ² [0, 1]の与えられた関数は有限線形結合として近似できます^{[ 72 ]}$${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

係数{ a _j }は、差‖ f − f _n ‖ ²の大きさをできるだけ小さくするように選択されます。幾何学的には、最良の近似は、 { e _j }のすべての線形結合からなる部分空間へのfの直交射影であり、^{[ 73 ]によって計算できます。}$${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

この式が差‖ f − f _n ‖ ^{2 を}最小化することは、ベッセルの不等式とパーセバルの公式の結果である。

物理問題へのさまざまな応用において、関数は微分演算子（通常はラプラス演算子）の物理的に意味のある固有関数に分解できます。これは、微分演算子のスペクトルを参照した関数のスペクトル研究の基礎を形成します。 ^{[ 74 ]}具体的な物理的応用としては、ドラムの形状を聞き取る問題があります。ドラムヘッドが生成できる基本的な振動モードが与えられた場合、ドラム自体の形状を推測できますか？^{[ 75 ]}この問題の数学的定式化には、平面上のラプラス方程式のディリクレ固有値が含まれており、これは、バイオリンの弦の基本的な振動モードを表す整数と直接類似して、基本的な振動モードを表します。^{[ 76 ]}

スペクトル理論は、関数のフーリエ変換の特定の側面にも基づいています。フーリエ解析はコンパクト集合上で定義された関数をラプラシアンの離散スペクトル（バイオリンの弦やドラムの振動に対応）に分解しますが、関数のフーリエ変換は、ユークリッド空間全体で定義された関数をラプラシアンの連続スペクトルの成分に分解します。フーリエ変換は、あるヒルベルト空間（「時間領域」）と別のヒルベルト空間（「周波数領域」）の等長変換であると主張するプランシュレルの定理によって厳密に定義される意味で、幾何学的でもあります。フーリエ変換のこの等長性は、抽象調和解析において繰り返し現れるテーマです（連続フーリエ変換のエネルギー保存を反映しているため）。これは、例えば非可換調和解析に現れる球面関数のプランシュレルの定理によって証明されています。^{[ 77 ]}

ジョン・フォン・ノイマンによって開発された量子力学の数学的に厳密な定式化では、^{[ 78 ]}量子力学系の可能な状態（より正確には純粋状態）は、状態空間として知られる複素分離ヒルベルト空間に存在する単位ベクトル（状態ベクトルと呼ばれる）によって表され、ノルム1の複素数（位相因子）を除いて適切に定義されます。言い換えれば、可能な状態は、通常複素射影空間と呼ばれるヒルベルト空間の射影化における点です。このヒルベルト空間の正確な性質はシステムに依存します。たとえば、単一の非相対論的スピンゼロ粒子の位置と運動量状態はすべての二乗可積分関数の空間ですが、単一の陽子のスピンの状態は、スピノルの2次元複素ヒルベルト空間の単位要素です。各観測量は、状態空間に作用する自己共役線形演算子によって表されます。観測量の各固有状態は演算子の固有ベクトルに対応し、関連する固有値はその固有状態における観測量の値に対応する。^{[ 79 ]}

2 つの状態ベクトル間の内積は、確率振幅として知られる複素数です。量子力学系の理想的な測定中、システムが与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態と最終状態の間の確率振幅の絶対値の二乗で与えられます。 ^{[ 80 ]}測定の可能な結果は演算子の固有値であり、これは自己共役演算子の選択を説明しています。なぜなら、すべての固有値は実数でなければならないからです。与えられた状態における観測量の確率分布は、対応する演算子のスペクトル分解を計算することによって見つけることができます。^{[ 81 ]}

一般的なシステムでは、状態は通常純粋ではなく、代わりに密度行列で与えられる純粋状態の統計的混合、つまり混合状態として表現されます。密度行列は、ヒルベルト空間上のトレースが 1 の自己共役演算子です。 ^{[ 82 ]}さらに、一般的な量子力学システムでは、単一の測定の影響は、正の演算子値測度によって記述される方法でシステムの他の部分に影響を与える可能性があります。したがって、一般理論における状態と観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化よりもかなり複雑です。^{[ 83 ]}

確率論において、ヒルベルト空間は多様な応用例を持つ。ここで基本的なヒルベルト空間とは、与えられた確率空間上の確率変数の空間であり、クラスはである。$\displaystyle L^{2}}$（有限の1次および2次モーメント）。統計学における一般的な操作は、確率変数の期待値を差し引くことによって中心化することです。したがって、${\displaystyle X}$は確率変数である。${\displaystyle XE(X)}$は中心化です。ヒルベルト空間の観点では、これはの直交投影です。${\displaystyle X}$期待値演算子の核上に、ヒルベルト空間上の連続線形汎関数（実際には定数確率変数1との内積）が置かれ、この核は閉部分空間となる。^{[ 84 ]}

条件付き期待値はヒルベルト空間において自然な解釈を持つ。^{[ 85 ]}確率空間を仮定する${\displaystyle (\Omega ,P,{\mathcal {B}})}$が与えられている、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は集合上のシグマ代数である${\displaystyle \Omega }$、 そして${\displaystyle P}$は測度空間上の確率測度である。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}})}$。 もし$\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$は、$\displaystyle {\mathcal {B}}}$すると条件付き期待値${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {F}}]}$は、${\displaystyle X}$部分空間へ${\displaystyle L^{2}(\オメガ,P)}$から構成される$\displaystyle {\mathcal {F}}}$-測定可能な関数。確率変数が${\displaystyle X}$で${\displaystyle L^{2}(\オメガ,P)}$シグマ代数とは無関係である$\displaystyle {\mathcal {F}}}$条件付き期待値${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {F}})=E(X)}$すなわち、その投影$\displaystyle {\mathcal {F}}}$可測関数は定数である。言い換えれば、その中心化の射影はゼロである。

特に、2つの確率変数${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$（で${\displaystyle L^{2}(\オメガ,P)}$）が独立である場合、中心化された確率変数${\displaystyle XE(X)}$そして${\displaystyle YE(Y)}$は直交している。（これは、2 つの変数の共分散がゼロである、つまり無相関であることを意味する。）この場合、期待値演算子の核にあるピタゴラスの定理は、分散が${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$恒等式を満たす： $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),}$$ 統計学のピタゴラスの定理とも呼ばれ、線形回帰において重要である。分散分析ではピタゴラスの定理を用いて、分散をベクトルの二乗の長さを複数のベクトルの二乗の長さの合計に分解したものと見なすことができる。^{[ 86 ]}

マルチンゲールの理論はヒルベルト空間で定式化できる。ヒルベルト空間におけるマルチンゲールは数列である。${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ヒルベルト空間の要素で、各nに対して、${\displaystyle x_{n}}$は、${\displaystyle x_{n+1}}$線状の船体の上に${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$[ ^{87 ]}もし^​${\displaystyle x_{k}}$は確率変数であり、これは（離散）マルチンゲールの通常の定義を再現します。期待値は${\displaystyle x_{n+1}}$条件付き${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$は、${\displaystyle x_{n}}$。

伊藤微積分学の基礎においても、ヒルベルト空間が用いられている。^{[ 88 ]}任意の二乗可積分マルチンゲールに対して、マルチンゲールに関する漸進的に測定可能な過程の同値類の空間上にヒルベルトノルムを関連付けることができる（マルチンゲールの二乗変動を測度として用いる）。伊藤積分は、まず単純過程に対して定義し、次にヒルベルト空間におけるそれらの稠密性を利用することによって構築できる。注目すべき結果は伊藤等長性であり、これは二乗変動測度を持つ任意のマルチンゲールMに対して成り立つことを証明している。${\displaystyle d\langle M\rangle _{t}}$、および漸進的に測定可能なプロセスH : ^{[ 89 ]}$${\displaystyle E{\biggl [}{\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dM_{s}\right){\vphantom {{\Bigr )}^{2}}}^{\!\!2\,}}{\biggr ]}=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right]}$$ 右辺の期待値が有限である場合。

ガウス過程の理論において特に重要なヒルベルト空間のより深い応用として、レオナルド・グロスらによる、量子場理論のファインマン経路積分のような無限次元空間上の特定の形式積分を解釈しようとする試みが挙げられる。このような積分の問題点は、無限次元のルベーグ測度が存在しないことである。抽象的なウィーナー空間の概念を用いることで、バナッハ空間B上に、有限加法的な円筒集合測度から、キャメロン・マーティン空間と呼ばれるヒルベルト空間Hを稠密な部分集合として含む測度を構築することができる。B上の結果として得られる測度は可算加法であり、Hの要素による平行移動に対して不変である。これにより、ウィーナー測度をソボレフ空間に適合したガウス測度として数学的に厳密に考える方法が得られる。${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$[ ^{90 ]​}

実際の物理的な色は、純粋なスペクトル色の組み合わせで表現できます。物理的な色は任意の数のスペクトル色で構成できるため、物理的な色の空間はスペクトル色上のヒルベルト空間で適切に表現できます。人間は色の知覚に3種類の錐体細胞を持っているため、知覚できる色は3次元ユークリッド空間で表現できます。物理的な色のヒルベルト空間から人間の知覚できる色のユークリッド空間への多対一の線形マッピングは、多くの異なる物理的な色が人間によって同一に知覚される理由を説明します（たとえば、純粋な黄色の光と赤と緑の光の混合、メタメリズムを参照）。^{[ 91 ] [ 92 ]}

ヒルベルト空間H内の2 つのベクトルuとv は、 ⟨ u , v ⟩ = 0のとき直交する。この表記はu ⊥ vである。より一般的には、S がHの部分集合である場合、表記u ⊥ Sは、 u がSのすべての要素と直交することを意味する。

uとvが直交する 場合、次のようになる。$${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

nに関する帰納法により、これはn 個の直交ベクトル の任意の族u ₁ , ..., u _{nに拡張されます。}$${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

前述のピタゴラスの恒等式は任意の内積空間で有効であるが、ピタゴラスの恒等式を級数に拡張するには完全性が必要である。^{[ 93 ]}直交ベクトルの級数Σ u _kがHで収束するのは、ノルムの二乗の級数が収束する場合に限る。 $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$ さらに、直交ベクトルの系列の和は、その和を求める順序に依存しない。

定義により、すべてのヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。さらに、すべてのヒルベルト空間において、次の平行四辺形の恒等式が成り立つ。^{[ 94 ]}$${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

逆に、平行四辺形の恒等式が成り立つすべてのバナッハ空間はヒルベルト空間であり、内積は偏極恒等式によってノルムによって一意に決定される。^{[ 95 ]}実ヒルベルト空間の場合、偏極恒等式は $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

複素ヒルベルト空間の場合、 $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

平行四辺形の法則は、任意のヒルベルト空間が一様凸バナッハ空間であることを示唆している。^{[ 96 ]}

このサブセクションでは、ヒルベルト射影定理を使用します。Cがヒルベルト空間Hの空でない閉凸部分集合であり、x がH内の点である場合、 xとC内の点との間の距離を最小にする一意の点y ∈ Cが存在します。^{[ 97 ]}$${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

これは、平行移動された凸集合D = C − xに最小ノルムを持つ点が存在することと同値である。証明は、すべての最小化列( d _n ) ⊂ Dがコーシー列であることを示すことによって行われる（平行四辺形の恒等式を使用）。したがって、（完全性を使用して）最小ノルムを持つD内の点に収束する。より一般的には、これは任意の一様凸バナッハ空間で成り立つ。^{[ 98 ]}

この結果をHの閉部分空間Fに適用すると、 xに最も近い点y ∈ Fは^{[ 99 ]}によって特徴付けられることが示されます。$${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

この点yはxからFへの直交射影であり、写像P _F : x → yは線形である ( §直交補空間と射影を参照)。この結果は、特に応用数学、中でも数値解析において重要であり、最小二乗法の基礎を形成する。^{[ 100 ]}  

特に、F がHと等しくない場合、 Fに直交する非ゼロベクトルvを見つけることができます( x ∉ Fを選択し、v = x − yとします)。この観察結果をHの部分集合Sによって生成される閉部分空間Fに適用すると、非常に有用な基準が得られます。

Hの部分集合Sが稠密なベクトル部分空間を張るのは、ベクトル 0 がSに直交する唯一のベクトルv ∈ Hである場合のみです。

双対空間H *は、空間Hから基底体への すべての連続線形関数の空間です。それは、次のように定義される自然なノルムを持ちます。$${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$ このノルムは平行四辺形の法則を満たすため、双対空間は内積空間でもあり、この内積は偏極恒等式を用いてこの双対ノルムで定義できます。双対空間は完備でもあるため、それ自体がヒルベルト空間です。e • = ( e i ) i ∈ I が H の完全正規直交基底である場合、_双対空間上_の任意_の2つの内積は${\displaystyle f,g\in H^{*}}$は $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$ この数列の項のうち、可算個を除くすべてがゼロである。

リース表現定理は双対空間の便利な記述を提供する。Hのすべての要素uに対して、 H *の一意の要素φ _uが存在し、それは次のように定義される 。$${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$ さらに、${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

リース表現定理によれば、 u ↦ φ _uで定義されるHからH *への写像は全射であり、この写像は等長反線形同型写像となる。^{[ 101 ]}したがって、双対H *のすべての要素φに対して、 H内にただ 1 つのu _φが存在し、 $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$すべてのx ∈ H に対して。双対空間H *上の内積は以下を満たす。 $${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

右辺の順序を反転すると、u _φの反線形性からφの線形性が回復する。実際の場合、Hからその双対への反線形同型は実際には同型であり、したがって実ヒルベルト空間は自然に自身の双対と同型である。^{[ 102 ]}

表現ベクトルu _φは次のようにして得られます。φ ≠ 0の場合、カーネルF = Ker( φ )はHの閉ベクトル部分空間であり、 Hとは等しくないため、 Fに直交する非ゼロベクトルvが存在し ます。 ベクトルuはvの適切なスカラー倍λvです。 φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩という条件から、$${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

この対応φ ↔ uは物理学でよく使われるブラケット記法によって利用される。^{[ 103 ]}物理学では、 ⟨ x | y ⟩で表される内積が右辺で線形であると仮定するのが一般的である。 $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$ 結果⟨ x | y ⟩は、線形汎関数⟨ x | (ブラ)がベクトル| y ⟩ (ケット)に作用したものと見なすことができます。

リース表現定理は、内積の存在だけでなく、空間の完備性にも根本的に依存している。実際、この定理は、任意の内積空間の位相的双対がその完備化と同一視できることを示唆している。^{[ 104 ]}リース表現定理の直接的な帰結として、ヒルベルト空間Hは反射的であり、 Hからその二重双対空間への自然な写像は同型写像であるということもある。^{[ 105 ]}

ヒルベルト空間Hにおいて、数列{ x _n }は、次の場合に ベクトルx ∈ Hに弱収束する。$${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$すべてのv ∈ H に対して。

例えば、ベッセルの不等式の結果として、任意の正規直交列{ f _n }は 0に弱収束します。すべての弱収束列{ x _n }は、一様有界性原理により有界です。 

逆に、ヒルベルト空間のすべての有界列は弱収束部分列を持つ（アラオグルの定理）。^{[ 106 ]}この事実は、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理がR ^d上の連続関数に使用されるのと同様に、連続凸汎関数の最小化結果を証明するために使用できる。いくつかのバリエーションの中で、簡単な記述の 1 つは次のとおりである。^{[ 107 ]}

f  : H → Rが凸連続関数であり、‖ x ‖が∞に近づくときにf ( x )が+∞に近づく場合、f はある点x ₀ ∈ Hで最小値を持つ。

この事実（およびその様々な一般化）は、変分法の直接法にとって基本的である。凸汎関数の最小化結果もまた、ヒルベルト空間Hの閉じた有界凸部分集合が弱コンパクトであるという、やや抽象的な事実の直接的な結果である。これは、 Hが反射的であるためである。弱収束部分列の存在は、エーベルライン-シュムリアン定理の特殊な場合である。^{[ 108 ]}

バナッハ空間の一般的な性質は、ヒルベルト空間でも引き続き成り立ちます。開写像定理は、あるバナッハ空間から別のバナッハ空間への連続全射線形変換が開写像である、つまり開集合を開集合に写すことを意味します。その系として、有界逆写像定理があり、あるバナッハ空間から別のバナッハ空間への連続かつ全単射な線形関数は同型写像（つまり、逆写像も連続な連続線形写像）であることを示しています。この定理は、一般的なバナッハ空間よりもヒルベルト空間の場合の方が証明がかなり簡単です。^{[ 109 ]}開写像定理は閉グラフ定理と同等であり、あるバナッハ空間から別のバナッハ空間への線形関数が連続であるのは、そのグラフが閉集合である場合のみであると主張しています。^{[ 110 ]}ヒルベルト空間の場合、これは非有界作用素の研究の基本です（閉作用素を参照）。^{[ 111 ]}

（幾何学的）ハーン・バナッハの定理は、閉じた凸集合は、ヒルベルト空間の超平面によってその外部の任意の点から分離できると主張している。これは最良近似特性の直接的な結果である。y が閉じた凸集合 F の x に最も近い要素である場合、分離超平面は線分xyに垂直でその中点を通る平面である。^{[ 112 ]}

ヒルベルト空間 H 1 から別のヒルベルト空間 H ₂への連続_線形作用素A : H  1 → _H 2は_、有界集合を有界集合に写像するという意味で有界である。^{[ 113 ]}逆に、作用素が有界であれば、それは連続である。このような有界線形作用素の空間はノルムを持ち、作用素ノルムは次のように与えられる。 ^{[ 114 ]}$${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

2 つの有界線形演算子の和と合成は、再び有界かつ線形である。^{[ 115 ]} H ₂のyに対して、 x ∈ H ₁を⟨ Ax , y ⟩に写像する写像は線形かつ連続であり、リース表現定理によれば、次の形式で表すことができる。^{[ 116 ]}$${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$H ₁内の 何らかのベクトルA * yに対して、これはAの随伴作用素である別の有界線形作用素A * : H ₂ → H ₁を定義します。随伴作用素はA ** = Aを満たします。リース表現定理を使用して各ヒルベルト空間をその連続双対空間と同一視すると、Aの随伴作用素は、定義により を に送るA の転置t A : ^H 2 * → _H 1 *_と同一であることが示されます。  ${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$機能的に${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

H上のすべての有界線形作用素(作用素H → Hを意味する) の集合B( H )は、加算および合成作用素、ノルムおよび随伴作用素とともに、作用素環の一種であるC*- 代数である。^{[ 117 ]}

B( H )の要素Aは、 A * = Aの場合、「自己共役」または「エルミート」と呼ばれます。A がエルミートであり、すべての x に対して ⟨ Ax , x ⟩ ≥ 0 である場合、 Aは正であると呼ばれ、 A ≥ 0 と表記されます。自己共役演算子の集合は、 A − B ≥ 0の場合にA ≥ Bとなるような半順序を持ちます。AがあるBに対してB * Bの形である場合、Aは正です。B が可逆である場合、 Aは厳密に正です。また、正の演算子Aに対して、 ^{[ 118 ]}を満たす一意の非負の平方根Bが存在するという意味で、逆もまた真です。$${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

スペクトル定理は、自己共役作用素が実数値関数の役割を果たす正確な意味を与えます。有界な自己共役作用素は実スペクトルを持ち、関数計算によって実数値関数の乗算によって表現できます。より一般的には、正規作用素は複素数値関数に類似しています。それは可換な自己共役な実部と虚部に分解されます。^{[ 119 ]}$${\displaystyle A=\operatorname {Re} A+i\operatorname {Im} A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}.}$$ 逆に、2つの自己共役演算子が可換である場合、この形式でのそれらの和は正規である。

B( H )の要素U は、 Uが可逆であり、その逆がU *で与えられる場合、ユニタリであると呼ばれる。これは、 U が全射であり、すべてのx、y ∈ Hに対して⟨ Ux、Uy ⟩ = ⟨ x、y ⟩が成り立つことを要求することによっても表現できる。ユニタリ演算子は合成に関して群を形成し、それはHの等長変換群である。^{[ 120 ]}

B( H )の要素は、有界集合を相対的にコンパクトな集合に写像する場合にコンパクトである。同様に、有界作用素Tは、任意の有界列{ x _k }に対して、列{ Tx _k }が収束部分列を持つ場合にコンパクトである。多くの積分作用素はコンパクトであり、積分方程式の研究において重要なヒルベルト・シュミット作用素として知られる特殊なクラスの作用素を定義する。^{[ 121 ]}

フレドホルム作用素は、コンパクト作用素を法として可逆な有界作用素です。したがって、作用素は${\displaystyle T}$有界作用素が存在する場合、フレドホルムである。${\displaystyle T'}$パラメトリックスと呼ばれるもので、${\displaystyle TT'-I}$コンパクト（右フレドホルム）で${\displaystyle T'T-I}$はコンパクト（左フレドホルム）である。フレドホルム作用素は、有限次元の核と閉域を持つ有界作用素として等価に特徴付けられる。^{[ 122 ]}したがって、フレドホルム作用素はカルキン代数の可逆要素に対応する。フレドホルム作用素は、有限次元効果を除いて可逆な作用素として直感的に考えることができる。フレドホルム作用素Tの指数は次のように定義される 。$${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$ この指数はホモトピー不変であり、^{[ 123 ]}アティヤー・シンガー指数定理を通じて微分幾何学において重要な役割を果たします。^{[ 124 ]}

ヒルベルト空間では、特に微分作用素の研究や量子力学の数学的定式化において、非有界作用素が自然に現れる。^{[ 125 ]}ヒルベルト空間H上の非有界作用素は線形写像である。 $${\displaystyle T:D(T)\to H}$$ その定義域D ( T )はHの線形部分空間である。有界作用素とは異なり、非有界作用素は通常H全体で定義されない。D ( T )がHで稠密である場合、Tは稠密に定義された作用素と呼ばれる。^{[ 126 ]}

非有界作用素の定義域は、その定義の一部です。特に、同じ式でも、定義域が異なると異なる作用素を定義することがあります。解析で使用される作用素は、グラフが閉じていることを意味する「閉じている」か、グラフが閉じている作用素に、より大きな定義域に拡張できることを意味する「閉じられる」ことが求められることがよくあります。閉グラフ定理により、ヒルベルト空間全体で定義された閉作用素は有界です。したがって、真に非有界な閉作用素は適切な定義域を持たなければなりません。^{[ 127 ]}

Tが稠密に定義されている場合、その随伴T *は次のように定義されます。ベクトルy ∈ H は、写像が次の条件を満たす場合に D ( T *)に属します。$${\displaystyle x\mapsto \langle Tx,y\rangle ,\qquad x\in D(T),}$$D ( T ) 上のヒルベルト空間ノルムに関して有界である。この場合、リース表現定理により、一意のベクトルT * y ∈ Hが得られ、 $${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle }$$すべてのx ∈ D ( T ) に対して。稠密に定義された演算子は、T ⊂ T *の場合に対称と呼ばれ、T = T *の場合に自己共役と呼ばれます（定義域の等価性を含む）。

自己共役な非有界演算子は、量子力学のヒルベルト空間定式化において観測量の役割を果たす。^{[ 128 ]} L2 ( R )上では、位置演算子は乗算演算子である ^。$${\displaystyle (Qf)(x)=xf(x),}$$ ドメイン付き $${\displaystyle D(Q)=\{f\in L^{2}(\mathbf {R} ):xf(x)\in L^{2}(\mathbf {R} )\}.}$$ 運動量演算子は、 $${\displaystyle (Pf)(x)=-i{\frac {d}{dx}}f(x),}$$ 例えば、ソボレフ空間H ¹ ( R )を定義域とする。^{[ 129 ]}同様に、これは、コンパクトな台を持つ滑らかな関数上で最初に定義されたこの微分作用素の閉包である。これらの作用素はL ² ( R )のすべてで定義されているわけではない。一般的な二乗可積分関数の場合、導関数が存在する必要はなく、積xf ( x )が二乗可積分である必要もない。