保存量

保存量とは、システム内で変化が起こったとしても、システム内で時間の経過とともに一定のままである特性または値です。数学では、動的システムの保存量は従属変数の関数として正式に定義され、その値はシステムの各軌道に沿って一定のままです。 ^[1]

すべてのシステムに保存量があるわけではなく、保存量は一意ではありません。保存量に定数を追加するなどの 適切な関数を適用することで、常に別の保存量を生成することができるためです。

多くの物理法則は何らかの保存則を規定しているため、物理システムの数学モデルには保存量が一般的に存在します。たとえば、古典力学モデルでは、関係する力が保存的である限り、機械的エネルギーが保存量として存在します。

一次微分方程式の場合

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

ここで太字はベクトル量を示し、スカラー値関数H ( r )は、特定の領域における すべての時間と初期条件に対して、システムの保存量である。

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

多変量連鎖律を用いると、

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r } ,t)}$

定義は次のように書ける。

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

これにはシステム固有の情報が含まれており、保存量を見つけたり、保存量が存在するかどうかを判断したりするのに役立ちます。

ハミルトニアン で定義されるシステムでは、一般化座標qと一般化運動量pの関数fは時間発展を持つ。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

したがって は のときのみ保存されます。ここで はポアソン括弧を表します。 ${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$

一般化座標qを持つラグランジアン Lで定義された系を考える。Lが明示的な時間依存性を持たない場合（つまり）、エネルギーEは次のように定義される。 ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

保存されます。

さらに、 のとき、qは巡回座標とされ、一般化運動量pは次のように定義される。 ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

は保存されます。これはオイラー・ラグランジュ方程式を使って導くことができます。

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