球面関数のプランシュレル定理

数学において、球面関数のプランシュレルの定理は、半単純リー群の表現論における重要な結果であり、最終的な形はハリシュ＝チャンドラによるものである。これは、古典的な調和解析における実数群の表現論におけるプランシュレルの公式とフーリエ反転公式の非可換調和解析への自然な一般化であり、微分方程式の理論と同様に密接な相互関係がある。これは、やはりハリシュ＝チャンドラによって証明された、半単純リー群に対する一般的なプランシュレルの定理のゾーン球面関数に対する特殊なケースである。プランシュレルの定理は、関連する対称空間X上のラプラス演算子に対するラジアル関数の固有関数展開を与える。また、 L ² ( X )上の正則表現の既約表現への直接的な積分分解を与える。双曲空間の場合、これらの展開はメーラー、ワイル、フォックの以前の結果から知られていた。

この資料のほぼすべてについての主な参考文献は、ヘルガソン (1984) の百科事典テキストです。

ユニモジュラ局所 コンパクト群 G上のフーリエ変換に対する抽象的なプランシュレル公式の最初のバージョンは、シーガルとモートナーによるものでした。^[1]ほぼ同じ時期に、ハリシュ・チャンドラ^{[2] [3]}とゲルファントとナイマーク^{[4] [5]は、} SL(2,R)と複素半単純リー群、つまり特にローレンツ群に対する明示的な公式を導出しました。モートナーは、最大コンパクト部分群Kに対応する「位相的」対称空間G / Kに対して、より単純な抽象公式を導出しました。ゴデマンは、 G / K上の特殊関数のクラスである正定値球面関数に対して、より具体的で満足のいく形式を与えました。Gが半単純リー群である場合、これらの球面関数 φ _{λ は、}有限反射群の作用によるユークリッド空間の商のパラメーター λ によって自然にラベル付けされるため、このパラメーター化に関してプランシュレル測度を明示的に決定することが中心的な問題になりました。常微分方程式のスペクトル理論からヘルマン・ワイルのアイデアを一般化して、ハリシュ＝チャンドラ^{[6] [7]は、球面関数 φ} _λの漸近挙動を記述するために有名なc関数c (λ) を導入し、プランシュレル測度としてc (λ) ⁻² d λ を提案した。彼は、 Gが複素数または実数で階数が1である特殊なケースについてこの式を検証し、特にG / K が双曲空間である場合をカバーした。一般的な場合は、c関数の特性といわゆる球面フーリエ変換に関する2つの予想に簡約された。c関数の明示的な式は、後にバヌ＝ムルティによって古典的な半単純リー群の大規模なクラスに対して得られた。次に、これらの式に基づいて、ギンディキンとカルペレヴィッチはc関数の積の式^[8]を導出し、階数1の場合のハリシュ＝チャンドラの式に計算を簡約した。彼らの研究により、ハリシュ＝チャンドラは1966年に球面関数のプランシュレル定理の証明を完成させることができました。^[9]

多くの特殊なケース、たとえば複素半単純群やローレンツ群の場合、理論を直接展開する簡単な方法があります。これらの群の特定のサブグループは、ジャック・アダマールによる有名な「降下法」を一般化した手法で扱うことができます。特に、フレンステッド・ジェンセン (1978) は、実半単純群の球面変換の特性をその複素化の特性から演繹する一般的な方法を与えました。

球面変換の主な応用と動機の 1 つは、セルバーグのトレース公式でした。古典的なポアソン総和公式は、ベクトル群上のフーリエ反転公式とココンパクト格子上の総和を組み合わせたものです。この公式のセルバーグ類似体では、ベクトル群がG / Kに、フーリエ変換が球面変換に、格子がココンパクト (またはコ有限) 離散部分群に置き換えられています。セルバーグの元の論文 (1956) では、暗黙的に球面変換が使用されています。この変換を前面に押し出したのは、特にセルバーグが概説した線に沿って SL(2, R ) の基本的な処理を示したゴデメント (1957) でした。

G を半単純 リー群、K をGの極大コンパクト部分群とする。G上のコンパクトに支えられたK双不変連続関数からなるヘッケ代数C _c ( K \ G / K ) は、ヒルベルト空間H = L ² ( G / K )上で畳み込みによって作用する。 G / Kは対称空間なので、この *-代数は可換である。その (ヘッケ代数の) 像の作用素ノルムにおける閉包は非ユニタル可換C* 代数であるため、ゲルファント同型により、そのスペクトルX上で無限遠で消える連続関数と同一視できる。^[10]スペクトル上の点は、Cへの連続 *-準同型、すなわちの指標によって与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

S' がH上の演算子の集合Sの可換を表す場合、はH上のGの正規表現の可換と同一視できます。これにより、 HのK不変ベクトルの部分空間H _{0 は}不変になります。さらに、これがH _{0上に生成する}アーベル・フォン・ノイマン代数は最大アーベルです。スペクトル理論により、局所コンパクト空間X上に本質的に一意の^[11]測度μと、 H ₀とL ² ( X , μ)の間のユニタリ変換Uがあり、これにより演算子が対応する乗算演算子上に移動します。 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{\prime }}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

変換Uは球面フーリエ変換または単に球面変換と呼ばれ、 μ はプランシュレル測度と呼ばれます。ヒルベルト空間H _0は、 G上のK双不変二乗可積分関数の空間L ² ( K \ G / K )と同一視できます。

の指標 χ _{λ (つまり、} Xの点)は、 C _c ( K \ G / K )におけるf の公式を介して 、 G上の正定値球面関数φ _{λによって記述できます。ここで、 π(} f ) は における畳み込み演算子を表し、積分はG上のハール測度に関して行われます。 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ $${\displaystyle \chi _{\lambda }(\pi (f))=\int _{G}f(g)\cdot \varphi _{\lambda }(g)\,dg.}$$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

G上の球面関数φλ_はハリシュ・チャンドラの公式で与えられる：

この式では:

• 積分はK上のハール測度に関するものである。
• λ はA * =Hom( A , T )の元であり、 A はGの岩沢分解 G = KANにおけるアーベルベクトル部分群である。
• λ'は、まずA上への群準同型を用いてλを可解な部分群ANの指標に拡張し、次にK内のkとAN内のxに対して設定することによってG上で定義されます。ここでΔAN_はANのモジュラー関数です。 $${\displaystyle \lambda '(kx)=\Delta _{AN}(x)^{1/2}\lambda (x)}$$
• 2 つの異なる特性 λ ₁と λ _{2 は、 λ 1} = λ ₂ · sの場合にのみ同じ球面関数を与えます。ここで、s はAのワイル群内の、KにおけるAの正規化子をその中心化子、つまり有限反射群で割った商です。 $${\displaystyle W=N_{K}(A)/C_{K}(A),}$$

すると、

• X は商空間A */ Wと同一視できる。

球関数 φ _{λ は、}Gの球面主級数の行列係数と同一視できる。M がKにおけるAの中心化子である場合、これは、MANのAへの準同型と指標 λ の合成によって与えられるB = MANの指標によって誘導されるGのユニタリ表現 π _{λとして定義される。誘導表現は、} Bのbに対して G上の 関数f 上で次のように定義さ れる 。 $${\displaystyle f(gb)=\Delta (b)^{1/2}\lambda (b)f(g)}$$$${\displaystyle \pi (g)f(x)=f(g^{-1}x),}$$$${\displaystyle \|f\|^{2}=\int _{K}|f(k)|^{2}\,dk<\infty .}$$

関数fはL ² ( K / M )の関数と同一視でき、 $${\displaystyle \chi _{\lambda }(g)=(\pi (g)1,1).}$$

Kostant (1969) が証明したように、球面主級数の表現は既約であり、2 つの表現 π _λと π _μは、 Aのワイル群のある σ に対して μ = σ(λ) である場合に限り、ユニタリ同値です。

群G = SL(2, C )は、メビウス変換 によって四元数上半空間 に推移的に作用する。複素行列は 次のように作用する。 $${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}=\{x+yi+tj\mid t>0\}}$$$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}.}$$

点jの安定化因子は最大コンパクト部分群K = SU(2)であり、G不変リーマン計量${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}=G/K.}$

$${\displaystyle ds^{2}=r^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}+dr^{2}\right)}$$

関連するボリューム要素

$${\displaystyle dV=r^{-3}\,dx\,dy\,dr}$$

ラプラシアン演算子

$${\displaystyle \Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{r}^{2})+r\partial _{r}.}$$

のすべての点は、k ( e ^t j )と表すことができます。ここで、 k はSU(2) に含まれ、t は符号を除いて決定されます。ラプラシアンは、SU(2) で不変な関数 (実パラメータtの関数とみなされる) 上で次の形式を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}}$$${\displaystyle \Delta =-\partial _{t}^{2}-2\coth t\partial _{t}.}$$

SU(2)不変関数の積分は次のように与えられる。 $${\displaystyle \int f\,dV=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\sinh ^{2}t\,dt.}$$

SU(2)不変な平方積分関数L ² ( R )をユニタリー変換Uf ( t ) = f ( t ) sinh tで同一視すると、Δは演算子に変換されます 。

$${\displaystyle U^{*}\Delta U=-{d^{2} \over dt^{2}}+1.}$$

プランシュレルの定理とRのフーリエ反転公式により、任意のSU(2)不変関数fは球面関数で表される。

$${\displaystyle \Phi _{\lambda }(t)={\sin \lambda t \over \lambda \sinh t},}$$

球面変換によって

$${\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int f\Phi _{-\lambda }\,dV}$$

そして球面反転公式

$${\displaystyle f(x)=\int {\tilde {f}}(\lambda )\Phi _{\lambda }(x)\lambda ^{2}\,d\lambda .}$$

f _{i を}C _c ( G / K )およびで取り、 iで評価するとプランシュレルの公式が得られる。${\displaystyle f=f_{2}^{*}\star f_{1}}$${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}}}$

$${\displaystyle \int _{G}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dg=\int {\tilde {f}}_{1}(\lambda ){\overline {{\tilde {f}}_{2}(\lambda )}}\,\lambda ^{2}\,d\lambda .}$$

双不変関数の場合、これは球面関数に対するプランシュレル定理を確立する。すなわち、写像

$${\displaystyle {\begin{cases}U:L^{2}(K\backslash G/K)\to L^{2}(\mathbb {R} ,\lambda ^{2}\,d\lambda )\\U:f\longmapsto {\tilde {f}}\end{cases}}}$$

はユニタリであり、 で定義される畳み込み演算子を で定義される乗算演算子に渡します。 ${\displaystyle f\in L^{1}(K\backslash G/K)}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$

球面関数 Φ _{λ は}ラプラシアンの 固有関数である。

$${\displaystyle \Delta \Phi _{\lambda }=(\lambda ^{2}+1)\Phi _{\lambda }.}$$

R上のシュワルツ関数は、ハリシュ・チャンドラ・シュワルツ空間に属する 関数fの球面変換である。

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{f\left|\sup _{t}\left|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M}f(t)\sinh(t)\right|<\infty \right\}\right..}$$

ペイリー・ウィーナー定理によれば、コンパクトな台を持つ滑らかなSU(2)不変関数の球面変換は、指数関数的成長条件を満たす C上の正則関数の制限であるR上の関数とまったく同じである。

$${\displaystyle |F(\lambda )|\leq Ce^{R\left|\operatorname {Im} \lambda \right|}.}$$

G上の関数として、 Φ _{λ はL} ² ( C )上で定義される球面主級数の行列係数であり、ここでC はの境界と同一視される。表現は次式で与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}}$

$${\displaystyle \pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (z)=|cz+d|^{-2-i\lambda }\xi (g(z))。}$$

機能

$${\displaystyle \xi _{0}(z)=\pi ^{-1}\left(1+|z|^{2}\right)^{-2}}$$

はSU(2)によって固定され、

$${\displaystyle \Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0}).}$$

_{π λ の}表現は、λ の符号を変えた場合にのみ既約かつユニタリ同値である。WのL ² ([0,∞) × C )への写像（第 1 因子に測度 λ ² d λ を持つ）は次のように与えられる。 ${\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})}$

$${\displaystyle Wf(\lambda ,z)=\int _{G/K}f(g)\pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(z)\,dg}$$

はユニタリであり、球面主級数の 直接積分として分解を与えます。${\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{3})}$

群G = SL(2, R ) はポアンカレ上半平面上で推移的に作用する。

$${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}=\{x+ri\mid r>0\}}$$

メビウス変換によって。実数行列

$${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$

として作用する

$${\displaystyle g(w)=(aw+b)(cw+d)^{-1}.}$$

点iの安定化群は最大コンパクト部分群K = SO(2) であり、 = G / Kとなる。これはG不変リーマン計量を持つ。${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

$${\displaystyle ds^{2}=r^{-2}\left(dx^{2}+dr^{2}\right)}$$

関連するエリア要素

$${\displaystyle dA=r^{-2}\,dx\,dr}$$

ラプラシアン演算子

$${\displaystyle \Delta =-r^{2}(\partial _{x}^{2}+\partial _{r}^{2}).}$$

内の各点は、k ( e ^t i )と表すことができます。ここで、 k はSO(2) に含まれ、t は符号を除いて決定されます。ラプラシアンは、実パラメータtの関数とみなされる、SO(2) で不変な関数上で次の形式を持ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$ $${\displaystyle \Delta =-\partial _{t}^{2}-\coth t\partial _{t}.}$$

SO(2)不変関数の積分は次のように与えられる。 $${\displaystyle \int f\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left|\sinh t\right|dt.}$$

この常微分方程式に対応する固有関数展開を導出する方法はいくつかあります。

1. 超幾何方程式に応用された常微分方程式の古典的スペクトル理論（メーラー、ワイル、フォック）
2. アダマール降下法の変形。SL(2, C )の1パラメータ部分群の自由作用による3次元双曲空間の商として2次元双曲空間を実現する。
3. セルバーグとゴデマンに従うアーベルの積分方程式。
4. 軌道積分 (Harish-Chandra、Gelfand、Naimark)。

2番目と3番目の手法については、2つの異なる降下法を用いて以下で説明します。1つは、双曲空間上の熱方程式^[12]と波動方程式^[13]の処理でおなじみのアダマールによる古典的な降下法、もう1つは双曲面上のフレンステッド・ジェンセン法です。

f ( x , r ) が上の関数であり、 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

$${\displaystyle M_{1}f(x,y,r)=r^{1/2}\cdot f(x,r)}$$

それから

$${\displaystyle \Delta _{3}M_{1}f=M_{1}\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right)f,}$$

ここでΔn_は上のラプラシアンです。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$

SL(2, C )の作用はΔ ₃と可換なので、 SU(2)の作用で M ₁ fを平均化して得られるS0(2)不変関数上の演算子M _{0も次式を満たす。}

$${\displaystyle \Delta _{3}M_{0}=M_{0}\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right).}$$

副演算子M ₁ *は次のように定義される。

$${\displaystyle M_{1}^{*}F(x,r)=r^{1/2}\int _{-\infty }^{\infty }F(x,y,r)\,dy}$$

満足する

$${\displaystyle \int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{1}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{1}^{*}F)\,dA.}$$

SO(2)上の M * fを平均することによって定義される随伴関数M ₀ *は、 SU(2)不変関数FとSO(2)不変関数fに対してを満たす。したがって、 $${\displaystyle \int _{{\mathfrak {H}}^{3}}(M_{0}f)\cdot F\,dV=\int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f\cdot (M_{0}^{*}F)\,dA}$$$${\displaystyle M_{i}^{*}\Delta _{3}=\left(\Delta _{2}+{\tfrac {3}{4}}\right)M_{i}^{*}.}$$

この関数 はSO(2)不変であり、 $${\displaystyle f_{\lambda }=M_{1}^{*}\Phi _{\lambda }}$$$${\displaystyle \Delta _{2}f_{\lambda }=\left(\lambda ^{2}+{\tfrac {1}{4}}\right)f_{\lambda }.}$$

一方で、 $${\displaystyle b(\lambda )=f_{\lambda }(i)=\int {\sin \lambda t \over \lambda \sinh t}\,dt={\pi \over \lambda }\tanh {\pi \lambda \over 2},}$$

なぜなら、積分は、± Rと ± R + πi を頂点とする長方形のくぼんだ輪郭の周りを積分することで計算できるからである。したがって、固有関数 ${\displaystyle e^{i\lambda t}/\sinh t}$

$${\displaystyle \phi _{\lambda }=b(\lambda )^{-1}M_{1}\Phi _{\lambda }}$$

は正規化条件φλ(i)=1を満たす。_常微分方程式のロンスキアンが消えるか、 sinhrのべき級数として展開されるかのいずれかによって、そのような解は1つしか存在しない。^[14]従って、

$${\displaystyle \varphi _{\lambda }(e^{t}i)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\cosh t-\sinh t\cos \theta \right)^{-1-i\lambda }\,d\theta .}$$

同様に、

$${\displaystyle \Phi _{\lambda }=M_{1}\phi _{\lambda }.}$$

SO(2)不変関数の球面変換が次のように定義される 場合、${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

$${\displaystyle {\tilde {f}}(\lambda )=\int f\varphi _{-\lambda }\,dA,}$$

それから

$${\displaystyle {(M_{1}^{*}F)}^{\sim }(\lambda )={\tilde {F}}(\lambda ).}$$

f = M ₁ * Fとすると、 FのSL(2, C )逆変換公式は直ちに次の式を与える。

$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{\lambda }(x){\tilde {f}}(\lambda ){\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda ,}$$

上のSO(2)不変関数の球面反転公式。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

SL(2, C )に関しては、C _c (SL(2, R ) / SO(2)) におけるf _iに対するプランシュレルの公式が直ちに導かれます。

$${\displaystyle \int _{{\mathfrak {H}}^{2}}f_{1}{\overline {f_{2}}}\,dA=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}_{1}{\overline {\tilde {f_{2}}}}{\lambda \pi \over 2}\tanh \left({\pi \lambda \over 2}\right)\,d\lambda .}$$

球面関数 φ _{λ は}ラプラシアンの 固有関数である。

$${\displaystyle \Delta _{2}\varphi _{\lambda }=\left(\lambda ^{2}+{\tfrac {1}{4}}\right)\varphi _{\lambda }.}$$

R上のシュワルツ関数は、ハリシュ・チャンドラ・シュワルツ空間に属する 関数fの球面変換である。

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{f\left|\sup _{t}\left|(1+t^{2})^{N}(I+\Delta )^{M}f(t)\varphi _{0}(t)\right|<\infty \right\}\right..}$$

コンパクトな台の滑らかなSO(2)不変関数の球面変換は、指数関数的成長条件を満たす C上の正則関数の制限であるR上の関数とまったく同じである。

$${\displaystyle |F(\lambda )|\leq Ce^{R|\Im \lambda |}.}$$

これら2つの結果は、SL(2, C )の対応する結果^[15]から、球面変換が与えられた成長条件^{[16] [17]}を満たすことを直接検証し、関係式を使用することで導き出すことができます。 ${\displaystyle (M_{1}^{*}F)^{\sim }={\tilde {F}}}$

G上の関数として、 φ _{λ はL} ² ( R )上で定義される球面主級数の行列係数であり、ここでR はの境界と同一視される。表現は次式で与えられる。 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{2}}$

$${\displaystyle \pi _{\lambda }(g^{-1})\xi (x)=|cx+d|^{-1-i\lambda }\xi (g(x)).}$$

機能

$${\displaystyle \xi _{0}(x)=\pi ^{-1}\left(1+|x|^{2}\right)^{-1}}$$

はSO(2)によって固定され、

$${\displaystyle \Phi _{\lambda }(g)=(\pi _{\lambda }(g)\xi _{0},\xi _{0}).}$$

_{π λ の}表現は、λ の符号を変えた場合にのみ既約かつユニタリ同値である。第 1 因子に測度を持つ写像は、次の式で与えられる。 ${\displaystyle W:L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})\to L^{2}([0,\infty )\times \mathbb {R} )}$${\textstyle {\frac {\lambda \pi }{2}}\tanh \left({\frac {\pi \lambda }{2}}\right)\,d\lambda }$

$${\displaystyle Wf(\lambda ,x)=\int _{G/K}f(g)\pi _{\lambda }(g)\xi _{0}(x)\,dg}$$

はユニタリであり、球面主級数の 直接積分として分解を与えます。${\displaystyle L^{2}({\mathfrak {H}}^{2})}$

アダマールの降下法は、 のyパラメータにおける 1 パラメータ部分群の作用に対して不変な関数に依存していた。フレンステッド・ジェンセン法は、SO(2) と行列の 1 パラメータ部分群K ₁の直積として分割されるSL(2, C )における SO(2) の中心化子を使用する。${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{3}}$

$${\displaystyle g_{t}={\begin{pmatrix}\cosh t&i\sinh t\\-i\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}}.}$$

対称空間SL(2, C )/SU(2)は、行列式1を持つ 正の2×2行列Aの空間H ³と同一視でき、 群作用は次のように与えられる。 $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a+b&x+iy\\x-iy&a-b\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle g\cdot A=gAg^{*}.}$$

したがって $${\displaystyle g_{t}\cdot A={\begin{pmatrix}a\cosh 2t+y\sinh 2t+b&x+i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)\\x-i(y\cosh 2t+a\sinh 2t)&a\cosh 2t+y\sinh 2t-b\end{pmatrix}}.}$$

したがって、双曲面 上では、g _{t は}座標yとaのみを変更します。同様に、 SO(2) の作用は座標 ( b , x ) に回転作用を及ぼし、aとy は変化しません。 y = 0の実数値正行列Aの空間H ^2は、SL(2, R )の下での単位行列の軌道と同一視できます。H ³の座標 ( b , x , y ) とH ²の座標( b , x )をとると、体積要素と面積要素は次のように表されます 。${\displaystyle a^{2}=1+b^{2}+x^{2}+y^{2}}$

$${\displaystyle dV=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx\,dy,\,\,\,dA=(1+r^{2})^{-1/2}\,db\,dx,}$$

ここで、r ^{2 は}b ² + x ² + y ²またはb ² + x ²に等しいため、rは原点からの双曲距離とによって関連します。 ${\displaystyle r=\sinh t}$

ラプラシアン演算子は次式で与えられる。

$${\displaystyle \Delta _{n}=-L_{n}-R_{n}^{2}-(n-1)R_{n},\,}$$

どこ

$${\displaystyle L_{2}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2},\,\,\,R_{2}=b\partial _{b}+x\partial _{x}}$$

そして

$${\displaystyle L_{3}=\partial _{b}^{2}+\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2},\,\,\,R_{3}=b\partial _{b}+x\partial _{x}+y\partial _{y}.\,}$$

H ³上のSU(2)不変関数FとH ²上のSO(2)不変関数をrまたはtの関数と見なすと、

$${\displaystyle \int _{H^{3}}F\,dV=4\pi \int _{-\infty }^{\infty }F(t)\sinh ^{2}t\,dt,\,\,\,\int _{H^{2}}f\,dV=2\pi \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sinh t\,dt.}$$

f ( b , x ) がH ²上の関数である場合、Efは次のように定義されます。

$${\displaystyle Ef(b,x,y)=f(b,x).\,}$$

したがって

$${\displaystyle \Delta _{3}Ef=E(\Delta _{2}-R_{2})f.\,}$$

fがSO(2)不変ならば、fをrまたはtの関数として考えると、

$${\displaystyle (-\Delta _{2}+R_{2})f=\partial _{t}^{2}f+\coth t\partial _{t}f+r\partial _{r}f=\partial _{t}^{2}f+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}f.}$$

一方で、 $${\displaystyle \partial _{t}^{2}+(\coth t+\tanh t)\partial _{t}=\partial _{t}^{2}+2\coth(2t)\partial _{t}.}$$

したがって、Sf ( t ) = f (2 t )と設定すると、 M ₀ = ESに対するフレンステッド・ジェンセンの基本的な降下関係 が導かれます。 $${\displaystyle (\Delta _{2}-R_{2})Sf=4S\Delta _{2}f,}$$$${\displaystyle \Delta _{3}M_{0}f=4M_{0}\Delta _{2}f.}$$

同じ関係がM ₀とMにも成り立ち、MfはSU(2)上のM ₀ fを平均することによって得られます。

拡大Ef はy変数に関して定数であり、したがって変換g _sに対して不変である。一方、H ³上の適切な関数Fに対して、定義される 関数QFはy変数 に依存しない。変数の単純な変換から、 $${\displaystyle QF=\int _{K_{1}}F\circ g_{s}\,ds}$$$${\displaystyle \int _{H^{3}}F\,dV=\int _{H^{2}}(1+b^{2}+x^{2})^{1/2}QF\,dA.}$$