順序

素数とは、 1より大きい自然数で、 1とそれ自身以外に約数を持たない数のことです。素数を自然数の順に並べると、(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) という数列になります。素数は数学、特に数論において広く用いられており、素数に関連する多くの研究成果が存在します。

フィボナッチ数は、各要素が前の2つの要素の和となる数列です。0番目と1番目の要素は0と1なので、数列は(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)となります。^{[ 1 ]}

他の数列は、要素として有理数を持っています。たとえば、数列(.9, .99, .999, .9999, ...)は、 1に近づきます。別の例として、π は、増加数列(3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...)の極限です。実際、すべての実数は、有理数列の極限として表すことができます(たとえば、小数展開を介して、実数の完全性も参照)。関連するタイプの数列は、実数の小数桁で構成されます。たとえば、πの桁数列( 3, 1, 4, 1, 5, 9, ...)です。この数列には、目視で容易に判別できるパターンはありません。

数列の要素は、数値ではなく関数にすることができます。たとえば、 1変数多項式の単項式基底は数列を形成します。${\displaystyle (x\mapsto 1,x\mapsto x,x\mapsto x^{2},x\mapsto x^{3},\ldots )}$矢印表記法を用いて。

オンライン整数列百科事典には、整数列の例が多数掲載されている。^{[ 3 ]}

パターンが容易に推測できない数列や、 πの桁のようにパターンを持たない数列には、別の表記法が役立つ場合があります。そのような表記法の 1 つは、 nの関数としてn番目の項を計算する一般的な式を書き、それを括弧で囲み、 nが取り得る値の集合を示す添え字を含めることです。たとえば、この表記法では、偶数の数列は次のように書くことができます。${\displaystyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$、そこで⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$は自然数の集合を表します。平方数列は次のように書くことができます。${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$変数nはインデックスと呼ばれ、それが取り得る値の集合はインデックス集合と呼ばれます。

この表記法を、シーケンスの要素を個々の変数として扱う手法と組み合わせると便利な場合が多い。これにより、次のような式が得られる。${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$これは、 n番目の要素が変数によって与えられるシーケンスを表します。${\displaystyle a_{n}}$。 例えば：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} の } の 1 番目の要素}\\a_{2}&=2{\text{2 番目の要素}\\a_{3}&=3{\text{3 番目の要素}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{番目の要素}\\a_{n}&=n{\text{番目の要素}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{番目の要素}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

異なる変数を使用することで、複数のシーケンスを同時に考慮することができます。例：${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$異なるシーケンスである可能性があります${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$数列の列を考えることもできる。${\displaystyle {\bigl (}(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }{\bigr )}_{m\in \mathbb {N} }}$m番目の項が数列である数列を表す${\textstyle (a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }}$。

添え字に数列の定義域を記述する代わりに、インデックスが取り得る値の範囲を、その最大値と最小値を列挙することで示す方法があります。例えば、表記法${\textstyle (k^{2}){\vphantom {)}}_{k=1}^{10}}$は10項の平方数列を表す。${\displaystyle (1,4,9,\ldots ,100)}$記号を使用する${\displaystyle \infty }$上限として、インデックスが無限に続くことを意味します。たとえば、表記法${\textstyle {(2n-1)}_{n=1}^{\infty }}$そして${\textstyle (2n-1)_{n\in \mathbb {N} }}$どちらも奇数（1、3、5、...）の列を表しています。

双無限列は、 でインデックス付けされた列です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ はすべての整数の集合であり、したがって負の方向と正の方向の両方に無限に続きます。このような数列は次のように書くことができます。${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$、${\textstyle {(a_{n})}_{n\in \mathbb {Z} }}$、 または${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$。

インデックス番号のセットがわかっている場合は、添え字と上付き文字は省略されることが多い。つまり、単に次のように書く。${\textstyle (a_{n})}$任意の数列に対して。通常、インデックスnは1から始まるすべての自然数、または0から始まるすべての非負整数を指すものと理解されます。

要素が前の要素と直接的な関係にあるシーケンスは、しばしば再帰を用いて定義される。これは、要素の位置の関数としてシーケンスを定義する方法とは対照的である。

再帰によって数列を定義するには、各要素をその前の要素に基づいて構築するための規則（再帰関係）が必要です。さらに、数列の以降のすべての要素が再帰関係を繰り返し適用することで計算できるように、十分な数の初期要素を用意する必要があります。

フィボナッチ数列は、漸化式で定義される単純な古典的な例である。

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},}$

初期条件付き${\displaystyle a_{0}=0}$そして${\displaystyle a_{1}=1}$最初のいくつかの項は、(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)のように簡単に計算できます。

漸化式で定義される数列の複雑な例として、漸化式で定義されるレカマン数列^{[ 4 ]}が挙げられる。

${\displaystyle {\begin{cases}a_{n}=a_{n-1}-n,\quad {\text{if the result is positive and not already in the previous terms,}}\\a_{n}=a_{n-1}+n,\quad {\text{otherwise}},\end{cases}}}$

初期項付き${\displaystyle a_{0}=0.}$

定数係数を持つ線形漸化式は、次の形式の漸化式である。

${\displaystyle a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

どこ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$は定数です。一般項を表す一般的な方法があります。${\displaystyle a_{n}}$このような数列のnの関数としての;線形漸化式を参照。フィボナッチ数列の場合、次のようになる。${\displaystyle c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,}$そして、結果として得られるnの関数はビネの公式で与えられる。

ホロノミック数列は、次の形式の漸化式によって定義される数列である。

${\displaystyle a_{n}=c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},}$

どこ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$はnに関する多項式です。ほとんどのホロノミック数列については、 を表す明示的な公式はありません。${\displaystyle a_{n}}$nの関数として。とはいえ、ホロノミック数列は数学のさまざまな分野で重要な役割を果たしています。たとえば、多くの特殊関数は、係数列がホロノミックであるテイラー級数を持っています。漸化式を使用することで、このような特殊関数の値を高速に計算できます。

すべての数列が漸化式で指定できるわけではありません。例としては、素数の自然順序の数列(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...)が挙げられます。

形式的には、数列は定義域が整数の区間である関数として定義できます。定義域の要素は数列の要素の位置またはインデックスであり、関数が取る値は数列の要素です。区間は有限または無限です。したがって、この定義は、片側無限数列、両側無限数列、有限数列など、「数列」という言葉のさまざまな用法を網羅しています（これらの種類の数列の定義については後述します）。文脈によっては、数列の終域（項の取りうる値）は文脈によって固定されます。たとえば、集合を と要求する場合などです。${\displaystyle \mathbb {R} }$実数の集合、 ^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$複素数、^{[ 6 ]}または位相空間。^{[ 7 ]}

シーケンスは関数の一種ですが、入力が括弧ではなく添え字で表記される（つまり、( n ) ではなく a n と表記される）という点で、通常は関数と表記上区別されます。用語上の違い_もあります。シーケンスの最小入力値（多くの場合1）はシーケンスの「第 1 要素」、2 番目に小さい入力値（多くの場合2）は「第 2 要素」などと呼ばれます。また、入力から抽象化された関数は通常 1 文字（fなど）で表されますが、入力から抽象化されたシーケンスは通常、次のような表記で表されます。${\textstyle (a_{n})_{n\in A}}$あるいは単に${\textstyle (a_{n}).}$ここで、Aは数列のドメイン、またはインデックス集合である。

数列の長さは、数列に含まれる項の数として定義される。

有限長のシーケンスは有限シーケンスです。長さnの有限シーケンスはnタプルとも呼ばれます。有限シーケンスには、要素を持たない空シーケンス(  )も含まれます。

通常、無限列 という用語は、一方の方向には無限で、もう一方の方向には有限である列を指します。このような列は最初の要素を持ちますが、最後の要素はなく、 区別が必要な場合には単方向無限列または片側無限列と呼ばれます。対照的に、両方向に無限である列、つまり最初の要素も最後の要素も持たない列は、双方向無限列、双方向無限列、または二重無限列と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$すべての整数の集合を、例えばすべての偶数の列(..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ...)のように、1 つの集合にまとめると、双無限になります。この列は次のように表すことができます。${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$。

数列は、各項が前の項以上である場合、単調増加すると言われます。たとえば、数列${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$は、以下の条件を満たす場合に限り単調増加する。${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$連続する各項が前の項より厳密に大きい（>）場合、その数列は厳密に単調増加と呼ばれます。連続する各項が前の項以下である場合、数列は単調減少であり、連続する各項が前の項より厳密に小さい場合、数列は厳密に単調減少です。数列が増加または減少している場合、それは単調数列と呼ばれます。これは、より一般的な単調関数の概念の特殊なケースです。

増加と減少という用語の代わりに、非減少と非増加という用語がよく使われるのは、それぞれ厳密に増加と厳密に減少という用語との混同を避けるためである。

実数列 ( a _n ) のすべての項が実数Mより小さい場合、その数列は上界を持つと言います。言い換えれば、すべてのnに対してa _n ≤ MとなるようなM が存在するということです。このようなMは上界と呼ばれます。同様に、ある実数mに対して、あるNより大きいすべての n に対してa n _≥ mである場合、その数列は下界を持ち、このようなmは下界と呼ばれます。数列が上界と下界の両方を持つ場合、その数列は有界であると言います。

与えられた数列の部分列とは、与えられた数列から一部の要素を削除し、残りの要素の相対的な位置関係を崩さずに得られる数列のことです。例えば、正の偶数の数列(2, 4, 6, ...)は、正の整数の数列(1, 2, 3, ...)の部分列です。一部の要素を削除すると、他の要素の位置は変わりますが、相対的な位置関係は維持されます。

正式には、シーケンスの部分シーケンス${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$は、次の形式の任意のシーケンスです。${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$、 どこ${\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$これは、正の整数の単調増加数列である。

定義しやすいその他のシーケンスの種類には、以下のようなものがあります。

• 整数列とは、項がすべて整数である数列のことである。
• 多項式数列とは、項が多項式である数列のことである。
• 正の整数列は、nとmが互いに素であるすべてのペアn、mに対してa _nm = a _n a _mが成り立つ場合、乗法的と呼ばれることがあります。^{[ 8 ]}また、他の場合では、すべてのnに対してa _n = na ₁が成り立つ場合、列は乗法的と呼ばれることがよくあります。さらに、乗法的フィボナッチ数列^{[ 9 ]}は、漸化式a _n = a _{n −1} a _{n −2}を満たします。
• バイナリシーケンスとは、各項が2つの離散値のいずれかを持つシーケンスのことです。例えば、2進数の値（0、1、1、0、...）、コイン投げの連続（表/裏）（H、T、H、H、T、...）、真偽を問う質問への回答（T、F、T、T、...）などが挙げられます。

実数列${\displaystyle (a_{n})}$実数に収束する${\displaystyle L}$もし、すべての${\displaystyle \varepsilon >0}$自然数が存在する${\displaystyle N}$すべての${\displaystyle n\geq N}$^[ 5 ^]​

${\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon .}$

もし${\displaystyle (a_{n})}$が実数列ではなく複素数列である場合、この最後の式は収束を定義するために使用できますが、次の条件が適用されます。${\displaystyle |\cdot |}$はモジュラスを表します。${\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}$、 どこ${\displaystyle z^{*}}$はの複素共役です${\displaystyle z}$⁠ . もし${\displaystyle (a_{n})}$が距離空間内の点の列である場合、式が収束を定義するために使用できます。${\displaystyle |a_{n}-L|}$は、次の表現に置き換えられます。${\displaystyle \operatorname {dist} (a_{n},L)}$これは、間の距離を表します。${\displaystyle a_{n}}$そして${\displaystyle L}$。

もし${\displaystyle (a_{n})}$そして${\displaystyle (b_{n})}$が収束する数列である場合、次の極限が存在し、次のように計算できます。^{[ 5 ] [ 10 ]}

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$すべての実数に対して${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}}$ただし、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}}$すべての人々のために${\displaystyle p>0}$そして${\displaystyle a_{n}>0}$

さらに：

• もし${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n}$一部のものよりも大きい${\displaystyle N}$、 それから${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$[ ^{a ]​}
• （挟み撃ちの定理）もし${\displaystyle (c_{n})}$は、${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n>N}$そして${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$、それから${\displaystyle (c_{n})}$収束し、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$。
• 数列が有界かつ単調であれば、それは収束する。
• 数列が収束するのは、そのすべての部分列が収束する場合に限る。

コーシー列とは、nが非常に大きくなるにつれて項が限りなく近づく列のことである。コーシー列の概念は、距離空間における数列の研究、特に実解析において重要である。実解析における特に重要な結果の一つは、数列の収束に関するコーシーによる特徴付けである。

実数列が（実数において）収束するのは、それがコーシー列である場合に限る。

対照的に、有理数に収束しない有理数のコーシー列も存在する。例えば、次のように定義される数列などである。${\displaystyle x_{1}=1}$そして${\displaystyle x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}}$はコーシー数列ですが、有理数の極限はありません（コーシー数列 § 非例：有理数を参照）。より一般的には、無理数に収束する有理数列はコーシー数列ですが、有理数の集合内の数列として解釈すると収束しません。

数列の収束に関するコーシーの特徴付けを満たす距離空間は、完備距離空間と呼ばれ、解析において特に有用である。

微積分では、上述の意味で収束しないが、代わりに任意に大きくなり続ける、あるいは任意に負になり続ける数列の記法を定義するのが一般的である。${\displaystyle a_{n}}$は任意に大きくなる${\displaystyle n\to \infty }$私たちは書く

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .}$

この場合、数列は発散する、または無限大に収束すると言います。このような数列の例は、_n = nです。

もし${\displaystyle a_{n}}$は任意に負の値（つまり負で絶対値が大きい）になる。${\displaystyle n\to \infty }$私たちは書く

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$

そして、数列が発散するか、負の無限大に収束すると言う。

数列は位相幾何学、特に距離空間の研究において重要な役割を果たします。例えば：

• 距離空間がコンパクトであるのは、それが逐次コンパクトである場合に限る。
• ある距離空間から別の距離空間への関数は、収束する数列を収束する数列に写像する場合に限り、連続である。
• 距離空間が連結空間であるのは、その空間を2つの集合に分割したときに、一方の集合が他方の集合内の点に収束する数列を含む場合に限る。
• 位相空間が分離可能であるのは、点の密な列が存在する場合に限られる。

シーケンスはネットやフィルターに一般化できる。これらの一般化により、上記の定理の一部を距離を持たない空間に拡張することができる。

解析における数列について議論する場合、一般的には次のような数列を考えることになる。

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ){\text{ or }}(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$

つまり、自然数でインデックス付けされた要素の無限列のことです。

数列は、 1または0とは異なるインデックスで始まる場合があります。たとえば、logが自然対数であるx _n = 1/log( n )で定義される数列は、 n ≥ 2の場合にのみ定義されます。このような無限数列について話す場合、数列の要素が少なくとも十分に大きいすべてのインデックス、つまり、与えられたNより大きいインデックスに対して定義されていると仮定すれば、通常は十分であり、ほとんどの考察ではあまり変わりません。

最も基本的な数列は数値数列、すなわち実数または複素数の数列です。このタイプは、あるベクトル空間の要素の数列に一般化できます。解析学では、考慮されるベクトル空間はしばしば関数空間です。さらに一般的には、ある位相空間の要素を持つ数列を研究することもできます。

体上の数列は、ベクトル空間におけるベクトルとして捉えることもできます。具体的には、 F値数列（Fは体）の集合は、自然数の集合上のF値関数の関数空間（実際には積空間）となります。

抽象代数学では、群や環などの数学的対象の列を含む、いくつかの種類の列が用いられる。

順序数列は、数列の一般化である。αを極限順序数、Xを集合とすると、Xの要素のα添え字列は、 αからXへの関数となる。この用語では、ω添え字列は通常の数列である。

コンピュータサイエンスでは、有限のシーケンスはリストと呼ばれます。無限に続く可能性のあるシーケンスはストリームと呼ばれます。文字または数字の有限のシーケンスは文字列と呼ばれます。

有限アルファベットから抽出された無限の数字（または文字）の列は、理論計算機科学において特に興味深いものです。これらは、有限文字列とは対照的に、単にシーケンスまたはストリームと呼ばれることがよくあります。たとえば、無限バイナリシーケンスは、ビット（アルファベット{0, 1}から抽出された文字）の無限の列です。すべての無限バイナリシーケンスの集合C = {0, 1} ^∞は、カントール空間と呼ばれることもあります。

無限バイナリシーケンスは、n番目の文字列（ショートレックス順）が形式言語に含まれる場合に限り、シーケンスの n 番目のビットを 1 に設定することで、形式言語（文字列の集合）を表すことができます。この表現は、証明のための対角化法で役立ちます。^{[ 11 ]}