変分法における直接法

数学において、変分法における直接法は、与えられた関数に対する最小化関数の存在証明を構築する一般的な方法であり、^[1]スタニスワフ・ザレンバとダヴィド・ヒルベルトによって1900年頃に導入されました。この方法は、関数解析と位相幾何学の手法に依存しています。解の存在を証明するために使用されるだけでなく、直接法は、必要な精度で解を計算するためにも使用できます。^[2]

変分法は、 が何らかの関数空間でである関数 を扱います。この主題の主な関心は、そのような関数、つまりすべての に対してとなる関数の最小値を見つけることです。 ${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle J(v)\leq J(u)}$${\displaystyle u\in V}$

関数が最小値となるための必要条件を得るための標準的なツールは、オイラー・ラグランジュ方程式です。しかし、これらの条件を満たす関数の中から最小値を求めると、最小値の存在が事前に確立されていない場合、誤った結論に至る可能性があります。

関数は最小値を持つためには下から制限されなければならない。これはつまり ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}$

この条件は最小化子が存在することを知るのに十分ではないが、最小化シーケンス、つまり、${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}$

直接法は次のステップに分けられる。

1. を最小化するシーケンスを取ります。${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle J}$
2. が上の位相に関して に 収束する何らかの部分列を許容することを示します。${\displaystyle (u_{n})}$ ${\displaystyle (u_{n_{k}})}$${\displaystyle u_{0}\in V}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle V}$
3. が位相に関して順次下半連続であることを示します。${\displaystyle J}$${\displaystyle \tau }$

これが最小化関数の存在を示していることを確認するには、連続的に下半連続な関数の次の特徴付けを考慮してください。

この関数が連続的に下半連続となるのは、 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$における任意の収束シーケンスに対して。${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$${\displaystyle V}$

結論は

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}$、

言い換えると

${\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}$。

直接法は、空間が可分な反射的バナッハ空間の部分集合である場合に、しばしばうまく適用できる。この場合、 逐次的バナッハ・アラオグル定理は、内の任意の有界列は、弱位相に関して内の何らかの列に収束する部分列を持つことを意味する。が内で逐次的に閉じていてが内である場合、直接法は次のように 関数に適用できる。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$

1. ${\displaystyle J}$下から境界が定められ、
2. を最小化する任意のシーケンスは有界であり、${\displaystyle J}$
3. ${\displaystyle J}$は弱順次下半連続である、すなわち、任意の弱収束する数列に対してが成り立つ。${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$

2番目の部分は、通常、何らかの成長条件が認められることを示すことによって達成されます。例は次のとおりです。 ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J(x)\geq \alpha \lVert x\rVert ^{q}-\beta }$一部の、および。${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle q\geq 1}$${\displaystyle \beta \geq 0}$

この特性を持つ関数は強制的と呼ばれることもあります。直接法を適用する場合、連続した下半連続性を示すことが通常最も難しい部分です。関数の一般的なクラスに関するいくつかの定理については以下を参照してください。

変分法における典型的な関数は、次の形式の積分である。

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$

ここで、は のサブセットであり、 は上の実数値関数です。 の引数は微分可能関数であり、そのヤコビアンは-ベクトルと同一視されます。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \nabla u(x)}$${\displaystyle mn}$

オイラー・ラグランジュ方程式を導く場合、一般的なアプローチは、が境界を持つと仮定し、 の定義域を とすることです。この空間は、最大ノルムを持つバナッハ空間ですが、反射的ではありません。直接法を適用する場合、汎関数は通常、を持つソボレフ空間上で定義されますが、これは反射的バナッハ空間です。の公式におけるの導関数は、弱導関数として取られる必要があります。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle C^{2}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle J}$

もう 1 つの一般的な関数空間は で、これはトレースがトレース演算子の像内の何らかの固定された関数である関数の のアフィン部分空間です。この制限により、いくつかの望ましい境界条件を満たす関数の最小化を見つけることができます。これは、ディリクレ境界条件でオイラー - ラグランジュ方程式を解くことに似ています。さらに、 には最小化が存在するが には存在しない設定もあります。境界上の値を制限しながら最小化問題を解くという考え方をさらに一般化するには、トレースが境界の一部でのみ固定され、残りの部分では任意である関数空間を調べる必要があります。 ${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle J}$${\displaystyle W_{g}^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

次のセクションでは、上記のタイプの関数の弱い順次下半連続性に関する定理を示します。

変分法における関数の多くは、

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$、

が開関数である場合、がで弱順次下半連続となる関数を特徴付ける定理は非常に重要です。 ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle J}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle p\geq 1}$

一般的には以下の通りである: ^[3]

が以下の特性を持つ関数である と仮定します。${\displaystyle F}$

1. この関数はカラテオドリ関数です。${\displaystyle F}$
2. ヘルダー共役の およびが存在し、ほぼすべてのおよびすべてのに対して次の不等式が成り立ちます。ここで、 はおよびのフロベニウス内積を表します。${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ ${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}$${\displaystyle \langle a(x),A\rangle }$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}$

関数がほぼすべてのおよびすべてのに対して凸である場合、${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$

その後は、徐々に弱く半連続的に低下します。${\displaystyle J}$

または次の逆定理が成り立つとき^[4]${\displaystyle n=1}$${\displaystyle m=1}$

が連続であり、次を満たすと 仮定する。${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

任意の に対して、および およびで増加し、 で局所的に積分可能な固定関数です。 が逐次的に弱下半連続である場合、任意の に対して関数は凸です。${\displaystyle (x,y,A)}$${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

結論として、またはのとき、関数 は、 上の妥当な成長と有界性を仮定すると、関数 が凸である場合に限り、弱順次下半連続になります。 ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle J}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$

しかし、凸であると仮定できない興味深いケースが数多くあります。次の定理^[5]は、より弱い凸性の概念を使用して、連続下半連続性を証明しています。 ${\displaystyle F}$

が以下の特性を持つ関数である と仮定します。${\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}$

1. この関数はカラテオドリ関数です。${\displaystyle F}$
2. 関数は、ある に対して -増加性を持ちます。任意の に対して となり、ほぼ任意の に対して となる定数が存在します。${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}$
3. 任意の およびほぼ任意の に対して、関数は準凸です。つまり、任意の に対して次の条件を満たす立方体が存在する:${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

$${\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}$$

の体積はどこですか？${\displaystyle |D|}$${\displaystyle D}$

すると、 は、 において順次弱く下側の半連続になります。${\displaystyle J}$${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$

この場合の逆定理は次のようになる: ^[6]

が連続であり、次を満たすと 仮定する。${\displaystyle F}$

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

任意の に対して であり、およびで増加し、 で局所的に積分可能な固定関数です。 が逐次的に弱下半連続である場合、任意の与えられた に対して関数は準凸です。 この主張は、両方が より大きい場合でも真であり、または のときの前の主張と一致します。その場合、準凸性は凸性と同等だからです。${\displaystyle (x,y,A)}$${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$${\displaystyle |y|}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J}$${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1}$

• ダコローニャ、ベルナール（1989）。変分法における直接法。シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-50491-5。
• フォンセカ、イレーネ、ジョヴァンニ・レオーニ（2007年）。変分法の現代的手法：空間${\displaystyle L^{p}}$。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-35784-3。
• Morrey, CB, Jr.: Multiple Integrals in the Calculus of Variations . Springer, 1966 (reprinted 2008), Berlin ISBN 978-3-540-69915-6 . 
• Jindřich Nečas:楕円方程式の理論における直接法。(1967年のフランス語原著からのA.KufnerとG.Tronelによる翻訳)、Springer、2012年、ISBN 978-3-642-10455-8。 
• T. Roubíček (2000)。「放物線問題に対する直接法」。Adv . Math. Sci. Appl . Vol. 10. pp. 57–65. MR  1769181。
• Acerbi Emilio、Fusco Nicola。「変分法における半連続性の問題」Archive for Rational Mechanics and Analysis 86.2 (1984): 125-145