条件付き期待値

確率論において、確率変数の条件付き期待値、条件付き期待平均とは、条件付き確率分布に関して評価された期待値のことです。確率変数が有限個の値しかとれない場合、「条件」とは、その変数がそれらの値のサブセットしかとれないということです。より厳密に言えば、確率変数が離散確率空間上で定義されている場合、「条件」とは、この確率空間の分割のことです。

文脈によっては、条件付き期待値は確率変数または関数のいずれかになります。確率変数は次のように表されます。 $E(X\mid Y)$ 条件付き確率と同様に。関数形式は次のように表されます。 $E(X\mid Y=y)$ または、次のような別の関数記号 $f(y)$ 意味を持って導入される $E(X\mid Y)=f(Y)$ 。

例

例１：サイコロを振る

公平なサイコロを振った場合を考え、出た目が偶数（2、4、6）の場合はA =1、それ以外の場合はA =0とする。さらに、出た目が素数（2、3、5）の場合はB =1、それ以外の場合はB =0とする。

Aの無条件期待値は $E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2$ しかし、 B = 1 を条件とするA の期待値(つまり、サイコロの目が 2、3、または 5 である場合) は $E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3$ 、そしてB = 0（つまり、サイコロの目が1、4、または6である場合）を条件としたAの期待値は $E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3$ 同様に、A = 1 を条件とした B の期待値は次のとおりです。 $E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3$ 、 A = 0を条件としたBの期待値は $E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3$ 。

例2：降雨量データ

1990年1月1日から1999年12月31日までの10年間（3652日間）の毎日、気象観測所によって収集された日降水量データ（1日あたりの降水量（mm））があるとします。特定されていない日の降水量の無条件期待値は、その3652日間の降水量の平均値です。 3月であることが分かっている（条件付きで）特定されていない日の降水量の条件付き期待値は、10年間のうち3月に該当する310日間の日降水量の平均値です。同様に、3月2日を条件とした降水量の条件付き期待値は、その特定の日付の10日間の降水量の平均値です。

歴史

条件付き確率の関連概念は、条件付き分布を計算したラプラスにまで遡ります。1933年にラドン・ニコディムの定理を用いてそれを形式化したのはアンドレイ・コルモゴロフでした。^[¹^] 1953年のポール・ハルモス^[²^]とジョセフ・L・ドゥーブ^[³^] の研究では、条件付き期待値は部分 σ 代数を用いて現代の定義に一般化されました。^[⁴^]

定義

イベントに基づく条件付け

$A$ がイベントである場合 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 非ゼロの確率で、 $X は$ 離散確率変数であり、 $A$ が与えられたときの $X$ の条件付き期待値は

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid A)&=\sum _{x}xP(X=x\mid A)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}\end{aligned}}

ここで、和は $X$ のすべての可能な結果について取られます。

もし $P(A)=0$ ゼロ除算のため、条件付き期待値は定義されません。

離散確率変数

$X$ と $Yが$ 離散確率変数である場合、 $Y$ が与えられたときの $X$ の条件付き期待値は次のようになる。

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\sum _{x}xP(X=x\mid Y=y)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}\end{aligned}}

どこ $P(X=x,Y=y)$ $これは、 X$ と $Y$ の同時確率質量関数です。総和は、 $X$ のすべての可能な結果について取られます。

上記のように、式が未定義となるのは、 $P(Y=y)=0$ 。

離散確率変数に基づく条件付けは、対応する事象に基づく条件付けと同じです。

\operatorname {E} (X\mid Y=y)=\operatorname {E} (X\mid A)

ここで $A$ は集合である $\{Y=y\}$ 。

連続確率変数

させて $X$ そして $Y$ 連続確率変数で、結合密度関数を持つ。 $f_{X,Y}(x,y),$ $Y$ の密度 $f_{Y}(y),$ 条件付き密度 $\textstyle f_{X\mid Y}(x\mid y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}$ の $X$ この出来事を考えると $Y=y.$ 条件付き期待値 $X$ 与えられた $Y=y$ は

{\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X\mid Y}(x\mid y)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{f_{Y}(y)}}\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}

分母がゼロの場合、式は定義されません。

連続確率変数による条件付けは、イベントによる条件付けとは異なります。 $\{Y=y\}$ 離散的な場合と同様です。詳細については、「確率ゼロの事象による条件付け」を参照してください。この区別を尊重しないと、ボレル・コルモゴロフのパラドックスに見られるように、矛盾した結論に至る可能性があります。

L ^{2 個の}確率変数

このセクションのすべての確率変数は $L^{2}$ つまり、二乗可積分である。一般性においては、条件付き期待値はこの仮定なしに展開される。以下の「部分σ 代数に関する条件付き期待値」を参照のこと。 $L^{2}$ しかし、理論はより直感的であると考えられており^{[ 5 ]}、重要な一般化を許容する。 $L^{2}$ 確率変数、条件付き期待値は回帰とも呼ばれます。

以下では $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 確率空間であり、 $X:\Omega \to \mathbb {R}$ で $L^{2}$ 平均 $\mu _{X}$ および分散 $\sigma _{X}^{2}$ 期待 $\mu _{X}$ 平均二乗誤差を最小化する：

\min _{x\in \mathbb {R} }\operatorname {E} \left((X-x)^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-\mu _{X})^{2}\right)=\sigma _{X}^{2}.

$X$ の条件付き期待値は、単一の数値の代わりに、同様に定義される。 $\mu _{X}$ 結果は関数になります $e_{X}(y)$ 。させて $Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ ランダムベクトルである。条件付き期待値 $e_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ は測定可能な関数であり、

\min _{g{\text{ measurable }}}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-e_{X}(Y))^{2}\right).

注意： $\mu _{X}$ 条件付き期待値 $e_{X}$ 一般的に一意ではない。平均二乗誤差を最小化する解は複数存在する可能性がある。

独自性

例 1 : $Y$ が常に 1 である定数確率変数である場合を考えます。この場合、平均二乗誤差は、次の形式の任意の関数によって最小化されます。

e_{X}(y)={\begin{cases}\mu _{X}&{\text{if }}y=1,\\{\text{any number}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

例２： $Y$ が２次元ランダムベクトルである場合を考える。 $(X,2X)$ すると明らかに

\operatorname {E} (X\mid Y)=X

しかし、関数の観点からは次のように表現できます。 $e_{X}(y_{1},y_{2})=3y_{1}-y_{2}$ または $e'_{X}(y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}$ あるいは、他にも無数の方法が存在する。線形回帰の文脈では、この一意性の欠如は多重共線性と呼ばれる。

条件付き期待値は、測度ゼロの集合を除いて一意である。 $\mathbb {R} ^{n}$ 使用される尺度は、 $Y$ によって誘導されるプッシュフォワード尺度です。

最初の例では、プッシュフォワード尺度は1におけるディラック分布です。2番目の例では、「対角線」に集中しています。 $\{y:y_{2}=2y_{1}\}$ そのため、それと交わらない任意の集合の測度は0になります。

存在

最小化器の存在 $\min _{g}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)$ は自明ではない。以下が示せる。

M:=\{g(Y):g{\text{ is measurable and }}\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}=L^{2}(\Omega ,\sigma (Y))

はヒルベルト空間の閉部分空間である。 $L^{2}(\Omega )$ [ ⁶^{]ヒルベルト}^射影定理により、必要十分条件は $e_{X}$ 最小化者であるということは、すべての $f(Y)$ $M$ では、

\langle X-e_{X}(Y),f(Y)\rangle =0.

言葉で言うと、この方程式は残差が $X-e_{X}(Y)$ $Y$ のすべての関数の空間 $M$ と直交する。この直交条件は、指示関数に適用される。 $f(Y)=1_{Y\in H}$ $以下では、 X$ と $Yが$ 必ずしもではない場合に条件付き期待を拡張するために、が使用されます。 $L^{2}$ 。

回帰との関連性

条件付き期待値は、解析的に計算するのが難しいため、また補間のために、応用数学や統計学では近似されることが多い。 ^{[ 7 ]}

ヒルベルト部分空間

M=\{g(Y):\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}

$上記で定義された関数は、任意の測定可能な関数を許容するのではなく、 g$ の関数形式を制限することによって、その部分集合に置き換えられます。その例としては、 $g が$ 単純な関数である必要がある場合の決定木回帰、 $g が$ アフィン関数である必要がある場合の線形回帰などがあります。

条件付き期待値のこれらの一般化は、その多くの性質がもはや成り立たなくなるという代償を伴います。たとえば、 $M を$ $Y$ のすべての線形関数の空間とし、 ${\mathcal {E}}_{M}$ この一般化された条件付き期待値を表す。 $L^{2}$ 投影。もし $M$ 定数関数、タワープロパティは含まれていません $\operatorname {E} ({\mathcal {E}}_{M}(X))=\operatorname {E} (X)$ 持ちこたえられないだろう。

重要な特殊ケースとして、 $X$ と $Y$ が同時に正規分布に従う場合が挙げられる。この場合、条件付き期待値は線形回帰と等価であることが示される。

e_{X}(Y)=\alpha _{0}+\sum _{i}\alpha _{i}Y_{i}

係数について $\{\alpha _{i}\}_{i=0..n}$ 多変量正規分布#条件付き分布で説明されています。

部分σ代数に関する条件付き期待値

**σ代数に関する条件付き期待値：**この例では確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ はルベーグ測度を持つ[0,1]区間です。以下のσ代数を定義します。 ${\mathcal {A}}={\mathcal {F}}$ ; ${\mathcal {B}}$ は、端点が 0、1 /4、1/2、3 / 4、1の区間によって生成さ*れるσ代数*であり、 ${\mathcal {C}}$ は、端点が 0、1/2、1 の区間によって生成される σ 代数です。ここで、条件付き期待値は、実質的にσ代数の最小集合の平均です。

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} — **σ代数に関する条件付き期待値：**この例では確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ はルベーグ測度を持つ[0,1]区間です。以下のσ代数を定義します。 ${\mathcal {A}}={\mathcal {F}}$ ; ${\mathcal {B}}$ は、端点が 0、1 /4、1/2、3 / 4、1の区間によって生成さ*れるσ代数*であり、 ${\mathcal {C}}$ は、端点が 0、1/2、1 の区間によって生成される σ 代数です。ここで、条件付き期待値は、実質的にσ代数の最小集合の平均です。

次の点を考慮してください。

$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ は確率空間である。
$X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ は、その確率空間上の有限期待値を持つ確率変数である。
${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}$ はのサブσ代数である ${\mathcal {F}}$ 。

以来 ${\mathcal {H}}$ サブ $\sigma$ -代数の ${\mathcal {F}}$ 関数 $X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ 通常はそうではない ${\mathcal {H}}$ 測定可能、したがって次の形式の積分が存在する ${\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}$ 、どこ $H\in {\mathcal {H}}$ そして $P|_{\mathcal {H}}$ 制限は $P$ に ${\mathcal {H}}$ 一般的には言えません。しかし、局所的な平均値は ${\textstyle \int _{H}X\,dP}$ 回復可能 $(\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})$ 条件付き期待値の助けを借りて。

A conditional expectation of X given ${\mathcal {H}}$ , denoted as $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ , is any ${\mathcal {H}}$ -measurable function $\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ which satisfies:

\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P

for each $H\in {\mathcal {H}}$ .^[8]

As noted in the $L^{2}$ discussion, this condition is equivalent to saying that the residual $X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ is orthogonal to the indicator functions $1_{H}$ :

\langle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}),1_{H}\rangle =0

Existence

The existence of $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ can be established by noting that ${\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}$ for $F\in {\mathcal {F}}$ is a finite measure on $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ that is absolutely continuous with respect to $P$ . If $h$ is the natural injection from ${\mathcal {H}}$ to ${\mathcal {F}}$ , then $\mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}$ is the restriction of $\mu ^{X}$ to ${\mathcal {H}}$ and $P\circ h=P|_{\mathcal {H}}$ is the restriction of $P$ to ${\mathcal {H}}$ . Furthermore, $\mu ^{X}\circ h$ is absolutely continuous with respect to $P\circ h$ , because the condition

P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0

implies

\mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.

Thus, we have

\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},

where the derivatives are Radon–Nikodym derivatives of measures.

Conditional expectation with respect to a random variable

Consider, in addition to the above,

A measurable space $(U,\Sigma )$ , and
A random variable $Y\colon \Omega \to U$ .

The conditional expectation of $X$ given $Y$ is defined by applying the above construction on the σ-algebra generated by $Y$ :

\operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)].

By the Doob–Dynkin lemma, there exists a measurable function $e_{X}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ such that

\operatorname {E} [X\mid Y]=e_{X}(Y).

Discussion

This is not a constructive definition; we are merely given the required property that a conditional expectation must satisfy.
- The definition of $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ may resemble that of $\operatorname {E} (X\mid H)$ for an event $H$ but these are very different objects. The former is a ${\mathcal {H}}$ -measurable function $\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ , while the latter is an element of $\mathbb {R} ^{n}$ and $\operatorname {E} (X\mid H)\ P(H)=\int _{H}X\,\mathrm {d} P=\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P$ for $H\in {\mathcal {H}}$ .
- Uniqueness can be shown to be almost sure: that is, versions of the same conditional expectation will only differ on a set of probability zero.
  - Often, one would like to think of $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ as a measure on $\Omega$ for fixed H. For example, it is extremely useful to claim that $\sum _{i}\operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})$ is additive for almost all H. However, this does not immediately follow because each $\operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})$ may have a different null set. Because countable unions of null sets are null sets, for a countable set of $X_{i}$ , one can choose "versions" of each $\operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})$ with aligned null sets as to maintain additivity for almost all H. However, to align the "null sets of dysfunction" of $\operatorname {E} (X_{i}\mid {\mathcal {H}})$ over all possible $X_{i}$ , and thus treat $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}=H)$ as an almost surely unique measure over $\Omega$ (a "regular probability measure"), we need further regularity conditions. Intuitively, to do this, we need to be able to approximate all possible $X_{i}$ with a countable set of them. This directly corresponds to the conditions for creating a regular probability measure, which are separability and completeness.
The σ-algebra ${\mathcal {H}}$ controls the "granularity" of the conditioning. A conditional expectation $E(X\mid {\mathcal {H}})$ より細かい（より大きな）σ代数において ${\mathcal {H}}$ より広範な事象の確率に関する情報を保持する。より粗い（より小さな）σ代数における条件付き期待値は、より多くの事象について平均をとる。

条件付き確率

ボレル部分集合 $B$ に対して ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ ランダム変数の集合を考えることができる

\kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,B):=\operatorname {E} (1_{X\in B}|{\mathcal {H}})(\omega ).

それらはマルコフ核を形成することが示されており、すなわちほとんどすべての $\omega$ 、 $\kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,-)$ は確率尺度である。^{[ 9 ]}

無意識の統計学者の法則は

\operatorname {E} [f(X)\mid {\mathcal {H}}]=\int f(x)\kappa _{\mathcal {H}}(-,\mathrm {d} x),

これは、条件付き期待値が、無条件期待値と同様に、条件付き尺度に対する積分であることを示している。

一般的な定義

一般的に言えば、以下を考慮してください。

確率空間 $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ 。
バナッハ空間 $(E,\|\cdot \|_{E})$ 。
ボフナー積分可能な確率変数 $X:\Omega \to E$ 。
部分σ代数 ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {A}}$ 。

条件付き期待値 $X$ 与えられた ${\mathcal {H}}$ 最大で $P$ -nullセットはユニークで統合可能 $E$ 値 ${\mathcal {H}}$ 測定可能な確率変数 $\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ 満足

\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P

すべての人々のために $H\in {\mathcal {H}}$ [ ¹⁰^]^[¹¹^]

この設定では、条件付き期待値は演算子表記で次のように表されることもあります。 $\operatorname {E} ^{\mathcal {H}}X$ 。

基本特性

以下のすべての公式は、ほぼ確実な意味で理解されるべきである。

独立変数を抽出する：
- もし $X$ 独立している ${\mathcal {H}}$ 、それから $E(X\mid {\mathcal {H}})=E(X)$ 。

証拠

させて $B\in {\mathcal {H}}$ 。それから $X$ 独立している $1_{B}$ だから、私たちは

\int _{B}X\,dP=E(X1_{B})=E(X)E(1_{B})=E(X)P(B)=\int _{B}E(X)\,dP.

したがって、定数確率変数は条件付き期待値の定義を満たす。 $E(X)$ ご希望に応じて。 $\square$

- もし $X$ 独立している $\sigma (Y,{\mathcal {H}})$ 、それから $E(XY\mid {\mathcal {H}})=E(X)\,E(Y\mid {\mathcal {H}})$ ただし、必ずしもそうとは限りません。 $X$ は ${\mathcal {H}}$ そして $Y$ 。
- もし $X,Y$ 独立している、 ${\mathcal {G}},{\mathcal {H}}$ 独立している、 $X$ 独立している ${\mathcal {H}}$ そして $Y$ 独立している ${\mathcal {G}}$ 、それから $E(E(XY\mid {\mathcal {G}})\mid {\mathcal {H}})=E(X)E(Y)=E(E(XY\mid {\mathcal {H}})\mid {\mathcal {G}})$ 。
安定性：
- もし $X$ は ${\mathcal {H}}$ 測定可能であれば、 $E(X\mid {\mathcal {H}})=X$ 。

証拠

各 $H\in {\mathcal {H}}$ 我々は持っています $\int _{H}E(X\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}X\,dP$ または同等に

\int _{H}{\big (}E(X\mid {\mathcal {H}})-X{\big )}\,dP=0

これはそれぞれに当てはまるので $H\in {\mathcal {H}}$ 、そして両方とも $E(X\mid {\mathcal {H}})$ そして $X$ は ${\mathcal {H}}$ -測定可能（前者の性質は定義により成り立つ。後者の性質がここでは重要）これから、

\int _{H}{\big |}E(X\mid {\mathcal {H}})-X{\big |}\,dP=0

そしてこれは、 $E(X\mid {\mathcal {H}})=X$ ほぼどこでも。 $\square$

- 特に、部分σ代数の場合 ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ 我々は持っています $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})\mid {\mathcal {H}}_{2})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})$ （注：これは下記のタワー物件とは異なります。）
- Zが確率変数である場合、 $\operatorname {E} (f(Z)\mid Z)=f(Z)$ 最も単純な形で言えば、これは $\operatorname {E} (Z\mid Z)=Z$ 。
既知の要因を抽出する：
- もし $X$ は ${\mathcal {H}}$ 測定可能であれば、 $E(XY\mid {\mathcal {H}})=X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})$ 。

証拠

ここでのすべての確率変数は、一般性を失うことなく非負であると仮定します。一般の場合については、次のように扱うことができます。 $X=X^{+}-X^{-}$ 。

修理 $A\in {\mathcal {H}}$ そして $X=1_{A}$ すると、任意の $H\in {\mathcal {H}}$

\int _{H}E(1_{A}Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}1_{A}Y\,dP=\int _{A\cap H}Y\,dP=\int _{A\cap H}E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}1_{A}E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP

したがって $E(1_{A}Y\mid {\mathcal {H}})=1_{A}E(Y\mid {\mathcal {H}})$ ほぼどこでも。

任意の単純関数は、指示関数の有限線形結合である。線形性により、上記の性質は単純関数に対して成り立つ。 $X_{n}$ 単純な関数である場合 $E(X_{n}Y\mid {\mathcal {H}})=X_{n}\,E(Y\mid {\mathcal {H}})$ 。

さあ $X$ なれ ${\mathcal {H}}$ 測定可能である。すると、一連の単純な関数が存在する。 $\{X_{n}\}_{n\geq 1}$ 単調に収束する（ここでは、 $X_{n}\leq X_{n+1}$ ）そしてポイントごとに $X$ したがって、 $Y\geq 0$ シーケンス $\{X_{n}Y\}_{n\geq 1}$ 単調かつ点ごとに収束し、 $XY$ 。

また、 $E(Y\mid {\mathcal {H}})\geq 0$ シーケンス $\{X_{n}E(Y\mid {\mathcal {H}})\}_{n\geq 1}$ 単調かつ点ごとに収束し、 $X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})$

単純関数について証明された特殊なケース、条件付き期待値の定義、および単調収束定理の適用を組み合わせると、次のようになります。

\int _{H}X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}\,E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}E(Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}E(X_{n}Y\mid {\mathcal {H}})\,dP=\lim _{n\to \infty }\int _{H}X_{n}Y\,dP=\int _{H}\lim _{n\to \infty }X_{n}Y\,dP=\int _{H}XY\,dP=\int _{H}E(XY\mid {\mathcal {H}})\,dP

これはすべての人に当てはまります $H\in {\mathcal {H}}$ そこから $X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})=E(XY\mid {\mathcal {H}})$ ほぼどこでも。 $\square$

- Zが確率変数である場合、 $\operatorname {E} (f(Z)Y\mid Z)=f(Z)\operatorname {E} (Y\mid Z)$ 。
全期待値の法則： $E(E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X)$ [ ¹²^]
タワー物件：
- 部分σ代数の場合 ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$ 我々は持っています $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})$ $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})$ 。
  - 特別なケース ${\mathcal {H}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}$ 総期待の法則を回復する： $E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2}))=E(X)$ 。
  - 特別なケースは、Zが ${\mathcal {H}}$ 測定可能な確率変数。 $\sigma (Z)\subset {\mathcal {H}}$ そしてこうして $E(E(X\mid {\mathcal {H}})\mid Z)=E(X\mid Z)$ 。
  - Doob マーチンゲール特性: 上記と $Z=E(X\mid {\mathcal {H}})$ （それは ${\mathcal {H}}$ -測定可能）、また使用する $\operatorname {E} (Z\mid Z)=Z$ 与える $E(X\mid E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X\mid {\mathcal {H}})$ 。
- 確率変数について $X,Y$ 我々は持っています $E(E(X\mid Y)\mid f(Y))=E(X\mid f(Y))$ 。
- 確率変数について $X,Y,Z$ 我々は持っています $E(E(X\mid Y,Z)\mid Y)=E(X\mid Y)$ 。
線形性: $E(X_{1}+X_{2}\mid {\mathcal {H}})=E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})+E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})$ そして $E(aX\mid {\mathcal {H}})=a\,E(X\mid {\mathcal {H}})$ のために $a\in \mathbb {R}$ 。
ポジティブ：もし $X\geq 0$ それから $E(X\mid {\mathcal {H}})\geq 0$ 。
単調性: $X_{1}\leq X_{2}$ それから $E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})\leq E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})$ 。
単調収束: $0\leq X_{n}\uparrow X$ それから $E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\uparrow E(X\mid {\mathcal {H}})$ 。
支配的収束: もし $X_{n}\to X$ そして $|X_{n}|\leq Y$ と $Y\in L^{1}$ 、それから $E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\to E(X\mid {\mathcal {H}})$ 。
ファトゥの補題：もし $\textstyle E(\inf _{n}X_{n}\mid {\mathcal {H}})>-\infty$ それから $\textstyle E(\liminf _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {H}})\leq \liminf _{n\to \infty }E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})$ 。
ジェンセンの不等式：もし $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ は凸関数である。 $f(E(X\mid {\mathcal {H}}))\leq E(f(X)\mid {\mathcal {H}})$ 。
条件付き分散: 条件付き期待値を使用すると、平均からの平均二乗偏差としての分散の定義に類似して、条件付き分散を定義できます。
- 意味： $\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))^{2}\mid {\mathcal {H}}{\bigr )}$
- 分散の代数式： $\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} (X^{2}\mid {\mathcal {H}})-{\bigl (}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}){\bigr )}^{2}$
- 全分散の法則： $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}}))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))$ 。
マルチンゲール収束：確率変数の場合 $X$ 有限の期待値を持つもの、 $E(X\mid {\mathcal {H}}_{n})\to E(X\mid {\mathcal {H}})$ どちらか ${\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset \dotsb$ は部分σ代数の増加系列であり、 $\textstyle {\mathcal {H}}=\sigma (\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n})$ またはもし ${\mathcal {H}}_{1}\supset {\mathcal {H}}_{2}\supset \dotsb$ は部分σ代数の減少系列であり、 $\textstyle {\mathcal {H}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}$ 。
条件付き期待値として $L^{2}$ $\displaystyle L^{2}}$ -投影: もし $X,Y$ $X,Y$ が二乗可積分な実確率変数（二乗モーメントが有限な実確率変数）のヒルベルト空間にある場合、
- のために ${\mathcal {H}}$ 測定可能 $Y$ 、我々は持っています $E(Y(X-E(X\mid {\mathcal {H}})))=0$ すなわち、条件付き期待値 $E(X\mid {\mathcal {H}})$ L ² ( P )スカラー積の意味では、直交射影は $X$ 線形部分空間へ ${\mathcal {H}}$ 可測関数。（これにより、ヒルベルト射影定理に基づいて条件付き期待値の存在を定義し、証明することができる。）
- マッピング $X\mapsto \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$ 自己共役である： $\operatorname {E} (X\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}}))=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}})\right)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})Y)$
条件付けはLp ^空間の縮小射影である $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\rightarrow L^{p}(\Omega ,{\mathcal {H}},P)$ つまり、 $\operatorname {E} {\big (}|\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})|^{p}{\big )}\leq \operatorname {E} {\big (}|X|^{p}{\big )}$ 任意のp ≥ 1に対して。
ドゥーブの条件付き独立性プロパティ: ^{[ 13 ]}もし $X,Y$ 条件付き独立である $Z$ 、それから $P(X\in B\mid Y,Z)=P(X\in B\mid Z)$ （同等に、 $E(1_{\{X\in B\}}\mid Y,Z)=E(1_{\{X\in B\}}\mid Z)$ )

注記

↑
コルモゴロフ、アンドレイ(1933)。Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (ドイツ語)。ベルリン：ユリウス・シュプリンガー。 p. 46.
- 翻訳：コルモゴロフ、アンドレイ（1956）。確率論の基礎（第2版）。ニューヨーク：チェルシー。53ページ。ISBN 0-8284-0023-72018年9月14日にオリジナルからアーカイブされました。 2009年3月14日に取得。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
↑ Oxtoby, JC (1953). "Review: Measure theory , by PR Halmos" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 59 (1): 89– 91. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09662-8 .
↑ JL Doob (1953).確率過程. John Wiley & Sons . ISBN 0-471-52369-0。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
↑オラフ・カレンバーグ：現代確率論の基礎。第2版。シュプリンガー、ニューヨーク、2002年、 ISBN 0-387-95313-2、573ページ。
↑ 「確率 - 条件付き期待値の背後にある直感」。Mathematics Stack Exchange。
↑ブロックウェル、ピーター・J. (1991).時系列：理論と方法（第2版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-1-4419-0320-4。
↑ハスティ、トレバー（2009年8月26日）。統計的学習の要素：データマイニング、推論、予測（PDF）（第2版、第7刷）。ニューヨーク。ISBN 978-0-387-84858-7。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
↑ビリングスリー、パトリック（1995）。「第34節条件付き期待値」。確率と測度（第3版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p . 445。ISBN 0-471-00710-2。
↑クレンケ、アヒム（2013年8月30日）。確率論：総合コース（第2版）。ロンドン。ISBN 978-1-4471-5361-0。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)
↑ Da Prato, Giuseppe; Zabczyk, Jerzy (2014). Stochastic Equations in Infinite Dimensions . Cambridge University Press. p. 26. doi : 10.1017/CBO9781107295513 . ISBN 978-1-107-05584-1。（可分バナッハ空間における定義）
↑ハイトーネン、トゥオーマス。ヤン・ファン・ニールフェン。ヴェラール、マーク。ヴァイス、ルッツ（2016）。バナッハ空間での分析、第 1 巻: マーチンゲールとリトルウッド-ペイリー理論。スプリンガー・チャム。土井：10.1007/978-3-319-48520-1。ISBN 978-3-319-48519-5。（一般的なバナッハ空間における定義）
↑ 「条件付き期待値」。www.statlect.com。2020年9月11日取得。
↑カレンベルク、オラフ (2001)。現代確率の基礎(第 2版)。米国ペンシルバニア州ヨーク：スプリンガー。 p. 110.ISBN 0-387-95313-2。

参考文献

ウィリアム・フェラー著『確率論とその応用入門』第1巻、1950年、223ページ
ポール・A・マイヤー著『確率と可能性』、ブレイスデル出版、1966年、28ページ
グリメット、ジェフリー；スターザカー、デイビッド（2001）。確率とランダム過程（第3 版）。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-857222-0。67～69ページ

外部リンク

ウシャコフ、NG（2001）[1994]、「条件付き数学的期待値」、数学百科事典、EMS Press

[kol1933-1] コルモゴロフ、アンドレイ(1933)。Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (ドイツ語)。ベルリン：ユリウス・シュプリンガー。 p. 46.
翻訳：コルモゴロフ、アンドレイ（1956）。確率論の基礎（第2版）。ニューヨーク：チェルシー。53ページ。ISBN 0-8284-0023-72018年9月14日にオリジナルからアーカイブされました。 2009年3月14日に取得。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[mwAvc] 翻訳：コルモゴロフ、アンドレイ（1956）。確率論の基礎（第2版）。ニューヨーク：チェルシー。53ページ。ISBN 0-8284-0023-72018年9月14日にオリジナルからアーカイブされました。 2009年3月14日に取得。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[halmos1950-2] Oxtoby, JC (1953). "Review: Measure theory , by PR Halmos" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 59 (1): 89– 91. doi : 10.1090/s0002-9904-1953-09662-8 .

[doob1953-3] JL Doob (1953).確率過程. John Wiley & Sons . ISBN 0-471-52369-0。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[4] オラフ・カレンバーグ：現代確率論の基礎。第2版。シュプリンガー、ニューヨーク、2002年、 ISBN 0-387-95313-2、573ページ。

[5] 「確率 - 条件付き期待値の背後にある直感」。Mathematics Stack Exchange。

[6] ブロックウェル、ピーター・J. (1991).時系列：理論と方法（第2版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 978-1-4419-0320-4。

[7] ハスティ、トレバー（2009年8月26日）。統計的学習の要素：データマイニング、推論、予測（PDF）（第2版、第7刷）。ニューヨーク。ISBN 978-0-387-84858-7。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)

[billingsley1995-8] ビリングスリー、パトリック（1995）。「第34節条件付き期待値」。確率と測度（第3版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p . 445。ISBN 0-471-00710-2。

[9] クレンケ、アヒム（2013年8月30日）。確率論：総合コース（第2版）。ロンドン。ISBN 978-1-4471-5361-0。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)

[10] Da Prato, Giuseppe; Zabczyk, Jerzy (2014). Stochastic Equations in Infinite Dimensions . Cambridge University Press. p. 26. doi : 10.1017/CBO9781107295513 . ISBN 978-1-107-05584-1。（可分バナッハ空間における定義）

[11] ハイトーネン、トゥオーマス。ヤン・ファン・ニールフェン。ヴェラール、マーク。ヴァイス、ルッツ（2016）。バナッハ空間での分析、第 1 巻: マーチンゲールとリトルウッド-ペイリー理論。スプリンガー・チャム。土井：10.1007/978-3-319-48520-1。ISBN 978-3-319-48519-5。（一般的なバナッハ空間における定義）

[12] 「条件付き期待値」。www.statlect.com。2020年9月11日取得。

[13] カレンベルク、オラフ (2001)。現代確率の基礎(第 2版)。米国ペンシルバニア州ヨーク：スプリンガー。 p. 110.ISBN 0-387-95313-2。

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条件付き期待値

例

例１：サイコロを振る

例2：降雨量データ

歴史

定義

イベントに基づく条件付け

離散確率変数

連続確率変数

L ^{2 個の}確率変数

独自性

存在

回帰との関連性

部分σ代数に関する条件付き期待値

Existence

Conditional expectation with respect to a random variable

Discussion

条件付き確率

一般的な定義

基本特性

関連項目

確率法則

注記

参考文献

外部リンク

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例

例１：サイコロを振る

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歴史

定義

イベントに基づく条件付け

離散確率変数

連続確率変数

L 2 個の確率変数

独自性

存在

回帰との関連性

部分σ代数に関する条件付き期待値

Existence

Conditional expectation with respect to a random variable

Discussion

条件付き確率

一般的な定義

基本特性

関連項目

確率法則

注記

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