半直線形

数学において、セスキリニア形式は複素ベクトル空間の内積の一般化であり、最も一般的なセスキリニア形式です。双線形形式は各引数に関して線形ですが、セスキリニア形式では引数の1つを半線形的に「ねじる」ことができるため、この名前が付けられました。この名前は、ラテン語の数詞接頭 辞sesqui-（「1.5」を意味する）に由来します。内積の基本概念（ 2つのベクトルからスカラーを生成する）は、より広い範囲のスカラー値を許容し、おそらく同時にベクトルの定義を広げることによって一般化できます。

動機付けとなる特殊なケースとして、複素ベクトル空間V $上$ の半双線形形式があります。これは、一方の引数に関して線形であり、もう一方の引数の線形性を複素共役によって「ねじる」（もう一方の引数に関して反線形である）写像 $V \times V \to C$ です。このケースは、数理物理学の応用において自然に現れます。もう 1 つの重要なケースでは、スカラーが任意の体から来ることができ、ねじれは体の自己同型によって提供されます。

射影幾何学の応用では、スカラーが除法環（斜体） $Kから得られる必要があり、これは「ベクトル」を$ $K$ 加群の要素に置き換える必要があることを意味します。非常に一般的な設定では、任意の環 $R$ に対して、 $R$ 加群上でセスキリニア形式を定義できます。

非公式な紹介

セスキリニア形式は、複素ベクトル空間上のエルミート形式の基本概念を抽象化し、一般化したものです。エルミート形式は、複素ヒルベルト空間上の内積として物理学でよく見られます。このような場合、 $C$ $n$ 上の標準エルミート形式は次のように与えられます。

\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.

どこ ${\overline {w}}_{i}$ は、の複素共役を表します。 $w_{i}~.$ $この積は、 C n$ の正規直交基底、あるいは基底を全く使用しない状況にも一般化できる。 $i$ 積にを代入すると、以下でより正確に定義される歪エルミート形式が得られます。定義を複素数に限定する特別な理由はなく、反自己同型を持つ任意の環に対して定義できます。反自己同型とは、非公式には、環の「複素共役」の一般化された概念として理解されます。

大会

どちらの引数を線形にするかについては、慣例が異なります。可換の場合、複素ベクトル空間上の半双線形形式に関するセクションを除き、数学文献で一般的に行われているように、最初の引数を線形とします。そのセクションでは、別の慣例を使用し、最初の引数を共役線形（つまり反線形）とし、2番目の引数を線形とします。これは主に物理学者が使用する慣例であり^{[ 1 ]}、量子力学におけるディラックのブラケット記法に由来します。また、通常の（ユークリッド）積の定義とも一致しています。 $w,z\in \mathbb {C} ^{n}$ として $w^{*}z$ 。

より一般的な非可換な設定では、右加群の場合は第2引数を線形とし、左加群の場合は第1引数を線形とする。

複素ベクトル空間

前提：このセクションでは、1重線形形式は、最初の引数に関して反線形であり、2番目の引数に関して線形であるとします。

複素ベクトル空間上 $V$ 地図 $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ がセスキリニアである場合

{\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}

すべての人々のために $x,y,z,w\in V$ そしてすべて $a,b\in \mathbb {C} .$ ここ、 ${\overline {a}}$ はスカラーの複素共役である $a.$

複雑なセスキリニア形式は、複雑なバイリニアマップとしても見なすことができる。 $\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$ どこ ${\overline {V}}$ 複素共役ベクトル空間は $V.$ テンソル積の普遍性により、これらは複素線形写像と1対1に対応する。 ${\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .$

固定の場合 $z\in V$ 地図 $w\mapsto \varphi (z,w)$ は線形汎関数である $V$ （つまり双対空間の要素） $\displaystyle V^{*}}$ )同様に、地図 $w\mapsto \varphi (w,z)$ は共役線形汎関数である $V.$

任意の複雑な双線形形式が与えられた場合 $\varphi$ の上 $V$ 第二の複素半線形形式を定義できます $\psi$ 共役転置を介して： $\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.$ 一般的に、 $\psi$ そして $\varphi$ 異なるでしょう。同じであれば $\varphi$ はエルミートであると言われている。もしそれらが互いに負であるならば、 $\varphi$ は歪エルミートであると言われます。すべての12次元形式は、エルミート形式と歪エルミート形式の和として表すことができます。

行列表現

もし $V$ 有限次元複素ベクトル空間である場合、任意の基底に対して $\left\{e_{i}\right\}_{i}$ の $V,$ 半双線形形式は行列で表されます $A,$ そして、 $\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }アズ。$ どこ $w^{\dagger }$ は共役転置です。行列の成分は $A$ は $A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).$

エルミット形

エルミート形式という用語は、以下で説明する概念とは異なる概念を指す場合もあります。それは、エルミート多様体上の特定の微分形式を指す場合もあります。

複素エルミート形式（対称セスキリニア形式とも呼ばれる）はセスキリニア形式である。 $h:V\times V\to \mathbb {C}$ そのため $h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.$ 標準エルミート形式 $\mathbb {C} ^{n}$ （ここでも、第2変数の線形性と第1変数の共役線形性という「物理学」の慣例を用いる）は次のように与えられる。 $\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.$ より一般的に言えば、任意の複素ヒルベルト空間上の内積はエルミート形式である。

エルミート形式にマイナス符号が導入される $ww^{*}-zz^{*}$ グループSU(1,1)を定義する。

エルミート形式を持つベクトル空間 $(V,h)$ エルミート空間と呼ばれる。

複素エルミート形式の行列表現はエルミート行列である。

単一のベクトルに適用される複素エルミート形式 $|z|_{h}=h(z,z)$ は常に実数である。複素半双線形形式がエルミートであることは、対応する二次形式がすべてのに対して実数である場合に限ることが示される。 $z\in V.$

歪エルミート形式

複素歪エルミート形式（反対称セスキリニア形式とも呼ばれる）は、複素セスキリニア形式である。 $s:V\times V\to \mathbb {C}$ そのため $s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.$ すべての複素歪エルミート形式は虚数単位として表すことができる $i:={\sqrt {-1}}$ エルミート形式を何回も繰り返す。

複素歪エルミート形式の行列表現は、歪エルミート行列である。

単一のベクトルに適用される複素歪エルミート形式 $|z|_{s}=s(z,z)$ は常に純虚数である。

分割リングの上

このセクションは、除法環 $K$ が可換環である場合にもそのまま適用されます。その場合、より具体的な用語も適用されます。除法環は体であり、反自己同型も自己同型であり、右加群はベクトル空間です。以下は、式の適切な並べ替えによって左加群にも適用されます。

意味

右 $K$ 加群 $M上の$ $σ$ 半双線形形式は、可除環 $K$ の反自己同型 $σ$ を伴う双加法写像 $φ$ $:$ $M$ $\times$ $M$ $\to$ $Kであり、$ $M$ のすべての $x$ $、$ $y$ および $K$ のすべての $α$ $、$ $β$ に対して、

\varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .

任意の非ゼロ半双線形形式 $φ$ に対する関連する反自己同型 $σは、$ $φ$ によって一意に決定される。

直交性

加群 $M$ 上の半双線形形式 $φと、$ $M$ の部分空間 (部分加群) $W$ が与えられたとき、 $φ$ に関する $W$ の直交補空間は次のようになる。

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}。

同様に、 $φ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0のとき、$ $x \in M$ は $φ$ に関して $y$ $\in$ $M$ と直交し、 $x$ $⊥$ $φ$ $y$ と表記されます (または、文脈から $φ が$ 推測できる場合は単に $x$ $⊥ y と表記されます$ $)$ 。この関係は対称である必要はありません。つまり、 $x$ $⊥$ $y は$ $y$ $⊥$ $x$ を意味しません(ただし、以下の§反射性を参照してください)。

反省性

半双線形形式φ $は$ 、 $M$ のすべての $x$ $、$ $y$ に対して、

\varphi (x,y)=0

暗示する

\varphi (y,x)=0.

つまり、1/2線形形式が反射的であるのは、導出された直交関係が対称である場合に限る。

エルミート変分

σ-セスキリニア形式 $φは$ $、$ $M$ のすべての $x$ $、$ $yに対して、$ $εが$ $K$ に存在する場合、 $($ $σ$ $、$ $ε$ $)$ -エルミートと呼ばれます。

\varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .

$ε = 1$ の場合、その形式は $σ$ -エルミート形式と呼ばれ、 $ε = -1の場合、$ $σ$ -反エルミート形式と呼ばれます。（ $σ$ が暗黙的に示されている場合は、それぞれ単にエルミート形式または反エルミート形式と呼ばれます。）

非ゼロの $(σ, ε) -エルミート形式の場合、$ $K$ のすべての $α$ に対して、

\sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}

\sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.

また、 $φ (x, x)$ は写像 $α$ $\mapsto$ $σ$ $($ $α$ $)$ $ε$ の不動点であることも導かれる。この写像の不動点は $K$ の加法群の部分群を形成する。

( $σ$ $,$ $ε$ $)$ - エルミート形式は再帰的であり、すべての再帰的 $σ$ $- セスキリニア形式は、$ 一部の $ε$ $については($ $σ$ $,$ $ε$ $)$ - エルミート形式です。^[²^]^[³^]^[⁴^]^[⁵^]

$σ$ が恒等写像(すなわち $σ = id$ )である特別な場合、 $K$ は可換であり、 $φ は$ 双線形形式であり、 $ε 2 = 1$ である。このとき、 $ε = 1の場合、双線形形式は$ 対称と呼ばれ、 $ε = -1の場合、$ 歪対称と呼ばれる。^{[ 6 ]}

例

$V を$ 有限体 $F = GF(q 2)$ 上の 3 次元ベクトル空間とする。ここで $q$ は素数のべき乗である。標準基底に関して、 $x = (x 1, x 2, x 3)$ および $y = (y 1, y 2, y 3)$ と書き、写像 $φ$ を次のように定義する。

\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.

写像 $σ : t \mapsto t q$ $はF$ の対合的自己同型写像である。写像 $φは$ $σ-$ 半双線形形式である。この形式に関連付けられた行列 $M$ $φ$ は単位行列である。これはエルミート形式である。

射影幾何学において

前提：このセクションでは、セスキリニア形式は、2 番目の引数（または 1 番目の引数）に関して反線形（または線形）であるとします。

射影幾何学 $G$ において、包含関係を反転させる部分空間の置換 $δとは、$

S \subseteq T \Rightarrow T δ \subseteq S δ

がG

のすべての部分空間

S

、

T

に対して成り立つ。

は相関と呼ばれます。Birkhoffとvon Neumann（1936）^[⁷^]の結果は、 desarguesian射影幾何学の相関が、基礎となるベクトル空間上の非退化セスキリニア形式に対応することを示しています。 ^[⁵^]セスキリニア形式 $φは、$ $φ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0が$ $V$ のすべての $y$ に対して(かつ) $x$ $= 0$ の場合に限り非退化です。

この記述の完全な一般性を実現するために、またすべてのデサルグ射影幾何学は分割環によって座標化できるため、ラインホルト・ベアは半双線形形式の定義を分割環に拡張し、ベクトル空間を $R$ 加群に置き換えることを必要とした。^{[ 8 ]} (幾何学文献では、これらは依然として斜体上の左ベクトル空間または右ベクトル空間と呼ばれている。) ^{[ 9 ]}

任意の環上で

上記の節を斜体に限定したのは、射影幾何学への応用によるものであり、双線形形式の本質的な性質によるものではありません。乗法の非可換性を考慮するために必要なわずかな修正を加えるだけで、定義の任意の体版を任意の環に一般化することができます。

$R を$ 環、V $を$ R $加$ 群、 σ $を$ $R$ の反自己同型とする。

写像 $φ : V \times V \to R$ は、以下の条件を満たす場合に $σ-$ 双線形である。

\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)

\varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)

$V$ のすべての $x 、 y 、 z 、 w$ と $R$ のすべての $c$ $、$ $d$ について。

要素 $x は、半双線形形式$ $φ$ に関して別の要素 $y$ と直交している（ $x$ $⊥$ $y$ と表記）のは、 $φ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0 の$ 場合である。この関係は対称である必要はなく、つまり $x$ $⊥$ $y は$ $y$ $⊥$ $x$ を意味しない。

半双線形形式 $φ : V \times V \to R$ は、 $φ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0が$ $V$ のすべての x , y に対して $φ$ $($ $y$ $,$ $x$ $)$ $=$ $0$ $を$ 意味する場合、反射的(または直交対称的)である。

半双線形形式 $φ : V \times V \to R$ は、次の条件を満たす $σ$ が存在する場合にエルミートである^[¹⁰^]^:³²⁵

\varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))

$V$ のすべての $x 、 y$ に対して。エルミート形式は必然的に反射的であり、ゼロでない場合、関連する反自己同型 $σ$ は対合(つまり、位数 2)です。

$反自己同型写像 σ$ に対して、すべての $s$ $,$ $t$ ∈ $Rについて$ $σ (st) = σ (t) σ (s)$ が成り立つので、 $σ$ $= id$ の場合、 $R は$ 可換でなければならず、 $φ$ は双線形形式である。特に、この場合、 $R$ が斜体であれば、 $R$ は体であり、 $V は$ 双線形形式を持つベクトル空間である。

反自己同型 $σ : R \to R は$ 、同型 $R \to R op$ と見なすこともできます。ここで、 $R op は$ $R$ の反対の環であり、同じ基礎集合と加算を持ちますが、その乗算演算 ( $* ) は$ $a$ $*$ $b$ $=$ $ba$ で定義され、右側の積は $R$ の積です。このことから、右 (左) $R$ 加群 $V は$ 左 (右) $R$ $op$ 加群 $V$ $o$ に変換できることがわかります。^[¹¹^]したがって、半双線形形式 $φ$ $:$ $V$ $\times$ $V$ $\to$ $R は双線形形式$ $φ$ $'$ $:$ $V$ $\times$ $V$ $o$ $\to$ $R$ と見なすことができます。

注記

↑アンソニー・ナップ著『基礎代数学』（2007年）255ページ、脚注1
↑「組み合わせ論」、NATO先端研究機関会議議事録、オランダ、ブルークレン、ナイエンローデ城にて1974年7月8日～20日開催、D. ライデル：456～ 457、1975年–
↑数学百科事典のセスキリニア形式
↑シメオン・ボール（2015）『有限幾何学と組合せ論的応用』ケンブリッジ大学出版局、 28ページ –
1 2デンボウスキー 1968 、p.42
↑ $char$ $K$ $= 2$ の場合 $、 1 = -1$ となるため、歪対称双線形形式と対称双線形形式は一致します。すべての場合において、交代双線形形式は歪対称双線形形式の部分集合であり、個別に考慮する必要はありません。
↑ Birkhoff, G.; von Neumann, J. (1936), "量子力学の論理", Annals of Mathematics , 37 (4): 823–843 , doi : 10.2307/1968621 , JSTOR 1968621
↑ベア、ラインホルト (2005) [1952]、『線形代数と射影幾何学』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44565-6
↑ベアの用語はこれらの考えを指す第三の方法を示しているので、彼の記述は注意深く読む必要がある。
↑フォール、クロード＝アラン；フローリッヒャー、アルフレッド（2000）、『現代射影幾何学』、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ
↑ジェイコブソン 2009 、p. 164

参考文献

Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8MR 0233275
Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Linear Geometry (第2 版), Springer, ISBN 0-387-90227-9
ジェイコブソン、ネイサン・J. (2009) [1985]、基礎代数学I（第2 版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1

外部リンク

「セスキリニア形式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[1] アンソニー・ナップ著『基礎代数学』（2007年）255ページ、脚注1

[2] 「組み合わせ論」、NATO先端研究機関会議議事録、オランダ、ブルークレン、ナイエンローデ城にて1974年7月8日～20日開催、D. ライデル：456～ 457、1975年–

[3] 数学百科事典のセスキリニア形式

[4] シメオン・ボール（2015）『有限幾何学と組合せ論的応用』ケンブリッジ大学出版局、 28ページ –

[Demb42-5] 1 2デンボウスキー 1968 、p.42

[6] $char$ $K$ $= 2$ の場合 $、 1 = -1$ となるため、歪対称双線形形式と対称双線形形式は一致します。すべての場合において、交代双線形形式は歪対称双線形形式の部分集合であり、個別に考慮する必要はありません。

[7] Birkhoff, G.; von Neumann, J. (1936), "量子力学の論理", Annals of Mathematics , 37 (4): 823–843 , doi : 10.2307/1968621 , JSTOR 1968621

[8] ベア、ラインホルト (2005) [1952]、『線形代数と射影幾何学』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44565-6

[9] ベアの用語はこれらの考えを指す第三の方法を示しているので、彼の記述は注意深く読む必要がある。

[10] フォール、クロード＝アラン；フローリッヒャー、アルフレッド（2000）、『現代射影幾何学』、クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ

[11] ジェイコブソン 2009 、p. 164

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半直線形

非公式な紹介

大会

複素ベクトル空間

行列表現

エルミット形

歪エルミート形式

分割リングの上

意味

直交性

反省性

エルミート変分

例

射影幾何学において

任意の環上で

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

数学

複素ベクトル空間

内積

線形ですが、セスキリニア形式では引数の1つを