意味 定義 1. ユニタリ作用素 とは、ヒルベルト空間H上の 有界線形作用素 U : H → Hであって、 U * U = UU * = I U *は U の随伴 作用素であり、I : H → H は恒等 作用素である。
より弱い条件U * U = I は等長 写像 UU * = I は余等長写像 を定義します。したがって、ユニタリ作用素は、等長写像と余等長写像の両方である有界線形作用素です[ 1 ] 全射等長写像です [ 2 ]
同等の定義は以下のとおりです。
定義2. ユニタリ作用素 とは、ヒルベルト空間H 上の有界線形作用素U : H → H
U は全射で あり、U は ヒルベルト空間Hの 内積を 保存します。言い換えれば、H のすべてのベクトル x とy に対して、次の関係が成り立ちます。 ⟨ U x 、 U y ⟩ H = ⟨ x 、 y ⟩ H 。 {\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.} この定義において定義域と値域が異なることを許容すれば、ヒルベルト空間の圏 における同型性の概念が捉えられる。等長変換はコーシー列を 保存する。したがって、ヒルベルト空間の完備 性は保存される[ 3 ]。
一見すると弱い定義に見える以下の定義も、同等である。
定義3. ユニタリ作用素 とは、ヒルベルト空間H 上の有界線形作用素U : H → H
U の範囲はH で密で あり、U はヒルベルト空間 H の内積を保存します。言い換えれば、H のすべてのベクトルx とy に対して、次の関係が成り立ちます。 ⟨ U x 、 U y ⟩ H = ⟨ x 、 y ⟩ H 。 {\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H}=\langle x,y\rangle _{H}.} 定義 1 と 3 が同等であることを確認するには、U が 内積を保存することから、 Uは 等長写像 (したがって、有界線形作用素 ) であることに注意してください。Uが 稠密な像を持つという事実は、U −1 が有界逆作用素であることを保証します。U −1 = U で あること は
したがって、ユニタリ演算子はヒルベルト空間の自己同型写像 であり、作用する空間の構造（ベクトル空間構造、内積、したがって位相）を保存します。与えられたヒルベルト空間 H からそれ自身へのすべてのユニタリ演算子の群は、 H のヒルベルト群 と呼ばれることがあり、Hilb( H ) またはU ( H ) と表記されます。
線形性 ユニタリ演算子の定義における線形性の要件は、意味を変えることなく削除できる。なぜなら、それはスカラー積の線形性と正定値性から導き出すことができる から である 。
‖ λ U （ x ） − U （ λ x ） ‖ 2 = ⟨ λ U （ x ） − U （ λ x ） 、 λ U （ x ） − U （ λ x ） ⟩ = ‖ λ U （ x ） ‖ 2 + ‖ U （ λ x ） ‖ 2 − ⟨ U （ λ x ） 、 λ U （ x ） ⟩ − ⟨ λ U （ x ） 、 U （ λ x ） ⟩ = | λ | 2 ‖ U （ x ） ‖ 2 + ‖ U （ λ x ） ‖ 2 − λ ¯ ⟨ U （ λ x ） 、 U （ x ） ⟩ − λ ⟨ U （ x ） 、 U （ λ x ） ⟩ = | λ | 2 ‖ x ‖ 2 + ‖ λ x ‖ 2 − λ ¯ ⟨ λ x 、 x ⟩ − λ ⟨ x 、 λ x ⟩ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\ラムダx),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{整列}}} 同様にして、
‖ U （ x + y ） − （ U x + U y ） ‖ = 0. {\displaystyle \|U(x+y)-(Ux+Uy)\|=0.}
物件 ユニタリ演算子U のスペクトルは単位 円 上にあります。つまり、スペクトル内の任意の複素数λに対して、 | λ | = 1となります。これは、 正規演算子 のスペクトル定理 の結果と見なすことができます。この定理により、U は ある有限測度空間 ( X , μ )に対して、 L2 ( μ ) 上のボレル可測関数 f による乗算とユニタリ同値です。ここで、UU * = I は | f ( x )| 2 = 1 、μ -aeを意味します。これは、 f の本質的な値域、したがってU のスペクトルが単位 線形写像は、全射かつ等長である場合にユニタリ写像と呼ばれる。（偏極恒等式 を用いて、条件を満たす場合のみを示す。）
参考文献 ロバート・S・ドーラン ;ベルフィ、ビクター A. (1986)。C*-代数の特徴付け: ゲルファント・ナイマルクの定理 。ニューヨーク：マーセル・デッカー。ISBN 0-8247-7569-4 。ハルモス、ポール （1982）。ヒルベルト空間問題集 。大学院数学テキスト。第 19巻（第2 版）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0387906850 。ラング、セルジュ （1972）。微分多様体 。マサチューセッツ州レディング– ロンドン– オンタリオ州ドンミルズ：アディソン・ウェスリー出版株式会社。ISBN 978-0387961132 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|\lambda U(x)-U(\lambda x)\|^{2}&=\langle \lambda U(x)-U(\lambda x),\lambda U(x)-U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=\|\lambda U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-\langle U(\lambda x),\lambda U(x)\rangle -\langle \lambda U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|U(x)\|^{2}+\|U(\lambda x)\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle U(\ラムダx),U(x)\rangle -\lambda \langle U(x),U(\lambda x)\rangle \\[5pt]&=|\lambda |^{2}\|x\|^{2}+\|\lambda x\|^{2}-{\overline {\lambda }}\langle \lambda x,x\rangle -\lambda \langle x,\lambda x\rangle \\[5pt]&=0\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434949b4b08d1dfdb6c2cca9c6d3bb9da264f0a5)
