ベルイマン空間

複素解析、関数解析、作用素論において、ベルクマン空間（Bergman space）は、シュテファン・ベルクマンにちなんで名付けられ、複素平面の領域D内の正則関数の関数空間であり、境界において十分良好な挙動を示し、絶対積分可能である。具体的には、0 < p < ∞の場合、ベルクマン空間A ^p ( D )は、 pノルムが有限であるD内のすべての正則関数の空間である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\right)^{1/p}}$

量は関数fのノルムと呼ばれ、のとき真のノルムです。したがって、A ^p ( D ) は空間L ^p ( D )に含まれる正則関数の部分空間です。 ベルクマン空間はバナッハ空間であり、これは推定の結果であり、Dのコンパクト部分集合K上で有効です。 ${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}}$${\displaystyle p\geq 1}$

したがって、 L ^p ( D )における正則関数の列の収束はコンパクト収束も意味し、したがって極限関数も正則です。

p = 2の場合、A ^p ( D ) は再生核ヒルベルト空間であり、その核はベルクマン核によって与えられます。

領域Dが有界である場合、ノルムは次のように表されることが多いです。

${\displaystyle \|f\|_{A^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(z)|^{p}\,dA\right)^{1/p}\;\;\;\;(f\in A^{p}(D)),}$

ここで は複素平面の正規化されたルベーグ測度、すなわちdA = dz /Area( D )です。あるいは、Dの面積に関係なく、dA = dz / πが使用されます。ベルクマン空間は通常、複素平面の開単位円上に定義され、その場合は です。ヒルベルト空間の場合、 とすると、次の式が得られます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle A^{p}(\mathbb {D} ):=A^{p}}$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\in A^{2}}$

${\displaystyle \|f\|_{A^{2}}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{2}\,dz=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|^{2}}{n+1}},}$

つまり、A ^{2 は}重み付きℓ ^p (1/( n  + 1)) 空間と等長的に同型です。^[1]特に、多項式はA ²で稠密です。同様に、右（または上）複素半平面D = ₊の場合、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \|F\|_{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}^{2}:={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|F(z)|^{2}\,dz=\int _{0}^{\infty }|f(t)|^{2}{\frac {dt}{t}},}$

ここで、A ² ( ₊ ) は重み付きL ^p _{1/ t} (0,∞) 空間に等長同型である（ラプラス変換を介して）。^{[2] [3]}${\displaystyle F(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

重み付きベルグマン空間A ^p ( D )も同様に定義される。^[1]すなわち、

${\displaystyle \|f\|_{A_{w}^{p}(D)}:=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{2}\,w(x+iy)\,dx\,dy\right)^{1/p},}$

ただし、w  : D → [0, ∞)がバナッハ空間（またはp = 2の場合はヒルベルト空間）となるように選択されるものとする。 の場合、重み付きベルクマン空間^{[4]とは、以下の条件を満たすすべての解析関数}fの空間を意味する。 ${\displaystyle A_{w}^{p}(D)}$${\displaystyle D=\mathbb {D} }$${\displaystyle A_{\alpha }^{p}}$

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{p}}:=\left((\alpha +1)\int _{\mathbb {D} }|f(z)|^{p}\,(1-|z|^{2})^{\alpha }dA(z)\right)^{1/p}<\infty ,}$

同様に右半平面（すなわち）上では次式が得られる：^[5]${\displaystyle A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}$

${\displaystyle \|f\|_{A_{\alpha }^{p}(\mathbb {C} _{+})}:=\left({\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} _{+}}|f(x+iy)|^{p}x^{\alpha }\,dx\,dy\right)^{1/p},}$

そしてこの空間はラプラス変換により空間と等長同型である。^{[6] [7]}ここで: ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+},\,d\mu _{\alpha })}$

${\displaystyle d\mu _{\alpha }:={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{2^{\alpha }t^{\alpha +1}}}\,dt}$

(ここでΓ はガンマ関数を示します)。

さらなる一般化が時々考慮され、例えば、閉じた右複素半平面上の平行移動不変な正の正則ボレル測度に関する重み付きベルクマン空間（しばしば禅空間^[3]と呼ばれる）を表します。つまり、 ${\displaystyle A_{\nu }^{2}}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} _{+}}}}$

${\displaystyle A_{\nu }^{p}:=\left\{f:\mathbb {C} _{+}\longrightarrow \mathbb {C} {\text{ analytic}}\;:\;\|f\|_{A_{\nu }^{p}}:=\left(\sup _{\varepsilon >0}\int _{\overline {\mathbb {C} _{+}}}|f(z+\varepsilon )|^{p}\,d\nu (z)\right)^{1/p}<\infty \right\}.}$

点A2の再生核は次のように与えられる: ^{[ 1]}${\displaystyle k_{z}^{A^{2}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {D} }$

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}}(\zeta )={\frac {1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {D} ),}$

同様に、我々は次のように述べている。^[5]${\displaystyle A^{2}(\mathbb {C} _{+})}$

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {1}{({\overline {z}}+\zeta )^{2}}}\;\;\;\;\;(\zeta \in \mathbb {C} _{+}),}$

一般に、領域を領域に等角写像する場合、次の式が成り立ちます。^[1]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle D}$

${\displaystyle k_{z}^{A^{2}(\Omega )}(\zeta )=k_{\varphi (z)}^{{\mathcal {A}}^{2}(D)}(\varphi (\zeta ))\,{\overline {\varphi '(z)}}\varphi '(\zeta )\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \Omega ).}$

加重の場合は次のようになる: ^[4]

${\displaystyle k_{z}^{A_{\alpha }^{2}}(\zeta )={\frac {\alpha +1}{(1-{\overline {z}}\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {D} ),}$

そして：^[5]

${\displaystyle k_{z}^{A_{\alpha }^{2}(\mathbb {C} _{+})}(\zeta )={\frac {2^{\alpha }(\alpha +1)}{({\overline {z}}+\zeta )^{\alpha +2}}}\;\;\;\;\;(z,\zeta \in \mathbb {C} _{+}).}$

• バーグマン、ステファン（1970）、カーネル関数と等角写像、数学サーベイ、第5巻（第2版）、アメリカ数学会
• ヘデンマルム、H.コレンブルム、B. Zhu, K. (2000)、ベルイマン空間理論、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-98791-0
• リヒター、ステファン (2001) [1994]、「ベルクマン空間」、数学百科事典、EMS プレス。

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