射影テンソル積

数学の一分野である関数解析において、 2 つの局所凸位相ベクトル空間の射影テンソル積は、そのテンソル積上の自然な位相ベクトル空間構造です。つまり、局所凸位相ベクトル空間 と が与えられた場合、上の射影位相 、または π-位相 は、(からへの)標準写像が連続するような局所凸位相ベクトル空間を作成する最も強い位相です。この位相を備える場合、は と表され、との射影テンソル積と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle (x,y)\mapsto x\otimes y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

とを局所凸位相ベクトル空間とする。それらの射影テンソル積は、以下の普遍的性質を持つ基底ベクトル空間を持つ唯一の局所凸位相ベクトル空間である: ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$

任意の局所凸位相ベクトル空間 に対して、 が双線型写像のベクトル空間から線型写像のベクトル空間への標準写像である場合、 の連続双線型写像への制限の像は連続線型写像の空間です。${\displaystyle Z}$${\displaystyle \Phi_{Z}}$${\displaystyle X\times Y\to Z}$${\displaystyle X\otimes Y\to Z}$${\displaystyle \Phi_{Z}}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to Z}$

およびの位相が半ノルムによって誘導される場合、 の位相はおよび上の半ノルムから次のように構成される半ノルムによって誘導されます。が 上の半ノルムで、 が上の半ノルムである場合、それらのテンソル積を内の すべての に対してによって与えられる 上 の半ノルム と定義します。ここで は集合のバランスされた凸包です。上の射影位相は、および上の半ノルムのこのようなテンソル積のコレクションによって生成されます。 ^{[2] [1]}および がノルム空間である 場合、この定義をおよび上のノルムに適用すると、 上の射影ノルムと呼ばれるノルムが得られ、これが射影位相を生成します。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p\otimes q}$${\displaystyle X\otimes Y}$$${\displaystyle (p\otimes q)(b)=\inf _{r>0,\,b\in rW}r}$$${\displaystyle b}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \left\{x\otimes y:p(x)\leq 1,q(y)\leq 1\right\}}$${\displaystyle X\otimes Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes Y}$

全体を通して、すべての空間は局所的に凸であると仮定されます。 記号は、との射影テンソル積の完備化を表します。 ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• と が両方ともハウスドルフ空間であればもハウスドルフ空間である。^[3]と がフレシェ空間であれば はバレル空間である。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$
• 任意の2つの連続線型作用素とに対して、それらのテンソル積（線型写像として）は連続である。^[5]${\displaystyle u_{1}:X_{1}\to Y_{1}}$${\displaystyle u_{2}:X_{2}\to Y_{2}}$${\displaystyle u_{1}\otimes u_{2}:X_{1}\otimes _{\pi }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\pi }Y_{2}}$
• 一般に、射影テンソル積は部分空間を尊重しない（例えば、が のベクトル部分空間である場合、TVS は一般に から継承された部分空間位相よりも粗い位相を持つ）。^[6]${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$
• およびがそれぞれおよびの補部分空間である場合、はの補ベクトル部分空間であり、上の射影ノルムは部分空間 に制限された上の射影ノルムと同値である。さらに、およびがノルム 1 の射影によって補われる場合、はノルム 1 の射影によって補われる。^[6]${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle E\otimes F}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle E\otimes _{\pi }F}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle E\otimes F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E\otimes F}$
• およびをそれぞれバナッハ空間およびのベクトル部分空間とする。このとき、がの TVS 部分空間となるのは、 上のすべての有界双線型形式が同じノルムを持つ上の連続双線型形式に拡張される場合に限ります。^[7]${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E{\widehat {\otimes }}F}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle E\times F}$${\displaystyle X\times Y}$

一般に、空間 は、たとえと が両方とも完備であっても完備ではありません（実際、と が両方とも無限次元バナッハ空間である場合、 は必然的に完備ではありません^[8]）。しかし、 は常に、ある完全な局所凸 TVS の稠密ベクトル部分空間として線型に埋め込むことができ、これは一般に と表記されます。 ${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$

の連続双対空間はの連続双対空間、すなわち連続双線型形式の空間と同じである。^[9]${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}$${\displaystyle B(X,Y)}$

ハウスドルフ局所凸空間において、上の任意の連続半ノルムに対して、上の数列が絶対収束する場合、^[10]の部分和の数列が^[10]に収束する場合と書く。${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty }$${\displaystyle p}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}}$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$

位相テンソル積の理論における以下の基本的な結果はアレクサンダー・グロタンディークによるものである。^[11]

次の定理は、シーケンスと独立に表現することが可能であることを示しています。${\displaystyle z}$${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.}$

および をそれぞれおよびのすべての有界部分集合の族を表すものとします。 の連続双対空間は連続双線型形式の空間であるため、の集合上の一様収束の位相を に置くことができます。この位相はの強位相よりも粗く、 および の強位相よりも粗いものです(Grothendieck 1955)。Alexander Grothendieck は、これら 2 つの位相が同一である場合に に興味を持っていました。これは、次の問題と同等です。有界部分集合が与えられた場合、の閉じた凸包の部分集合となるような有界部分集合およびは存在しますか? ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$${\displaystyle B(X,Y),}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{X}\times {\mathfrak {B}}_{Y},}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle B\subseteq X{\widehat {\otimes }}Y,}$${\displaystyle B_{1}\subseteq X}$${\displaystyle B_{2}\subseteq Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{1}\otimes B_{2}:=\{b_{1}\otimes b_{2}:b_{1}\in B_{1},b_{2}\in B_{2}\}}$

グロタンディークは、とが両方ともバナッハ空間であるか、両方ともDF空間（グロタンディークによって導入された空間のクラス^[13] ）である場合に、これらの位相が等しいことを証明しました。また、両方の空間のうちの1つが核であるフレシェ空間の場合にも、それらは等しいです。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

を局所凸位相ベクトル空間とし、をその連続双対空間とします。アレクサンダー・グロタンディークは、特定の状況における強双対と強双対を次のように特徴付けました。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$

• 測度空間について、 は実ルベーグ空間とし、 は実バナッハ空間 とします。は、関数 として考えられた点ごとのノルムがについて積分を持つ関数の部分空間を法とする単純関数 の空間の完備化とします。このとき、 はと等長同型です。^[15]${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle L_{E}^{1}}$${\displaystyle X\to E}$${\displaystyle X\to E}$${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle L_{E}^{1}}$${\displaystyle L^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }E}$

• 帰納的テンソル積 – 位相ベクトル空間上の二項演算Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 入射テンソル積
• ヒルベルト空間のテンソル積 – 特別な内積を備えたテンソル積空間
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成

• ライアン、レイモンド (2002)。バナッハ空間のテンソル積入門。ロンドン、ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

• ディーステル、ジョー (2008)。テンソル積の計量理論：グロタンディークの要約の再考。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC  185095773.
• グロタンディーク、アレクサンダー(1955)。「位相テンソル積と核空間」。アメリカ数学会誌シリーズ(フランス語)。16 。プロビデンス: アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-1216-7. MR  0075539. OCLC  1315788.
• グロタンディーク、グロタンディーク (1966)。Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (フランス語)。プロビデンス: アメリカ数学協会。ISBN 0-8218-1216-5. OCLC  1315788.
• ピエチュ、アルブレヒト (1972)。核の局所的に凸状の空間。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-05644-0. OCLC  539541.
• ウォン (1979)。シュワルツ空間、核空間、テンソル積。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158.

• ncatlab の核空間