背景 有限個の項を加算する場合、加算は 結合法則 と交換法則の 両方を満たします。つまり、グループ化や並べ替えによって最終的な合計は変わりません。例えば、（ 1 + 2 ） + 3 {\displaystyle (1+2)+3} 1 + （ 2 + 3 ） {\displaystyle 1+(2+3)} （ 3 + 2 ） + 1 {\displaystyle (3+2)+1} 交代調和級数が挙げられる。
S = ∑ n = 1 ∞ （ − 1 ） n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ {\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }
その項は符号が交互に変わる分数である。この級数は収束し 、関数のマクローリン級数 を用いて評価することができる。ln （ 1 + x ） {\displaystyle \ln(1+x)} x {\displaystyle x} − 1 < x ≤ 1 {\displaystyle -1<x\leq 1}
ln （ 1 + x ） = ∑ n = 1 ∞ （ − 1 ） n + 1 x n n = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }
代入x = 1 {\displaystyle x=1} ln 2 {\displaystyle \ln 2}
S = （ 1 − 1 2 ） − 1 4 + （ 1 3 − 1 6 ） − 1 8 + （ 1 5 − 1 10 ） − 1 12 + ⋯ {\displaystyle S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots }
この並べ替えでは、各奇数の 逆数 はその値の2倍の逆数とグループ化され、4の倍数の各逆数は個別に評価されます。ただし、括弧内の項を評価すると、
S = 1 2 − 1 4 + 1 6 − 1 8 + 1 10 − 1 12 + ⋯ {\displaystyle S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots }
または元の数列の半分。加法の結合法則と交換法則の違反は、交代調和級数が条件付き収束する ことを示している。実際、各項の絶対値の和は1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots } 調和級数 。リーマン級数の定理 によれば、条件収束する級数は、和が任意の有限の実数になるように、あるいは発散するように並べ替えることができる。絶対収束する級数を並べ替えても、その和は常に保たれる。
実数と複素数の定義 実数または複素数の和∑ n = 0 ∞ 1 n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} ∑ n = 0 ∞ | 1 n | {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|} 収束する 。
収束との関係 もしG {\displaystyle G} 完了してい ますd 、 {\displaystyle d,}
特に、任意のバナッハ空間 に値をとる級数については、絶対収束は収束を意味する。逆もまた真である。ノルム空間において絶対収束が収束を意味するならば、その空間はバナッハ空間である。
級数が収束するが絶対収束しない場合、条件収束 と呼ばれます。条件収束級数の例としては、交代調和級数 があります。発散と収束に関する多くの標準的なテスト、特に比率テスト と根テストは 、絶対収束を示します。これは、べき級数が 収束円盤の内部で絶対収束するためです。[ a ]
再配置と無条件収束
実数と複素数 実数または複素数の数列が絶対収束する場合、その数列の項をどのように並べ替えたり、順序を変えたりしても、収束する値は変わりません。この事実は、絶対収束する数列が有用である理由の一つです。数列が絶対収束することを示すことで、項を都合の良いように組み合わせたり、並べ替えたりしても、和の値は変わりません。
リーマンの項の並べ替え定理は 、その逆もまた真であることを示している。すなわち、項の順序を変えても異なる値にならない実数級数または複素数級数は、絶対収束する。
より一般的な空間における係数を持つ級数 無条件収束 という用語は、項の並べ替えをしても常に同じ値に収束する級数を指すために用いられます。ノルムアーベル群に値をとる任意の級数について、G {\displaystyle G} G {\displaystyle G}
より正式に言うと：
より一般的な係数を持つ級数の場合、逆はより複雑になります。前のセクションで述べたように、実数値級数と複素数値級数では、無条件収束は常に絶対収束を意味します。しかし、任意のノルムアーベル群に値をとる級数のより一般的な場合では、G {\displaystyle G}
例えば、バナッハ空間 ℓ ∞ において、無条件収束するが絶対収束しない級数の例としては、次のものがある。 ∑ n = 1 ∞ 1 n e n 、 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n},}
どこ{ e n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }} . ドヴォレツキー とC. A. ロジャース の定理によれば、すべての無限次元バナッハ空間には絶対収束しない無条件収束級数が存在する。[ 4 ]
定理の証明 いかなる場合でもε > 0 、 {\displaystyle \varepsilon >0,} κ ε 、 λ ε ∈ N 、 {\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,} すべての人々のために N > κ ε ∑ n = N ∞ ‖ 1 n ‖ < ε 2 すべての人々のために N > λ ε ‖ ∑ n = 1 N 1 n − A ‖ < ε 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ for all }}N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\{\text{ for all }}N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}
させて N ε = 最大 { κ ε 、 λ ε } M σ 、 ε = 最大 { σ − 1 （ { 1 、 … 、 N ε } ） } {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}} σ − 1 （ { 1 、 … 、 N ε } ） = { σ − 1 （ 1 ） 、 … 、 σ − 1 （ N ε ） } {\displaystyle \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)=\left\{\sigma ^{-1}(1),\ldots ,\sigma ^{-1}\left(N_{\varepsilon }\right)\right\}} M σ 、 ε {\displaystyle M_{\sigma ,\varepsilon }} 1 σ （ 1 ） 、 … 、 1 σ （ M σ 、 ε ） {\displaystyle a_{\sigma (1)},\ldots ,a_{\sigma \left(M_{\sigma ,\varepsilon }\right)}} 1 1 、 … 、 1 N ε {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{N_{\varepsilon }}}
最後に任意の整数 に対してN > M σ 、 ε {\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }} 私 σ 、 ε = { 1 、 … 、 N } ∖ σ − 1 （ { 1 、 … 、 N ε } ） S σ 、 ε = ミニ σ （ 私 σ 、 ε ） = ミニ { σ （ k ） : k ∈ 私 σ 、 ε } L σ 、 ε = 最大 σ （ 私 σ 、 ε ） = 最大 { σ （ k ） : k ∈ 私 σ 、 ε } {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\ldots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \sigma \left(I_{\sigma ,\varepsilon }\right)=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\\end{aligned}}} ‖ ∑ 私 ∈ 私 σ 、 ε 1 σ （ 私 ） ‖ ≤ ∑ 私 ∈ 私 σ 、 ε ‖ 1 σ （ 私 ） ‖ ≤ ∑ j = S σ 、 ε L σ 、 ε ‖ 1 j ‖ 以来 σ （ 私 σ 、 ε ） ⊆ { S σ 、 ε 、 S σ 、 ε + 1 、 … 、 L σ 、 ε } ≤ ∑ j = N ε + 1 ∞ ‖ 1 j ‖ 以来 S σ 、 ε ≥ N ε + 1 < ε 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|&\leq \sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}\sigma (I_{\sigma ,\varepsilon })\subseteq \left\{S_{\sigma ,\varepsilon },S_{\sigma ,\varepsilon }+1,\ldots ,L_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\&\leq \sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&{\text{ since }}S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}} ‖ ∑ 私 = 1 N 1 σ （ 私 ） − A ‖ = ‖ ∑ 私 ∈ σ − 1 （ { 1 、 … 、 N ε } ） 1 σ （ 私 ） − A + ∑ 私 ∈ 私 σ 、 ε 1 σ （ 私 ） ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε 1 j − A ‖ + ‖ ∑ 私 ∈ 私 σ 、 ε 1 σ （ 私 ） ‖ < ‖ ∑ j = 1 N ε 1 j − A ‖ + ε 2 < ε {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&<\left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+{\frac {\varepsilon }{2}}\\&<\varepsilon \end{aligned}}}
これは、 すべての人々のために ε > 0 、 存在する M σ 、 ε 、 すべての人々のために N > M σ 、 ε ‖ ∑ 私 = 1 N 1 σ （ 私 ） − A ‖ < ε 、 {\displaystyle {\text{ for all }}\varepsilon >0,{\text{ there exists }}M_{\sigma ,\varepsilon },{\text{ for all }}N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,} ∑ 私 = 1 ∞ 1 σ （ 私 ） = A 。 {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}
証明終了
シリーズ製品 2 つの級数のコーシー積は、 少なくとも一方の級数が絶対収束する場合、それらの和の積に収束します。つまり、 ∑ n = 0 ∞ 1 n = A そして ∑ n = 0 ∞ b n = B 。 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A\quad {\text{ and }}\quad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B.}
コーシー積は項の和として定義されるc n {\displaystyle c_{n}} c n = ∑ k = 0 n 1 k b n − k 。 {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}
どちらか が1 n {\displaystyle a_{n}} b n {\displaystyle b_{n}} ∑ n = 0 ∞ c n = A B 。 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}
集合上の絶対収束 級数の絶対収束の一般化として、集合上の関数の和の絶対収束がある。まず、可算集合を考えてみよう。X {\displaystyle X} f : X → R 。 {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} .} f {\displaystyle f} X 、 {\displaystyle X,} ∑ x ∈ X f （ x ） 。 {\textstyle \sum _{x\in X}f(x).}
まず、特定の列挙（または「インデックス付け」）がないため、X {\displaystyle X} ∑ x ∈ X f （ x ） {\textstyle \sum _{x\in X}f(x)} X {\displaystyle X} f 、 {\displaystyle f,} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X}
したがって、我々は定義する∑ x ∈ X f （ x ） {\textstyle \sum _{x\in X}f(x)} g : Z + → X {\displaystyle g:\mathbb {Z} ^{+}\to X} ∑ n = 1 ∞ f （ g （ n ） ） {\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))} はf {\displaystyle f} X {\displaystyle X} [ 5 ] ∑ x ∈ X f （ x ） := ∑ n = 1 ∞ f （ g （ n ） ） {\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{n=1}^{\infty }f(g(n))}
級数は絶対収束するため、すべての並べ替えは異なる全単射の選択と同一であることに注意してください。g 。 {\displaystyle g.} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X}
さらに一般的には、f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
させてX {\displaystyle X} f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } 。f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} 場合 すする { ∑ x ∈ A | f （ x ） | : A ⊆ X 、 A 有限である } < ∞ 。 {\displaystyle \sup \left\{\sum _{x\in A}|f(x)|:A\subseteq X,A{\text{ is finite }}\right\}<\infty .}
合計がf {\displaystyle f} X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} X {\displaystyle X} ∑ x ∈ X f （ x ） := ∑ x ∈ X : f （ x ） ≠ 0 f （ x ） 。 {\displaystyle \sum _{x\in X}f(x):=\sum _{x\in X:f(x)\neq 0}f(x).}
最後の数列は、可算集合 上の数列の定義を使用していることに注意してください。
一部の著者は反復和を定義する∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ 1 m 、 n {\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}} ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ | 1 m 、 n | < ∞ 。 {\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }|a_{m,n}|<\infty .} [ 6 ] ∑ （ m 、 n ） ∈ N × N 1 m 、 n 。 {\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}.} f {\displaystyle f} X 、 {\displaystyle X,} ∑ （ m 、 n ） ∈ N × N 1 m 、 n 、 {\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n},} ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ 1 m 、 n {\textstyle \sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{m,n}}
積分の絶対収束 積分 ∫ A f （ x ） d x {\textstyle \int _{A}f(x)\,dx} 絶対収束すると言われます。 ∫ A | f （ x ） | d x < ∞ 。 {\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .} f {\displaystyle f} は絶対的に積分可能で ある。絶対積分可能性の問題は複雑であり、リーマン積分 、ルベーグ積分 、またはクルツヴァイル・ヘンストック （ゲージ）積分のどれを考慮するかによって異なる。リーマン積分の場合、積分可能性を本来の意味でのみ考慮するかどうかにも依存する（f {\displaystyle f} A {\displaystyle A} 有界である ）、またはより一般的な広義積分の場合を許容する。
リーマン積分の標準的な性質として、A = [ 1 、 b ] {\displaystyle A=[a,b]} 区間 であり、すべての連続関数 は有界かつ（リーマン）積分可能であり、f {\displaystyle f} | f | {\displaystyle |f|} g ∘ f {\displaystyle g\circ f} [ 1 、 b ] {\displaystyle [a,b]} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} | f | = | ⋅ | ∘ f {\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f} f {\displaystyle f} f : [ 1 、 ∞ ） → R : x ↦ 罪 x x {\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}} ∫ 1 ∞ 罪 x x d x = 1 2 [ π − 2 S 私 （ 1 ） ] ≈ 0.62 、 しかし ∫ 1 ∞ | 罪 x x | d x = ∞ 。 {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ but }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .} ∑ n = 0 ∞ 1 n {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} ステップ関数を考慮に入れることができる f 1 : [ 0 、 ∞ ） → R {\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R} } f 1 （ [ n 、 n + 1 ） ） = 1 n 。 {\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.} ∫ 0 ∞ f 1 d x {\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx} ∑ n = 0 ∞ 1 n 。 {\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}
ルベーグ積分では状況が異なり、積分領域が有界と非有界を別々に扱うことはありません（下記参照 ）。| f | {\displaystyle |f|} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} 測定可能 である、f {\displaystyle f} | f | {\displaystyle |f|} f {\displaystyle f} [ 1 、 b ] {\displaystyle [a,b]} S ⊂ [ 1 、 b ] {\displaystyle S\subset [a,b]} 部分 集合であり、f = χ S − 1 / 2 、 {\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,} χ S {\displaystyle \chi _{S}} 、 S 。 {\displaystyle S.} f {\displaystyle f} | f | ≡ 1 / 2 {\displaystyle |f|\equiv 1/2}
一方、関数f {\displaystyle f} | f | {\displaystyle |f|}
一般的に、任意の測度空間において A 、 {\displaystyle A,}
f {\displaystyle f} | f | {\displaystyle |f|} f {\displaystyle f} | f | {\displaystyle |f|} f {\displaystyle f} これらは本質的にルベーグ積分の定義に組み込まれています。特に、集合 上の計数測度にこの理論を適用すると、 S 、 {\displaystyle S,} S = N {\displaystyle S=\mathbb {N} }
最後に、上記すべてはバナッハ空間に値をとる積分にも当てはまります。バナッハ値リーマン積分の定義は、通常の定義の明らかな修正です。ルベーグ積分については、ダニエルのより関数的な解析的 手法を用いて正負の部分への分解を回避し、ボフナー積分 を得る必要があります。
関連項目 コーシー主値法 – 積分に値を割り当てる方法 条件付き収束 – 無限級数の性質 フーリエ級数の収束 ― 古典的な調和解析における数学的問題 フビニの定理 – 微積分における積分順序の切り替え条件 収束モード（注釈付きインデックス） – シーケンスまたはシリーズのプロパティ リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 収束半径 – べき級数の収束領域 リーマン級数の定理 – 無条件収束級数は絶対収束する 無条件収束 – 数列の順序に依存しない収束 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · – 1/3 に総和可能な無限級数 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · · – 1にまとめられる無限級数 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
注記 ↑ ここで、収束円盤とは、級数の中心からの距離が収束半径よりも小さいすべての点を指します。つまり、収束円盤は、べき級数が収束するすべての点から構成されます。
参考文献 ↑ シェーファー、ヘルムート H. ; ウォルフ、マンフレッド P. (1999).位相ベクトル空間 . GTM . 第 8 巻 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. pp. 179–180 . ISBN 978-1-4612-7155-0 OCLC 840278135 ↑ ルディン、ウォルター (1976). 数学解析の原理 . ニューヨーク: マグロウヒル. pp. 71–72 . ISBN 0-07-054235-X 。↑ メギンソン、ロバート E. (1998)、 バナッハ空間理論入門 、Graduate Texts in Mathematics、第 183 巻 、ニューヨーク: Springer-Verlag、p. 20、 ISBN 0-387-98431-3 ↑ Dvoretzky, A.; Rogers, CA (1950), "ノルム線形空間における絶対的かつ無条件の収束", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36 :192–197. ↑ タオ、テレンス（2016）。 分析I。ニューデリー： ヒンドゥ スタン・ブック・ エージェンシー。pp. 188–191。ISBN 978-9380250649 。↑ ストリチャーツ、ロバート（2000）。 『分析の方法 』。ジョーンズ＆バートレット・ラーニング。259 ～ 260ページ 。ISBN 978-0763714970 。
![{\textstyle \sum \left[\operatorname {Re} \left(a_{k}\right)^{2}+\operatorname {Im} \left(a_{k}\right)^{2}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c76b17f25e4c068028016d13e45c50b7c6c41e5)
![{\displaystyle A=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6edb111a0369489b1346e0c8d2ea1f44a0fe5c62)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ ただし }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty 。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b7dd2368a860f7773bff60d986940fc5a59a73)
![{\displaystyle S\subset [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe06fbdade81631d1cc5286c4cf8455947748b1)
