ベッセルポテンシャル

数学において、ベッセルポテンシャルは、リースポテンシャルに似ていますが、無限遠での減衰特性がより優れている ポテンシャルです（フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名付けられました） 。

sが正の実部を持つ複素数である場合、 s次のベッセルポテンシャルは演算子である。

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}}$

ここで、Δ はラプラス演算子であり、分数べき乗はフーリエ変換を使用して定義されます。

湯川ポテンシャルは、3 次元空間における ベッセルポテンシャルの特殊なケースです。${\displaystyle s=2}$

ベッセルポテンシャルはフーリエ変換に乗算して作用する。各${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{( 1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}。}$

のとき、上のベッセルポテンシャルは次のように表される。 ${\displaystyle s>0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle (I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,}$

ここでベッセル核は積分公式^[1]によって定義される。${\displaystyle G_{s}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{ \frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\フラク{ds}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.}$

ここで はガンマ関数を表す。ベッセル核は^[2]によっても表される。${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {d-s-1}{2}}\,\mathrm {d} t.}$

この最後の式は、修正ベッセル関数^[3]を使ってより簡潔に書くことができ、この関数のポテンシャルの名前の由来となっている。

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {1}{2^{(s-2)/2}(2\pi )^{d/2}\Gamma ({\frac {s}{2}})}}K_{(d-s)/2}(\vert x\vert )\vert x\vert ^{(s-d)/2}.}$

原点においては、^[4]${\displaystyle \vert x\vert \to 0}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {d-s}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{d-s}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,}$

${\displaystyle G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac {1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),}$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {s-d}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}s>d.}$

特に、ベッセルポテンシャルがリースポテンシャルとして漸近的に振る舞う場合。 ${\displaystyle 0<s<d}$

無限遠では、^[5]${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

${\displaystyle G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac {d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1)).}$

• リースの可能性
• 分数積分
• ソボレフ空間
• 分数シュレーディンガー方程式
• 湯川ポテンシャル

• Duduchava, R. (2001) [1994]、「ベッセルポテンシャル演算子」、数学百科事典、EMS プレス
• グラファコス、ルーカス (2009)、「現代のフーリエ解析」、Graduate Texts in Mathematics、第250巻（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/978-0-387-09434-2、ISBN 978-0-387-09433-5、MR  2463316、S2CID  117771953
• ヘドバーグ、LI (2001) [1994]、「ベッセルポテンシャル空間」、数学百科事典、EMSプレス
• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「ベッセルポテンシャル」、数学百科事典、EMS Press
• スタイン、エリアス（1970）、特異積分と関数の微分可能性、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版、ISBN 0-691-08079-8