線形写像の転置

線型代数学において、同じ体上で定義された 2 つのベクトル空間間の線型写像の転置は、 2 つのベクトル空間の双対空間間の誘導写像です。線型写像の転置または代数的随伴写像は、元の線型写像を調べるためによく使用されます。この概念は随伴関数によって一般化されます。

をベクトル空間の代数的双対空間とする。と を同じ体上のベクトル空間とする。 が線型写像である 場合、その代数的随伴写像または双対は、^[1]によって定義される写像である。 結果として得られる汎関数は、によるの引き戻しと呼ばれる。${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {K}}.}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{\#}u:Y^{\#}\to X^{\#}}$${\displaystyle f\mapsto f\circ u.}$${\displaystyle {}^{\#}u(f):=f\circ u}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u.}$

位相ベクトル空間（TVS）の連続双対空間は と表される。 とがTVSであるとき、線型写像が弱連続となるのは の場合のみであり、その場合を への制限とする。 この写像はの転置^[2]またはの代数的随伴写像と呼ばれる。 の転置は次の恒等式で特徴付けられる：^[3] ここで はによって定義される自然な対である。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{\#}u\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime },}$${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$${\displaystyle {}^{\#}u}$${\displaystyle Y^{\prime }.}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle u.}$${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{t}u(f),x\right\rangle =\left\langle f,u(x)\right\rangle \quad {\text{ 任意の }}f\in Y^{\prime }{\text{ および }}x\in X に対して、}$$${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }$${\displaystyle \left\langle z,h\right\rangle :=z(h).}$

この割り当てにより、 からへの線型作用素の空間と から への線型作用素の空間との間の単射線型写像が生成されます。 すると、線型写像の空間は写像 の合成のもとで代数となり、この割り当ては代数の反準同型となり、つまり となります。圏論 の言語では、ベクトル空間の双対と線型写像の転置を取ることは、ベクトル空間の圏からそれ自身への反変関手となります。二重双対への自然な注入を使用する ことで識別できます。${\displaystyle u\mapsto {}^{t}u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{\#}}$${\displaystyle X^{\#}.}$${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle {}^{t}(uv)={}^{t}v{}^{t}u.}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {}^{t}\left({}^{t}u\right)}$${\displaystyle u}$

• とが線型写像であるならば^[4]${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle v:Y\to Z}$${\displaystyle {}^{t}(v\circ u)={}^{t}u\circ {}^{t}v}$
• が（射影的な）ベクトル空間同型ならば、転置も同型である。${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }.}$
• とがノルム空間である場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\|x^{\prime }\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|\quad {\text{ 各 }}x\in X について}$$ そして線型演算子が有界である場合、演算子ノルムはのノルムに等しい。つまり^{[5] [6]}であり 、さらに、 ${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \|u\|=\left\|{}^{t}u\right\|,}$$$${\displaystyle \|u\|=\sup \left\{\left|y^{\prime }(ux)\right|:\|x\|\leq 1,\left\|y^{*}\right\|\leq 1{\text{ ただし }}x\in X,y^{\prime }\in Y^{\prime }\right\}.}$$

ここで、 が位相ベクトル空間との間の弱連続線型作用素であり、それぞれ連続双対空間と を持つとします。がで定義される標準双対系を表すものとします。ここで、とは、次の場合直交しているといいます 。 および の任意 の部分集合について、が におけるの (絶対)極(またはにおけるの) を表すものとします。${\displaystyle u:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle Y^{\prime },}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X\times X^{\prime }\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime}}$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }x=0.}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle S^{\prime }\subseteq X^{\prime },}$$${\displaystyle A^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{a\in A}\left|x^{\prime }(a)\right|\leq 1\right\}\qquad {\text{ および }}\qquad S^{\circ }=\left\{x\in X:\sup _{s^{\prime }\in S^{\prime }}\left|s^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle S^{\prime}}$${\displaystyle X}$

• とが凸で、原点を含む弱閉集合である場合、[ 7 ^]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• もし、そして^[4]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$

$${\displaystyle [u(A)]^{\circ }=\left({}^{t}u\right)^{-1}\left(A^{\circ }\right)}$$ そして $${\displaystyle u(A)\subseteq B\quad {\text{ は }}\quad {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ } を意味します。}$$

• およびが局所凸である場合、^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

$${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u=\left(\operatorname {Im} u\right)^{\circ }.}$$

とが位相ベクトル空間であり、が弱連続線型作用素（つまり ）であるとする。部分集合とが与えられたとき、それらの消滅子を（標準双対系に関して）^[6]で定義する。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle \left({}^{t}u\right)\left(Y^{\prime }\right)\subseteq X^{\prime }}$${\displaystyle M\subseteq X}$${\displaystyle N\subseteq X^{\prime },}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}M^{\bot }:&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}\\&=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(M)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}x^{\prime }(M):=\left\{x^{\prime }(m):m\in M\right\}\end{alignedat}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{}^{\bot }N:&=\left\{x\in X:\left\langle x,n^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}n^{\prime }\in N\right\}\\&=\left\{x\in X:N(x)=\{0\}\right\}\qquad {\text{ where }}N(x):=\left\{n^{\prime }(x):n^{\prime }\in N\right\}\\\end{alignedat}}}$

• の核はの像に直交するの部分空間である: ^[7]${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle \ker {}^{t}u=(\operatorname {Im} u)^{\bot }}$$

• 線型写像が単射となるのは、その像が の弱稠密部分集合である場合（つまり、が によって誘導される弱位相を与えられたとき、の像が において稠密である場合）に限ります。[ ^7]${\displaystyle u}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}u}$
• 転置は、との両方が弱*位相（それぞれ両方が強双対位相、両方がコンパクト凸集合上の一様収束位相、両方がコンパクト部分集合上の一様収束位相）を備えているときに連続である。 ^[8]${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle Y^{\prime }}$
• （フレシェ空間の全射）：とがフレシェ空間であるとき、連続線型作用素が全射となるための必要十分条件は、（１）転置が単射であり、（２）の転置の像がの弱閉（すなわち弱*閉）部分集合であることである^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle {}^{t}u:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X^{\prime }.}$

をハウスドルフ局所凸空間の閉ベクトル部分空間とし、正準商写像を で表す。 には 商写像によって誘導される商位相が備わっていると 仮定する。 すると、商写像の転置は で値を持ち、 へのTVS同型となる。 がバナッハ空間であれば、も等長写像となる。^[6] この転置を用いると、商空間上のすべての連続線型関数は、の消滅器内の連続線型関数と正準的に同一視される。${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \pi :X\to X/M\quad {\text{ where }}\quad \pi (x):=x+M.}$$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle \pi :X\to X/M.}$${\displaystyle M^{\bot }}$$${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }\subseteq X^{\prime }}$$${\displaystyle M^{\bot }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {}^{t}\pi :(X/M)^{\prime }\to M^{\bot }}$${\displaystyle X/M}$${\displaystyle M^{\bot }}$${\displaystyle M.}$

がハウスドルフ局所凸空間の閉ベクトル部分空間であるとする。がからへの連続線型拡大である 場合、割り当てによりベクトル空間同型が誘導され 、がバナッハ空間である 場合は等長変換となる。 ^[6]${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle m^{\prime }\in M^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$${\displaystyle m^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m^{\prime }\mapsto x^{\prime }+M^{\bot }}$$${\displaystyle M^{\prime }\to X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right),}$$${\displaystyle X}$

包含写像を で表す。 包含写像の転置 は 、 その核が消滅写像であり、ハーン・バナッハの定理により射影となる。この写像は、ベクトル空間の同型写像を誘導する。 $${\displaystyle \operatorname {In} :M\to X\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {In} (m):=m\quad {\text{ for all }}m\in M.}$$$${\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :X^{\prime }\to M^{\prime }}$$${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\left\langle m,x^{\prime }\right\rangle =0{\text{ for all }}m\in M\right\}}$$${\displaystyle X^{\prime }/\left(M^{\bot }\right)\to M^{\prime }.}$$

線型写像がの 2 つの基底に関する行列で表され、は の双対基底に関する転置行列で表され、これが名前の由来です。あるいは、が列ベクトルに対して右に作用することによって表されるように、は行ベクトルに対して左に作用する同じ行列によって表されます。これらの観点は、 の標準的な内積によって関連しており、 は列ベクトルの空間を行ベクトルの双対空間と同一視します。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle A^{T}}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle u}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

転置を特徴付ける恒等式、つまり は、形式的にはエルミート随伴の定義に類似していますが、転置とエルミート随伴 は同じ写像ではありません。転置は写像であり、任意のベクトル空間と 間の線型写像に対して定義され、追加の構造は必要ありません。エルミート随伴 は、ヒルベルト空間上の内積で定義されるため、ヒルベルト空間間の線型写像に対してのみ定義されます。したがって、エルミート随伴 には、転置よりも多くの数学的構造が必要です。 ${\displaystyle \left[u^{*}(f),x\right]=[f,u(x)],}$${\displaystyle Y^{\prime }\to X^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y\to X}$

しかし、転置は、ベクトル空間の両方がユークリッド内積や他の実内積などの非退化双線型形式を備えているコンテキストでよく使用されます。この場合、非退化双線型形式は、ベクトル空間とその双対の間のマッピングに暗黙的に使用され、転置マップをマップとして表現します 。複素ヒルベルト空間の場合、内積は双線型ではなく二乗線型であり、これらの変換により転置が随伴マップに変更されます。 ${\displaystyle Y\to X.}$

より正確には、とがヒルベルト空間で線型写像であるとき、 の転置とエルミート随伴写像はそれぞれ と で表され、関係がある。 と の標準的な反線型等長写像をそれらの双対上へ で表す。すると、は次の写像の合成となる: ^[10]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle u^{*},}$${\displaystyle I:X\to X^{*}}$${\displaystyle J:Y\to Y^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle Y{\overset {J}{\longrightarrow }}Y^{*}{\overset {{}^{\text{t}}u}{\longrightarrow }}X^{*}{\overset {I^{-1}}{\longrightarrow }}X}$

とが位相ベクトル空間であり、が線型写像であるとすると、の性質の多くは${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {}^{t}u.}$

• とが原点を含む弱閉凸集合である場合、 ^[4]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle {}^{t}u\left(B^{\circ }\right)\subseteq A^{\circ }}$${\displaystyle u(A)\subseteq B.}$
• の零空間は、の範囲に直交する部分空間である^[4]${\displaystyle {}^{t}u}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle u(X)}$${\displaystyle u.}$
• ${\displaystyle {}^{t}u}$が単射となるのは、の値域が弱閉となる場合のみである。^[4]${\displaystyle u(X)}$${\displaystyle u}$

• 随伴関数 – 多くの共通構造を抽象化した 2 つの関数の関係
• 合成演算子 – 数学における線形演算子
• エルミート随伴演算子 – 無限次元の演算子の共役転置
• リース表現定理 – ヒルベルト空間の双対に関する定理
• 双対空間 § 線型写像の転置
• 転置 § 線形写像の転置

• ポール、ハルモス(1974)、有限次元ベクトル空間、スプリンガー、ISBN 0-387-90093-4
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.