シーケンス空間

させよう${\displaystyle \mathbb {K} }$実数または複素数の体を表す。集合⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$要素のすべてのシーケンスの${\displaystyle \mathbb {K} }$は、成分ごとの加算 のためのベクトル空間です。$${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$$ および成分ごとのスカラー乗算$${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$$

数列空間は、の任意の線形部分空間である。${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ .

位相空間として、${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$は自然に積位相を備えている。この位相の下では、${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$はフレシェ空間で、完備で距離化可能かつ局所 凸な位相ベクトル空間（TVS）である。しかし、この位相はむしろ病理的である。 上には連続ノルムが存在しない。${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$（したがって、積位相はどのノルムによっても定義できない）。 ^{[ 1 ]} フレシェ空間の中で、${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠は、連続的な規範を持たないという点で最小限である。

しかし、製品のトポロジーも避けられない。${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$は厳密に粗いハウスドルフ局所凸位相を許容しない^{。 [ 1 ]} そのため、数列の研究は、関心のある厳密な線形部分空間を見つけ、それに部分空間位相とは異なる位相を与えることから始まる。

について​${\displaystyle 0<p<\infty }$⁠、 ⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$はの部分空間です${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$すべてのシーケンスから構成される${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$満足 $$\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

もし​${\displaystyle p\geq 1}$⁠、すると実数値関数${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$について​${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$定義される $$${\displaystyle \|x\|_{p}~=~{\Bigl (}\sum _{n}|x_{n}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\qquad {\text{すべての}}x\in \ell ^{p}}$$$規範を 定義する⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$実際、​${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$は、このノルムに関して完備な距離空間であり、したがってバナッハ空間である。

もし​${\displaystyle p=2}$それから​${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$は、その標準的な内積（と呼ばれる）を備えたヒルベルト空間でもあるユークリッド内積、すべてのに対して定義される${\displaystyle \textstyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$⁠by​ $${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}\!}}\,y_{n}.}$$ この内積によって誘導される標準ノルムは通常の⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$⁠ -規範、つまり${\displaystyle \textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$すべての人にとって${\displaystyle \textstyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}}$⁠ .

もし​${\displaystyle p=\infty }$⁠、それから⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$は、ノルムを備えた すべての有界シーケンスの空間として定義されます$${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$⁠はバナッハ空間でもある。

もし​${\displaystyle 0<p<1}$⁠、それから⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$は規範ではなく、定義される 指標を持つ。$${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.}$$

収束列とは、任意の数列のことである。${\displaystyle \textstyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$そのため${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$存在する。セット⁠${\displaystyle c}$⁠収束するすべての数列は⁠のベクトル部分空間である${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠と呼ばれる収束列の空間。すべての収束列は有界であるため、${\displaystyle c}$はの線形部分空間である${\displaystyle \ell ^{\infty }}$さらに、この数列空間は の閉部分空間である。${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty }}$⁠上限ノルムに関して、したがってこのノルムに関してバナッハ空間である。

に収束する数列${\displaystyle 0}$はヌルシーケンスと呼ばれ、消滅する。 に収束するすべての数列の集合⁠${\displaystyle 0}$はの閉ベクトル部分空間である${\displaystyle c}$⁠最高ノルムを付与すると、バナッハ空間となり、それは次のように表される。⁠${\displaystyle c_{0}}$⁠そしてそれはヌルシーケンスの空間または消失数列の空間。

の最終的にゼロとなる数列の空間、⁠${\displaystyle c_{00}}$⁠は⁠の部分空間です${\displaystyle c_{0}}$非ゼロ要素が有限個しかないすべての数列から構成される。これは閉部分空間ではないため、無限ノルムに関してバナッハ空間ではない。例えば、数列${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }}$どこ${\displaystyle x_{nk}=1/k}$初めて${\displaystyle n}$エントリー（${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$) は他のすべての場所でゼロです (つまり、${\displaystyle \textstyle (x_{nk})_{k\in \mathbb {N} }={}\!}$${\displaystyle {\bigl (}1,{\tfrac {1}{2}},\ldots ,{}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{n-1}},{\tfrac {1}{n}},{}}$${\displaystyle 0,0,\ldots {\bigr )}}$) はコーシー列ですが、 の数列には収束しません${\displaystyle c_{00}.}$

させて $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$$

は、上の有限列の空間 を表す。${\displaystyle \mathbb {K} }$ベクトル空間として、${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$等しい⁠${\displaystyle c_{00}}$しかし​​${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$異なるトポロジーを持っています。

すべての自然数 に対して⁠${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$⁠、そうさせて⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$はユークリッド位相を備えた通常のユークリッド空間を表し、${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$正準包含を表す $${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right).}$$各インクルージョンの 画像は$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$ そして結果として、 $${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$$

この一連の包含物は、${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$最終的なトポロジー${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$⁠ 、最も細かいトポロジーとして定義される⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$⁠すべての包含関係が連続である（コヒーレントトポロジーの一例）。このトポロジーでは、 ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$は、フレシェ・ウリゾーン空間ではない、完全で、ハウスドルフ空間で、局所的に凸で、逐次的で、位相的なベクトル空間となる。位相は${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$は、上に誘導される部分空間トポロジーよりも厳密に細かい。${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$⁠による⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$⁠ .

収束​${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$自然な説明があります:${\displaystyle \textstyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$そして​${\displaystyle v_{\bullet }}$はのシーケンスです${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{\infty }}$それから​${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$⁠で⁠${\displaystyle \textstyle \tau ^{\infty }}$⁠かつ、かつのみ⁠${\displaystyle v_{\bullet }}$最終的には単一の画像に収まる${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$そして​${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$その画像の自然なトポロジーの下で 。

多くの場合、各画像は${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$対応する と識別されます${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$⁠ ; 明示的に、要素${\displaystyle \textstyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$そして${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$が特定される。これは、上の部分空間トポロジーによって容易になる。${\displaystyle \textstyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$マップからの商トポロジー${\displaystyle \textstyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$、そして上のユークリッド位相${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} ^{n}}$すべて一致する。この識別により、${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$は有向システムの直接極限である${\displaystyle \textstyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$ここで、各要素の末尾にゼロが追加されます。 $${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right).}$$ これは、${\displaystyle \textstyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$LB空間です。

有界級数の空間は、bsで表され、数列の空間である。${\displaystyle x}$⁠そのため $${\displaystyle \sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert }<\infty .}$$

この空間は、標準的な設備を備えていると $${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}{\biggl \vert }\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr \vert },}$$

は、等長的に同型なバナッハ空間である。${\displaystyle \textstyle \ell ^{\infty },}$線形マッピングを介して$${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}x_{i}{\biggr )}_{n\in \mathbb {N} }.}$$

部分空間${\displaystyle cs}$収束するすべての級数からなる部分空間は、空間に渡る部分空間である。${\displaystyle c}$この同型写像の下で。

空間​${\displaystyle \Phi }$または​${\displaystyle c_{00}}$は、非ゼロ項の数が有限であるすべての無限数列（有限サポートを持つ数列）の空間として定義されます。この集合は、多くの数列空間において稠密です。

について​${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$⁠、スペース⁠${\displaystyle \textstyle \ell ^{p}}$増加している${\displaystyle p}$⁠、包含演算子は連続である： ⁠${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$⁠、1つは${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$実際、不等式は⁠において同質である。${\displaystyle x_{i}}$したがって、以下の仮定の下で証明すれば十分である。${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$この場合、我々は次のことを示すだけでよい。${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$のために⁠${\displaystyle q>p}$しかし、もし${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$、それから${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$すべての人にとって${\displaystyle i}$そして​${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq {}\!}$${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$。

させよう${\displaystyle H}$分離可能なヒルベルト空間とする。 のすべての直交集合は である。${\displaystyle H}$⁠は最大で可算（つまり有限次元または⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ ). ^{[ 2 ]} 次の2つの項目は関連しています。

• もし​${\displaystyle H}$は無限次元であるならば、それは と同型である。${\displaystyle \textstyle \ell ^{2}}$⁠、
• もし​${\displaystyle \operatorname {dim} (H)=N}$⁠、それから⁠${\displaystyle H}$はと同型である${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{N}}$⁠ .