擬似微分演算子

数学的解析において、擬微分演算子は微分演算子 の概念の拡張である。擬微分演算子は偏微分方程式の理論や量子場の理論で広く使用され、例えば非アルキメデス空間における超計量擬微分方程式を含む数学モデルで使用されている。

擬微分作用素の研究は1960年代半ばにコーン、ニーレンバーグ、ヘルマンダー、ウンターベルガー、ボコブザらの研究から始まりました。^[1]

彼らはK理論によるアティヤ・シンガー指数定理の2度目の証明に大きな影響を与えた。アティヤとシンガーは擬微分作用素の理論を理解する上での援助に対してヘルマンダーに感謝した。 ^[2]

定数係数を持つ線形微分演算子を考える。

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

これはR ⁿのコンパクトな台を持つ滑らかな関数に作用する。この演算子は、フーリエ変換と、多項式関数（記号と呼ばれる） による単純な乗算の合成として記述できる。${\displaystyle u}$

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha },}$

逆フーリエ変換は次のようになります。

ここで、は多重添字、は複素数、そして ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle a_{\alpha}}$

${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$

は反復偏微分であり、∂ _{j は}j番目の変数に関する微分を意味します。フーリエ変換の計算を容易にするために 定数を導入します。${\displaystyle -i}$

式（ １）の導出

R ⁿにコンパクトに支えられた滑らかな関数uのフーリエ変換は 、

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)\,dy}$

そしてフーリエの逆変換公式は

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }u(y)\,dy\,d\xi }$

P ( D ) をこのuの表現に適用し、

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

式（１）が得られる。

偏微分方程式を解く

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

両辺にフーリエ変換を（形式的に）適用し、代数方程式 を得る。

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi ).}$

ξ ∈ R ⁿのときに記号P (ξ) が決してゼロにならない 場合、 P (ξ)で割ることができます。

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$

フーリエの逆変換公式により、解は

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

ここでは次のことが想定されています:

1. P ( D ) は定数係数の線型微分演算子であり、
2. その記号P (ξ)は決してゼロにならない。
3. uと ƒ は両方とも明確に定義されたフーリエ変換を持ちます。

最後の仮定は分布理論を使うことで弱めることができます。最初の 2 つの仮定は次のように弱めることができます。

最後の式でƒのフーリエ変換を書き出すと、

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi .}$

これは式（ １ ）と似ているが、1/ P (ξ)は多項式関数ではなく、より一般的な種類の関数である。

ここで擬微分作用素を微分作用素の一般化として考える。式(1)を次のように拡張する。R n^上の擬微分作用素 P ( x , D )は、関数u(x)上の値がxの関数となる作用素である。

ここで はuのフーリエ変換であり、積分関数の記号P ( x ,ξ) は特定の記号クラスに属します。たとえば、P ( x ,ξ) がR ⁿ  ×  R ⁿ上の無限微分可能な関数で、次の性質を持つ 場合、${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}$

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

任意のx ,ξ ∈ R ⁿ、任意の多重添字 α,β 、いくつかの定数C _{α, β 、}およびいくつかの実数mに対して、P はヘルマンダーの記号類に属する。対応する演算子P ( x , D ) は、次数 m の擬微分演算子と呼ばれ、クラスに属する。 ${\displaystyle \scriptstyle {S_{1,0}^{m}}}$${\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}.}$

滑らかな有界係数を持つ m 次線型微分作用素は、m次擬微分​​作用素である。2つの擬微分作用素P、  Qの合成PQも擬微分作用素であり、 PQの記号はPとQの記号を使用して計算できる。擬微分作用素の随伴作用素と転置作用素は擬微分作用素である。

m次微分作用素が(一様) 楕円型( m次) かつ可逆である場合、その逆は − m次擬微分​​作用素となり、その記号を計算することができます。これは、擬微分作用素の理論を使用することで、線形楕円微分方程式を多かれ少なかれ明示的に解くことができることを意味します。

微分演算子は、演算子の効果を決定するために点の近傍の関数の値のみが必要であるという意味で局所的です。擬似微分演算子は擬似局所的であり、非公式には、分布に適用された場合、分布がすでに滑らかであった点で特異点を作成しないこと を意味します。

微分演算子はD  = −id/d xの形で 次のように表される。

${\displaystyle p(x,D)\,}$

Dの多項式 p (記号と呼ばれる)に対して、擬微分演算子はより一般的な関数のクラスに記号を持ちます。擬微分演算子の解析の問題は、その記号を含む一連の代数問題に還元できることが多く、これが微小局所解析の本質です。

擬微分演算子はカーネルで表すことができます。対角線上のカーネルの特異性は、対応する演算子の次数に依存します。実際、シンボルが m ≤ 0 で上記の微分不等式を満たす場合、カーネルが特異積分カーネルであることが示されます。

• 微分代数と微分環のコンテキストにおける擬似微分演算子の定義のための微分代数。
• フーリエ変換
• フーリエ積分演算子
• 振動積分演算子
• 佐藤の基本定理
• 演算計算

• スタイン、エリアス（1993）、調和解析：実変数法、直交性および振動積分、プリンストン大学出版局。
• アティヤ、マイケル F. ;シンガー、イサドア M. (1968)、「楕円演算子の索引 I」、数学年報、87 (3): 484–530、doi :10.2307/1970715、JSTOR  1970715

• Nicolas Lerner、 「位相空間上の計量と非自己随伴擬微分演算子」。擬微分演算子。理論と応用、3。Birkhäuser Verlag、バーゼル、2010 年。
• マイケル・E・テイラー『擬似微分演算子』、プリンストン大学出版、1981年。ISBN 0-691-08282-0 
• MA シュビン『擬微分作用素とスペクトル理論』、Springer-Verlag 2001年。ISBN 3-540-41195 -X 
• フランソワ・トレヴェス、『擬似微分およびフーリエ積分演算子入門』(University Series in Mathematics)、プレナム出版、1981年。ISBN 0-306-40404-4 
• FG フリードランダーとM.ジョシ、分布理論入門、ケンブリッジ大学出版局、1999年。ISBN 0-521-64971-4 
• Hörmander, Lars (1987).線形偏微分演算子の解析 III: 擬似微分演算子. Springer. ISBN 3-540-49937-7。
• André Unterberger、擬似微分演算子とアプリケーション: 概要。講義ノートシリーズ、46。オーフス大学、マテマティスク研究所、オーフス、1976 年。

• arxiv.org のMark S. Joshiによる擬似微分演算子に関する講義。
• 「擬似微分演算子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]