放物型偏微分方程式

放物型偏微分方程式は、偏微分方程式（PDE）の一種です。放物型偏微分方程式は、例えば工学、量子力学、金融数学など、さまざまな時間依存現象を記述するために用いられます。例としては、熱方程式、時間依存シュレーディンガー方程式、ブラック・ショールズ方程式などが挙げられます。

最も単純な放物型偏微分方程式を定義するために、実数値関数を考えてみましょう。${\displaystyle u(x,y)}$2 つの独立した実変数の、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$2階線形定数係数偏微分方程式${\displaystyle u}$形式をとる

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

ここで、添え字は、に関する1階および2階の偏微分を表す。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$偏微分方程式は、主項（すなわち、の2階微分を含む項）の係数が放物型であると分類されます。${\displaystyle u}$) 条件^{[ 1 ]を満たす}

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

いつもの${\displaystyle x}$1次元の位置を表し、${\displaystyle y}$は時間を表し、偏微分方程式は規定された初期条件と境界条件の下で解かれる。${\displaystyle B^{2}-AC<0}$は楕円形と呼ばれ、${\displaystyle B^{2}-AC>0}$双曲線である。係数に関する仮定が解析幾何学の方程式の条件と同じであるため、「放物線」という名前が使われている。${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$平面放物線を定義する。

放物型偏微分方程式の基本的な例は、一次元熱方程式である。

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

どこ${\displaystyle u(x,t)}$位置の温度は${\displaystyle x}$細い棒に沿って、${\displaystyle t}$そして${\displaystyle \alpha }$は熱拡散率と呼ばれる正の定数です。

熱方程式は、おおよそ、ある時間と場所における温度の上昇または下降率は、その場所の温度と、その場所付近の平均温度との差に比例することを示しています。$uxx$温度が調和関数の平均値の性質を満たしていない度合いを測定します。

放物型偏微分方程式の概念は、いくつかの方法で一般化できる。例えば、物質体を通る熱の流れは、3次元熱方程式によって記述される。

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

どこ

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

これは、に作用するラプラス演算子を表します。${\displaystyle u}$この方程式は多次元放物型偏微分方程式の典型例である。^{[ 2 ]}

留意すべき点として、${\displaystyle -\Delta }$楕円型演算子は、放物型偏微分方程式のより広い定義を示唆する。

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

どこ${\displaystyle L}$は2階楕円型演算子である （つまり、${\displaystyle L}$正でなければならない。${\displaystyle u_{t}=+Lu}$（以下で検討する）。

ベクトルに関する偏微分方程式系${\displaystyle u}$放物線型になる場合もある。例えば、このようなシステムは、次の形式の方程式に隠されている。

$\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

行列値関数${\displaystyle a(x)}$次元1の核を持つ。

広範な仮定の下では、線形放物型偏微分方程式の初期値／境界値問題は、すべての時間に対して解を持つ。${\displaystyle u(x,t)}$関数として${\displaystyle x}$一定期間${\displaystyle t>0}$は、一般的に初期データよりも滑らかである。${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$放物線正則性理論によれば。

非線形放物型偏微分方程式の場合、初期値／境界値問題の解は、有限時間内に特異点に陥る可能性がある。すべての時間に対して解が存在するかどうか、あるいは発生する特異点を理解するのは難しい場合がある。このような興味深い問題は、リッチフローによるポアンカレ予想の解法において生じる。

時折、いわゆる後向き放物型偏微分方程式に遭遇することがあり、それは次のような形をとる。${\displaystyle u_{t}=Lu}$（マイナス記号がないことに注意してください。）

逆熱方程式の初期値問題、

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

これは通常の熱方程式の最終値問題に相当し、

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {on}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {on}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

放物型偏微分方程式の最終値問題と同様に、後向き放物型偏微分方程式の初期値問題は通常、適切に定式化されていません（解は有限時間内にしばしば際限なく増大したり、存在しなかったりします）。それにもかかわらず、これらの問題は、他のさまざまな偏微分方程式の解の特異点の反映の研究にとって重要です。^{[ 3 ]}

• 楕円型偏微分方程式
• 双曲型偏微分方程式

• Taylor, Michael E. (1975). 「微分方程式系の解の特異点の反映」. Communications on Pure and Applied Mathematics . 28 (4): 457–478 . CiteSeerX 10.1.1.697.9255 . doi : 10.1002/cpa.3160280403 . ISSN 0010-3640 .  
• ザウデラー、エーリッヒ（2006）。応用数学の偏微分方程式。ニュージャージー州ホーボーケン：ワイリー・インターサイエンス。ISBN 978-0-471-69073-3. OCLC 70158521 . 

• Perthame, Benoît (2015), Parabolic Equations in Biology  : Growth, Reaction, Movement and Diffusion , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• エヴァンス、ローレンス C. (2010) [1998]、「偏微分方程式」、Graduate Studies in Mathematics、第 19 巻 (第 2 版)、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、doi : 10.1090/gsm/019、ISBN 978-0-8218-4974-3MR 2597943​ 
• 「放物型偏微分方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「放物型偏微分方程式、数値解法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]