線形マップ

数学、より具体的には線型代数において、線型写像（線型写像、線型変換、ベクトル空間準同型、文脈によっては線型関数とも呼ばれる）は、ベクトルの加算とスカラー乗算の演算を保存する2 つの ベクトル空間間の写像である。 同じ名前と同じ定義が、 環上の加群のより一般的な場合にも使用される。加群準同型を参照。 ${\displaystyle V\to W}$

線型写像が全単射である場合、それは線型同型写像。 の場合、線型写像は線型自己準同型写像。${\displaystyle V=W}$線型演算子はこの場合を指しますが、^[1]「線型演算子」という用語は、異なる規則では異なる意味を持つことがあります。たとえば、とが実である（必ずしも とは限りません）^{[要出典]。}関数空間あることを強調するために使用でき関数解析における一般的な規則です。^[2]線型関数という用語は線型写像と同じ意味を持つ場合解析ではそうではありません。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle V}$

からへの線型写像は、常に の原点 を の原点に写します。さらに、 の線型部分空間をの線型部分空間（より低い次元の場合もある）に写します。^[3]たとえば、の原点を通る平面を、の原点を通る平面、の原点を通る直線、または の原点のみに写します。線型写像は多くの場合、行列として表すことができ、簡単な例としては回転および反射線型変換 などがあります。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

圏論の言語では、線型写像はベクトル空間の射であり、行列の圏と同等の圏を形成します。

とを同じ体上のベクトル空間とします。関数は、任意の 2 つのベクトルと任意のスカラーに対して次の 2 つの条件が満たされる 場合、線型写像と呼ばれます。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c\in K}$

• 加法性/ 加算の演算$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• 1次の同次性/ スカラー倍算の演算$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

したがって、線形写像は演算保存的であると言われます。言い換えると、線形写像が加算とスカラー乗算の演算の前 (上記の例の右側) に適用されるか後 (例の左側) に適用されるかは関係ありません。

+で表される加算演算の結合性により、任意のベクトルとスカラーに対して次の等式が成り立ちます。^{[4] [5]} したがって、線型写像は線型結合を保存する写像です。 ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$${\textstyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K,}$ $${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

ベクトル空間の零元をそれぞれ と で表すと、次数1 の同次性を表す方程式で ととすると、次の式が得られます。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$${\textstyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}.}$${\displaystyle c=0}$${\textstyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

をそれ自身の1次元ベクトル空間として見た線型写像は線型汎関数と呼ばれる。^[6]${\displaystyle V\to K}$${\displaystyle K}$

これらのステートメントは、変更なしでリング上の任意の左モジュールに一般化され、スカラー乗算を逆にすると任意の右モジュールに一般化されます。 ${\textstyle {}_{R}M}$${\displaystyle R}$

• 線型写像の名前の由来となった典型的な例は、グラフが原点を通る線である関数である。^[7]${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$
• より一般的には、ベクトル空間の原点を中心とする任意の相似性は線型写像です (ここで cはスカラー)。${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• 2 つのベクトル空間 (同じ体上) 間の零写像は線形です。${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• 任意のモジュール上の恒等写像は線形演算子です。
• 実数の場合、マップは線形ではありません。${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• 実数の場合、マップは線形ではありません（ただし、アフィン変換です）。${\textstyle x\mapsto x+1}$
• が実行行列である場合、列ベクトル を列ベクトル に送ることで、から への線型写像を定義します。逆に、有限次元ベクトル空間間の任意の線型写像をこの方法で表すことができます。以下の「行列」を参照してください。${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• が実ノルム空間間の等長写像であり、その場合 は線型写像となる。この結果は複素ノルム空間では必ずしも真ではない。^[8]${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$
• 微分は、すべての微分可能関数の空間からすべての関数の空間への線型写像を定義します。また、すべての滑らかな関数の空間上の線型作用素も定義します（線型作用素は 線型自己準同型、つまり、同じ定義域と余定義域を持つ線型写像です）。実際、$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• ある区間I上の定積分は、 I上のすべての実数値積分可能関数の空間から への線型写像である。実際、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• 固定された積分開始点を持つ不定積分（または原始積分）は、 上のすべての実数値の積分可能関数の空間から 上のすべての実数値の微分可能関数の空間への線型写像を定義します。固定された開始点がない場合、原始積分 は、微分可能関数の商空間を定数関数の線型空間で写像します。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• およびがそれぞれ次元mとnの体F上の有限次元ベクトル空間である場合、 § 行列 (下記) で説明する方法で線型写像をn × m行列に写像する関数は線型写像であり、線型同型でもあります。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle f:V\to W}$
• ランダム変数（実際には関数であり、ベクトル空間の要素）の期待値は線形です。ランダム変数 および の場合、および が成り立ちますが、ランダム変数の分散は線形ではありません。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$

• 
  関数は線形マップです。この関数はベクトルの要素を係数 でスケールします。${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle x}$${\textstyle 2}$
• 
  この関数は加算的です。ベクトルを最初に加算してからマッピングするか、マッピングしてから最後に加算するかは関係ありません。${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  この関数は同次です。つまり、ベクトルを最初にスケーリングしてからマッピングするか、最初にマッピングしてからスケーリングするかは関係ありません。${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

多くの場合、線型写像はベクトル空間の部分集合上で定義され、次に線形性によって領域の線形範囲までとがベクトル空間であり、がある部分集合上で定義された関数であるとする 。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle S\subseteq X.}$から への線型拡大が${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$存在する場合、は上で定義される線型写像であり、^{[注 1]}（すべての に対して とを拡張し、その値を の共域から取る。^[9] 部分集合がのベクトル部分空間であるのすべてへの の（-値）線型拡大が線型写像である場合に限り保証される^[9]特に、 がへの線型拡大を持つ、 はすべてへの線型拡大を持つ${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle F(s)=f(s)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle X.}$

写像を線型写像に拡張できるのは、が整数、がスカラー、がベクトルで、そのときに必ず^[10]となるときのみです。 の線型拡張が存在する場合、その線型拡張は一意であり、 上記のように すべておよびに対して成り立ちます。^[10]が線型独立である 場合、任意のベクトル空間へのすべての関数は(線型) 写像への線型拡張を持ちます(逆もまた真です)。 ${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n},}$${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right).}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n},}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle \;\operatorname {span} S\to Y}$

例えば、との割り当ては、線形独立なベクトルの集合から上の線形写像に線形に拡張できます。唯一の線形拡張は、を に 送る写像です。${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle (1,0)\to -1}$${\displaystyle (0,1)\to 2}$${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

実ベクトル空間または複素ベクトル空間のベクトル部分空間上で定義されたすべての（スカラー値）線型関数 は、のすべてへの線型拡張を持つ。 実際、ハーン・バナッハの支配拡張定理は、この線型関数が与えられた半ノルムによって支配されるとき（の領域内のすべての に対して が成り立つことを意味する）、 への線型拡張が存在し、これも によって支配されることを保証する。${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p.}$

と が有限次元ベクトル空間で、各ベクトル空間に対して基底が定義されている場合、 から へのすべての線型写像は行列で表すことができます。^[11]これは具体的な計算が可能になるため便利です。行列は線型写像の例をもたらします。 が実数行列である場合、 は線型写像を表します（ユークリッド空間を参照）。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

を の基底とします。すると、すべてのベクトルは体の係数によって一意に決定されます。 ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

が線形写像である 場合、${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

これは関数fがベクトル によって完全に決定されることを意味します。ここでを の基底とします。すると各ベクトルは次のように 表すことができます。${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

したがって、関数 はの値によって完全に決定されます。これらの値を行列に入れると、内の任意のベクトルについてのベクトル出力を計算するのに便利です。 を取得するには、のすべての列が、上で定義されたよう に に対応するベクトルになります 。より明確に定義するには、マッピング に対応するいくつかの列について、 がの行列 であることを示します。言い換えると、すべての列には、座標が列 の要素である対応するベクトルがあります。単一の線形マップは、多くの行列で表すことができます。これは、行列の要素の値が、選択された基底によって決まるためです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$${\displaystyle j}$

線形変換の行列は視覚的に表現できます。

1. に対する相対的な行列:${\textstyle T}$${\textstyle B}$${\textstyle A}$
2. に対する相対的な行列:${\textstyle T}$${\textstyle B'}$${\textstyle A'}$
3. からへの遷移行列:${\textstyle B'}$${\textstyle B}$${\textstyle P}$
4. からへの遷移行列:${\textstyle B}$${\textstyle B'}$${\textstyle P^{-1}}$

左下隅から始めて右下隅を探すと、 を左に掛け合わせます。つまり、 となります。同等の方法は、同じ点から時計回りに進む「より長い」方法で、 を、またはで左に掛け合わせます。 ${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\textstyle P^{-1}AP}$${\textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

2次元空間R2では^、線形写像は2×2行列で記述されます。次に例を示します。

• 回転
  • 反時計回りに90度:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • 反時計回りに角度θだけ:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• 反射
  • x軸を通る:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • y軸に沿って:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • 原点と角度θをなす直線を通る：$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• すべての方向に 2 倍にスケーリングします。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• 水平せん断マッピング:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• y軸を角度θだけ傾ける:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• スクイーズマッピング:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• y軸への投影:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

線形写像が回転、反射、および/または均一なスケーリングのみで構成されている場合、その線形写像は等角線形変換です。

線型写像の合成は線型です。つまり、とが線型であれば、それらの合成も線型です。このことから、与えられた体K上のすべてのベクトル空間のクラスは、射としてのK線型写像とともに、カテゴリを形成します。 ${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle g:W\to Z}$ ${\textstyle g\circ f:V\to Z}$

線形マップの逆を定義すると、これも線形マップになります。

およびが線形である場合、それらの点ごとの和も線形であり、 によって定義されます。 ${\textstyle f_{1}:V\to W}$${\textstyle f_{2}:V\to W}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

が線形であり、が基底体 の要素である場合、によって定義されるマップも線形です。 ${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle \alpha }$${\textstyle K}$${\textstyle \alpha f}$${\textstyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

したがって、 からへの線型写像の集合は自身上のベクトル空間を形成し、^[12]は と表記されることもある。^[13]さらに、 の場合、 と表記されるこのベクトル空間は、写像 の合成に関して結合的代数である。これは、2つの線型写像の合成もまた線型写像であり、写像の合成は常に結合的であるためである。このケースについては、以下でより詳細に議論する。 ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle K}$${\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\textstyle V=W}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

再び有限次元の場合、基底が選択されていれば、線型写像の合成は行列の乗算に対応し、線型写像の加算は行列の加算に対応し、線型写像とスカラーの乗算は行列とスカラーの乗算に対応します。

線型変換は の自己準同型である。すべてのそのような自己準同型の集合は、 上で定義した加算、合成、スカラー乗算とともに、体（特に環）上の単位元を持つ結合代数を形成する。この代数の乗法的単位元は恒等写像である。 ${\textstyle f:V\to V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle K}$ ${\textstyle \operatorname {id} :V\to V}$

同型でもある の自己準同型は の自己同型と呼ばれます。2 つの自己同型の合成も自己同型であり、 のすべての自己同型の集合は群 を形成し、その自己同型群はまたはで表されます。自己同型は、合成時に逆を持つ自己準同型とまったく同じであるため、 は環 の単位群です。 ${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {GL} (V)}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$

が有限次元 を持つ場合、 は の要素を持つすべての行列の結合代数に同型です。 の自己同型群は の要素を持つすべての可逆行列の一般線型群に 同型です。 ${\textstyle V}$${\textstyle n}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$${\textstyle V}$ ${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\textstyle n\times n}$${\textstyle K}$

が線形である場合、カーネルと画像または範囲を次のように 定義します。${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$は の部分空間であり はの部分空間である。次の次元公式は階数-零定理として知られている: ^[14]${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {im} (f)}$${\textstyle W}$ $${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

数はの階数とも呼ばれ、 または時には と書かれる。[ ^{15] [ 16]}数はの零数とも呼ばれ、またはと書かれる。 [15] ^[16]およびが有限次元で、基底が選ばれ、が行列 によって表される場合、 の階数と零数は、それぞれ行列 の階数と零数に等しい。 ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {rank} (f)}$${\textstyle \rho (f)}$${\textstyle \dim(\ker(f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {null} (f)}$${\textstyle \nu (f)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$${\textstyle f}$${\textstyle A}$

線形変換のより微妙な不変量はコカーネルであり、次のように定義される。 ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

これはカーネルの双対概念である。カーネルがドメインの部分空間であるのと同様に、コカーネルはターゲットの商空間である。形式的には、次の正確なシーケンスが成り立つ。 $${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

これらは次のように解釈できる。線形方程式f ( v ) = wを解くと、

• 核は同次方程式f ( v ) = 0の解の空間であり、その次元は空でない場合、解の空間内の自由度の数である。
• コカーネルは、ソリューションが満たさなければならない制約の空間であり、その次元は独立した制約の最大数です。

コカーネルの次元と像の次元（ランク）を足すと、ターゲット空間の次元になります。有限次元の場合、これは商空間W / f ( V ) の次元がターゲット空間の次元から像の次元を引いたものであることを意味します。

簡単な例として、f ( x , y ) = (0, y )で与えられる写像f : R ² → R ²を考えてみましょう。すると、方程式f ( x , y ) = ( a , b ) が解を持つためには、a = 0 (1 つの制約) でなければなりません。その場合、解空間は ( x , b ) または同等に (0, b ) + ( x , 0)、(1 つの自由度) となります。カーネルは、部分空間 ( x , 0) < Vとして表現できます。 xの値は、解における自由度です。一方、コカーネルは写像W → Rを介して表現できます。つまり、ベクトル ( a , b ) が与えられた場合、 aの値は、解が存在することに対する障害となります。 ${\textstyle (a,b)\mapsto (a)}$

無限次元の場合の例は、写像f : R ^∞ → R ^{∞ （} n > 0の場合、b ₁ = 0 かつb n _{+ 1} = a _{n ）}で示される。その像は最初の要素が 0 であるすべてのシーケンスで構成され、したがってそのコカーネルは最初の要素が同一のシーケンスのクラスで構成される。したがって、そのカーネルは次元 0 である（ゼロシーケンスのみをゼロシーケンスに写像する）のに対し、そのコカーネルは次元 1 である。ドメインとターゲット空間は同じであるため、カーネルのランクと次元の合計はコカーネルのランクと次元と同じ合計になる（ ）が、無限次元の場合、自己準同型のカーネルとコカーネルが同じ次元（0 ≠ 1）を持つとは推論できない。逆の状況は、写像h : R ^∞ → R ^{∞ （} c _n = a _{n + 1 ）}に対して得られる。そのイメージはターゲット空間全体であるため、そのコカーネルは次元 0 になりますが、最初の要素のみがゼロでないすべてのシーケンスをゼロ シーケンスにマッピングするため、そのカーネルは次元 1 になります。 ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$${\textstyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

有限次元カーネルとコカーネルを持つ線形演算子の場合、インデックスを次のように定義できます。 つまり、自由度から制約の数を引いたものになります。 $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

有限次元ベクトル空間間の変換の場合、これは単に階数零による dim( V ) − dim( W ) の差です。これは、いくつの解またはいくつの制約があるかを示します。つまり、大きい空間から小さい空間にマッピングする場合、マップは全射になる可能性があり、したがって制約がなくても自由度を持ちます。逆に、小さい空間から大きい空間にマッピングする場合、マップは全射にはならず、したがって自由度がなくても制約があります。

演算子の指数は、まさに2項複素数0 → V → W → 0のオイラー特性である。演算子理論では、フレドホルム演算子の指数は研究対象であり、その主要な結果はアティヤ・シンガー指数定理である。^[17]

線形写像の分類は網羅的ではありません。次の不完全なリストは、ベクトル空間に追加の構造を必要としない重要な分類をいくつか列挙したものです。

VとW を体F上のベクトル空間とし、T : V → Wを線型写像とします。

次の同等の条件のいずれかが真である場合、 T は単射または単射であると言われます。

1. T は集合の写像として1 対 1です。
2. ker T = {0 _V }
3. dim(kerT ) = 0
4. T はモニックまたは左キャンセル可能であり、つまり、任意のベクトル空間Uと任意の線型写像R : U → VおよびS : U → Vのペアに対して、方程式TR = TS はR = Sを意味します。
5. Tは左可逆である。つまり、ST がV上の恒等写像となるような線型写像S : W → Vが存在する。

次の同等の条件のいずれかが真である場合、 T は全射またはエピモーフィズムであると言われます。

1. T は集合の写像として全射である。
2. コーカー T = {0 _W }
3. T はエピックまたは右キャンセル可能であり、つまり、任意のベクトル空間Uと任意の線型写像R : W → UおよびS : W → Uのペアに対して、方程式RT = ST はR = Sを意味します。
4. T は右可逆である、つまりTS がW上の恒等写像となるような線型写像S : W → Vが存在する。

T は、左可逆かつ右可逆である場合に同型であると言われます。これは、T が1 対 1 かつ全単射 (集合の全単射) であること、またはT がエピックかつモニックであり、したがって双射であることと同等です。

T : V → Vが自己準同型ならば、次のようになる。

• ある正の整数nに対して、Tのn番目の反復T ⁿが常にゼロである場合、T は冪零であると言われます。
• T ² = Tの場合、Tは冪等であると言われる。
• T = kI （ kは何らかのスカラー）の場​​合、Tはスケーリング変換またはスカラー乗算マップと呼ばれます。スカラー行列を参照してください。

行列がAである自己準同型である線型写像が与えられた場合、空間の基底Bにおいてベクトル座標 [u] は [v] = A [u] に変換されます。ベクトルはBの逆数とともに変化するため(ベクトル座標は反変)、その逆変換は [v] = B [v'] です。

これを最初の式に代入する と $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$$${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

したがって、新しい基底の行列はA′ = B ⁻¹ ABとなり、B は与えられた基底の行列となります。

したがって、線型写像は1-co-1-contra- variantオブジェクト、または(1, 1)型テンソルであると言われます。

位相ベクトル空間、例えばノルム空間の間の線型変換は連続である可能性がある。その定義域と余定義域が同じであれば、それは連続線型作用素となる。ノルム線型空間上の線型作用素が連続となるのは、例えば定義域が有限次元である場合に限り、それが有界となるからである。 ^{[18]無限次元の定義域には}不連続な線型作用素が存在する可能性がある。

有界でない、したがって不連続な線形変換の例としては、上限ノルムを備えた滑らかな関数の空間での微分があります (小さな値を持つ関数は大きな値の導関数を持つことができますが、0 の導関数は 0 です)。具体的な例として、sin( nx )/ n は0 に収束しますが、その導関数cos( nx ) は収束しないため、微分は 0 で連続ではありません (この議論のバリエーションにより、どこでも連続ではありません)。

線形写像の具体的な応用例としては、コンピュータグラフィックスなどで実行される幾何学的変換が挙げられます。この変換では、変換行列を使用して 2D または 3D オブジェクトの移動、回転、拡大縮小が実行されます。線形写像は、変化を記述するメカニズムとしても使用されます。たとえば、微積分学では導関数に相当し、相対性理論では参照フレームのローカル変換を追跡する手段として使用されます。

これらの変換のもう 1 つの応用は、ネストされたループ コードのコンパイラ最適化と、コンパイラ技術の並列化です。

Wikibooksには、線形代数/線形変換に関する本があります。

• 加法写像 – Z 加群準同型
• 反線型写像 – 共役同次加法写像
• ベント関数 – 特殊なタイプのブール関数
• 有界演算子 – 位相ベクトル空間間の線形変換
• コーシーの関数方程式 – 関数方程式
• 連続線形演算子
• 線形関数 – ベクトル空間からそのスカラー体への線形写像Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 線形等長変換 – 距離を保存する数学的変換Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 行列のカテゴリ
• 準線形化