直交多項式

数学 において、直交多項式列とは、列内の任意の 2 つの異なる多項式が、ある内積の下で互いに直交するような多項式の族です 。

最も広く使用されている直交多項式は、エルミート多項式、ラゲール多項式、ヤコビ多項式で構成される古典的な直交多項式です。ゲーゲンバウアー多項式はヤコビ多項式の最も重要なクラスを形成し、チェビシェフ多項式とルジャンドル多項式が特別なケースとして 含まれています。

直交多項式の分野は、19世紀後半にPL チェビシェフによる連分数の研究から発展し、AA マルコフとTJ スティルチェスによって研究されました。直交多項式の分野は、数値解析(求積法)、確率論、表現論(リー群、量子群、および関連オブジェクト)、列挙的組合せ論、代数的組合せ論、数理物理学(ランダム行列の理論、可積分系など)、および数論など、さまざまな分野で登場します。直交多項式に取り組んだ数学者には、ガボール・シェグ、セルゲイ・バーンスタイン、ナウム・アキゼル、アルトゥール・エルデルイ、ヤコフ・ジェロニムス、 ヴォルフガング・ハーン、セオドア・セイオ・チハラ、ムラッド・イスマイル、ワリード・アル・サラーム、リチャード・アスキー、レフエル・ロバットなどが含まれます。

実数上の任意の非減少関数αが与えられたとき、 関数fのルベーグ・スティルチェス積分 を定義することができる。この積分がすべての多項式fに対して有限であれば、多項式fとgのペアの内積を次のように 定義できる。$${\displaystyle \int f(x)\,d\alpha (x)}$$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).}$$

この演算は、すべての多項式のベクトル空間上の正の半定値内積であり、関数 α が無限数の成長点を持つ場合は正定値です。通常の方法で直交性の概念、つまり 2 つの多項式の内積がゼロの場合にそれらの多項式は直交するという概念が導き出されます。

次に、シーケンス（P _n）^∞
_{n =0}直交多項式は、次の関係によって定義される。 $${\displaystyle \deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.}$$

言い換えれば、この内積に関する グラム・シュミット過程によって、単項式列 1、 x、x ²、…から列が得られます。

通常、シーケンスは正規直交で ある必要があります 。ただし、他の正規化が使用されることもあります。 $${\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1,}$$

時々、となることがあります 。 ここ で は、実数直線上のある区間[ x ₁ , x ₂ ] に台がある非負関数です(ただし、 x ₁  = −∞およびx ₂ = ∞が許されます)。このようなW は重み関数と呼ばれます。^[1]この場合、内積は次のように与えられます。 ただし、測度dα ( x )が、関数αが不連続な非ゼロ測度の点を持つ直交多項式の例は多く、そのため、上記のように 重み関数Wで与えることはできません。$${\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx}$$$${\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.}$$

最も一般的に使用される直交多項式は、実区間でサポートされる測度に対して直交します。これには次のものが含まれます。

• 古典的な直交多項式 (ヤコビ多項式、ラゲール多項式、エルミート多項式、およびそれらの特殊なケースであるゲーゲンバウアー多項式、チェビシェフ多項式、ルジャンドル多項式)。
• ウィルソン多項式はヤコビ多項式を一般化したものである。これには、メイクスナー・ポラチェク多項式、連続ハーン多項式、連続双対ハーン多項式、およびアスキー方式で記述される古典多項式などの多くの直交多項式が特別なケースとして含まれる。
• Askey -Wilson 多項式は、 Wilson 多項式に追加のパラメーターq を導入します。

離散直交多項式は、ある離散測度に関して直交します。測度が有限台を持つ場合、直交多項式の族は無限列ではなく有限になります。ラカー多項式は離散直交多項式の例であり、ハーン多項式と双対ハーン多項式を特殊なケースとして含み、さらにハーン多項式と双対ハーン多項式には、メイクスナー多項式、クラウチュク多項式、シャルリエ多項式が特殊なケースとして含まれます。

Meixner は、すべての直交Sheffer シーケンスを分類しました。存在するのは、Hermite、Laguerre、Charlier、Meixner、Meixner-Pollaczek のみです。ある意味では Krawtchouk もこのリストに含まれるべきですが、これらは有限シーケンスです。これらの 6 つのファミリはNEF-QVFに対応し、特定のLévy プロセスのマルチンゲール多項式です。

ふるい分けされた超球面多項式、ふるい分けされたヤコビ多項式、ふるい分けされたポラチェク多項式などのふるい分けされた直交多項式には、修正された再帰関係があります。

複素平面上の曲線に対して直交多項式を考えることもできます。最も重要なケース（実区間以外）は、曲線が単位円である場合で、ロジャース・セゲー多項式などの単位円上の直交多項式を与えます。

三角形や円板などの平面領域上で直交する直交多項式の族がいくつかあります。これらはヤコビ多項式で表すことができる場合もあります。たとえば、ゼルニケ多項式は単位円板上で直交します。

異なる次数のエルミート多項式間の直交性の利点は、一般化周波数分割多重（GFDM）構造に応用されています。時間周波数格子の各グリッドには、複数のシンボルを運ぶことができます。^[2]

実数直線上の非負測度によって定義される 1 変数の直交多項式には、次の特性があります。

直交多項式P _nはモーメントで表現できる。

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)}$

次のように：

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}$

ここで定数c _{n は}任意です（ P _nの正規化に依存）。

これは、グラム・シュミット過程を単項式に適用して、各多項式が前の多項式に対して直交するように強制することから直接生じます。たとえば、との直交性は、が、行列式で前に与えられた式と一致するとわかる 形式を持つ必要があることを規定します。${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle P_{1}}$$${\displaystyle P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),}$$

多項式P _{n は}次の再帰関係を満たす。

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

ここで、A _{n は}0 ではありません。逆もまた真です。Favardの定理を参照してください。

測度 d αが区間 [ a ,  b ] でサポートされている場合、 P _nのすべての零点は [ a ,  b ] にあります。さらに、零点は次のような絡み合い特性を持ちます。m  <  nの場合、 P _mの任意の 2 つの零点の間には P _nの零点があります。零点の静電的解釈が可能です。 ^{[引用が必要]}

1980年代から、XG Viennot、J. Labelle、Y.-N. Yeh、D. Foataらの研究により、すべての古典的な直交多項式の組み合わせ的解釈が発見されました。^[3]

マクドナルド多項式は、アフィン根系の選択に依存する、複数の変数を持つ直交多項式です。ジャック多項式、ホール・リトルウッド多項式、ヘックマン・オプダム多項式、コーンワインダー多項式など、他の多くの多変数直交多項式族が特殊なケースとして含まれています。アスキー・ウィルソン多項式は、階数 1 の特定の非簡約根系に対するマクドナルド多項式の特殊なケースです。

多重直交多項式は、有限の測度族に関して直交する 1 つの変数の多項式です。

これらは、ソボレフの内積、つまり導関数を含む内積に関する直交多項式です。導関数を含めると多項式に大きな影響があり、一般に、古典的な直交多項式の優れた機能の一部を共有しなくなります。

行列を持つ直交多項式は、係数が行列であるか、不定部分が行列であるかのいずれかです。

よく使われる例は 2 つあります。係数が行列であるか、 ${\displaystyle \{a_{i}\}}$${\displaystyle x}$

• バリエーション 1: 、ここでは行列です。${\displaystyle P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}}$${\displaystyle \{A_{i}\}}$${\displaystyle p\times p}$
• バリエーション 2:は - 行列であり、 は単位行列です。${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle I_{p}}$

量子多項式または q 多項式は、直交多項式のq 類似体です。

• アペルシーケンス
• 超幾何直交多項式のアスキースキーム
• ファヴァールの定理
• 二項式の多項式列
• 双直交多項式
• 一般化フーリエ級数
• 二次対策
• シェファーシーケンス
• シュトゥルム・リウヴィル理論
• 陰影計算
• プランシュレル・ロタッチ漸近

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