分極化のアイデンティティ

ベクトル空間が実数上である場合、偏極恒等式は次のようになります。^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

これらの様々な形はすべて平行四辺形の法則により等価である：^{[証明1 ]}$${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$$

これはさらに次のことを示唆している。${\displaystyle L^{p}}$クラスは、次の場合にはヒルベルト空間ではない。${\displaystyle p\neq 2}$平行四辺形の法則が満たされないため、 ⁠。反例として、 を考えてみましょう。${\displaystyle x=1_{A}}$そして${\displaystyle y=1_{B}}$互いに素な2つの部分集合に対して${\displaystyle A,B}$一般領域${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$そして、平行四辺形の法則に基づいて、両方の集合の寸法を計算します。

複素数上のベクトル空間の場合、上記の式は (複素) 内積の虚部を記述していないため、厳密には正しくありません。しかし、類似の式を用いることで、実部と虚部の両方を保持することができます。内積の複素部分は、それが第 1 引数または第 2 引数に関して反線形であるかどうかに依存します。表記法${\displaystyle \langle x|y\rangle ,}$これは物理学で一般的に使用されるもので、最初の引数では反線形であると仮定されますが、${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ,}$数学で一般的に用いられるこの式は、第2引数に関して反線形であると仮定する。両者は次の式で関係づけられる。 $${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =\langle y\,|\,x\rangle \quad {\text{ for all }}x,y\in H.}$$

任意の内積の実部（引数が反線形であっても、実数であっても複素数であっても）は、任意の に対して対称双線形写像である。${\displaystyle x,y\in H}$常に以下と等しい：^{[ 4 ] [証明1 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}R(x,y):&=\operatorname {Re} \langle x\mid y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle \\&={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{2}}\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).\\[3pt]\end{alignedat}}}$$

これは常に対称写像であり、つまり^{[証明1 ]}$${\displaystyle R(x,y)=R(y,x)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ また、以下の条件も満たします。^{[証明1 ]}$${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)\quad {\text{ for all }}x,y\in H,}$$ つまり平易な英語で言うと、${\displaystyle i}$もう一方の議論には負の符号を導入する。これらの性質は、内積の性質から直接証明することも、偏極恒等式を用いてノルムの性質から証明することもできる。

複素内積の実部とは異なり、虚部はどちらの引数が反線形であるかによって決まる。

最初の引数に関して反線形

内積の偏極恒等式${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle ,}$これは最初の引数に関して反線形であり、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\,|\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\|x+(-i)^{k}y\|^{2}\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

どこ${\displaystyle x,y\in H.}$最後から2番目の等式は、線形関数を表す 式に似ています。${\displaystyle \varphi }$実数部に関して言えば：${\displaystyle \varphi (y)=\operatorname {Re} \varphi (y)-i(\operatorname {Re} \varphi )(iy).}$

第2引数に関して反線形

内積の偏極恒等式${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$これは第２引数に関して反線形であり、${\displaystyle \langle x\,|\,y\rangle }$関係性によって： ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle$ :=\langle y\,|\,x\rangle ={\overline {\langle x\,|\,y\rangle }}\quad {\text{ for all }}x,y\in H.} したがって、任意の${\displaystyle x,y\in H,}$^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\end{alignedat}}}$

この表現は対称的に次のように言い換えることができます。^{[ 5 ]}$${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\left\|x+i^{k}y\right\|^{2}.}$$

両事例の概要

したがって、${\displaystyle R(x,y)+iI(x,y)}$は、ある内積の値の実部と虚部をその点で表す。${\displaystyle (x,y)\in H\times H}$その定義域の虚数部は次のようになります。 $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}~R({\color {red}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {red}1}{\text{st argument}}\\~R(x,{\color {blue}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {blue}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$ スカラー${\displaystyle i}$は常に、内積が反線形である引数と同じ引数内に位置する。

使用中${\displaystyle R(ix,y)=-R(x,iy)}$⁠、虚数部に関する上記の式は次のようになります。 $${\displaystyle I(x,y)~=~{\begin{cases}-R(x,{\color {black}i}y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}1}{\text{st argument}}\\-R({\color {black}i}x,y)&\qquad {\text{ if antilinear in the }}{\color {black}2}{\text{nd argument}}\\\end{cases}}}$$

もし${\displaystyle A:H\to Z}$は2 つのヒルベルト空間間の線形等長写像です(したがって${\displaystyle \|Ah\|=\|h\|}$すべての人々のために${\displaystyle h\in H}$） それから $${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}=\langle h,k\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H;}$$ つまり、線形等長変換は内積を保存する。

もし${\displaystyle A:H\to Z}$代わりに反線形等長変換 であるならば$${\displaystyle \langle Ah,Ak\rangle _{Z}={\overline {\langle h,k\rangle _{H}}}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H.}$$

偏光恒等式の第2形式は次のように書ける。 $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

これは基本的に、ベクトルによって形成される三角形に対する余弦定理のベクトル形式です。${\displaystyle {\textbf {u}}}$⁠、 ⁠${\displaystyle {\textbf {v}}}$⁠、そして⁠${\displaystyle {\textbf {u}}-{\textbf {v}}}$特に 、$${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}=\|{\textbf {u}}\|\,\|{\textbf {v}}\|\cos \theta ,}$$ どこ${\displaystyle \theta }$ベクトル間の角度${\displaystyle {\textbf {u}}}$そして​${\displaystyle {\textbf {v}}}$⁠ .

uとvが類似している場合、壊滅的な相殺が発生するため、この方程式は数値的に不安定であり、数値計算には使用すべきではない。

ノルムとドット積の基本的な関係は、次の式で表されます。 $${\displaystyle \|{\textbf {v}}\|^{2}={\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}}.}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}\|{\textbf {u}}+{\textbf {v}}\|^{2}&=({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\cdot ({\textbf {u}}+{\textbf {v}})\\[3pt]&=({\textbf {u}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {u}})+({\textbf {v}}\cdot {\textbf {v}})\\[3pt]&=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}+2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}),\end{aligned}}}$$ 同様に $${\displaystyle \|{\textbf {u}}-{\textbf {v}}\|^{2}=\|{\textbf {u}}\|^{2}+\|{\textbf {v}}\|^{2}-2({\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}).}$$

偏光恒等式の式（１）と（２）は、これらの式を解くことによって得られる。${\displaystyle {\textbf {u}}\cdot {\textbf {v}}}$一方、式（３）はこれら２つの式を引き算することで得られる。（これら２つの式を足し合わせると平行四辺形の法則が得られる。）

前述の通り、標準的なジョルダン・フォン・ノイマンの定理は、ノルムが平行四辺形の法則を満たすならば、偏極恒等式で定義される内積によって誘導できるというものである。この定理にはいくつかの変種がある。 ^{[ 7 ]}

直交性の様々な意味を定義する：

• 二等辺三角形:${\textstyle \|x+y\|=\|x-y\|}$
• ロバーツ氏：${\textstyle \left\|x+ty\right\|=\left\|x-ty\right\|}$すべてのスカラーに対して${\textstyle t}$。
• ピタゴラスの定理:${\textstyle \left\|x+y\right\|^{2}=\|x\|^{2}+\left\|y\right\|^{2}}$
• バーコフ＝ジェームズ：${\textstyle \|x\|\leq \|x+ty\|}$すべてのスカラーに対して${\textstyle t}$。

させて${\textstyle V}$実数または複素数上のベクトル空間とする。${\textstyle \|\cdot \|}$規範となる${\textstyle V}$ノルムが内積によって誘導される条件を考察します。以下の記述では、スカラーが現れる場合、スカラーは単に実数に限定されることがあります。${\textstyle V}$複素数に関するものです。

• （フォン・ノイマン・ジョルダン条件）ノルムは平行四辺形の恒等式を満たす。
• （弱められたフォン・ノイマン・ジョルダン条件）${\textstyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=4}$すべての単位ベクトルについて${\textstyle x,y}$つまり、ノルムは単位ベクトルの平行四辺形の恒等式を満たす。
• いかなる場合でも${\textstyle x,y\in V}$等距離にある点の集合${\textstyle x,y}$は平坦であり、すなわちアフィン部分空間である。
• 二等辺三角形の直交性、あるいはロバーツの直交性のいずれにおいても、直交性とは、1つの変数に関して加法的であるか同次的であるかのいずれかである。
• 2次元部分空間ごとに${\textstyle W\subset V}$、すべての${\textstyle x\in W}$存在する${\textstyle y\in W}$それはロバーツの直交である${\textstyle x}$。
• 二等辺三角形の直交性は、ピタゴラスの定理の直交性を意味する。
• ピタゴラスの直交性は二等辺三角形の直交性を意味する。
• もし${\textstyle x,y}$がピタゴラス直交ならば、${\textstyle x,-y}$。
• バーコフ・ジェームズ直交性は対称的である。
• もし${\textstyle \|x\|=\|y\|}$そして${\textstyle t,s}$本当なら、${\textstyle \|tx+sy\|=\|sx+ty\|}$。

実ベクトル空間においては、以下の条件も存在する。

• 単位球の任意の2次元断面は楕円であり、すなわち、次のようにパラメータ化できる。${\textstyle \{x\cos \theta +y\sin \theta$ :\theta \in [0,2\pi ]\}} 、いくつかの単位ベクトルについて${\textstyle x,y}$。

バナッハ・マズール回転問題：可分バナッハ空間が与えられた場合${\textstyle V}$任意の2つの単位ベクトルに対して${\textstyle x,y,}$線形全射等長写像が存在する${\textstyle T}$そのため${\textstyle T(x)=y}$または${\textstyle T(y)=x}$、 は${\textstyle V}$等長的にヒルベルト空間と同型か？

この問題の一般ケースは未解決である。空間が可算有限次元の場合、答えはイエスである。言い換えれば、実数または複素数上の有限次元ノルムベクトル空間が与えられたとき、単位球上の任意の点が線形等長写像によって他の任意の点に写像（回転）できる場合、ノルムは内積によって誘導される。^{[ 8 ]}

分極恒等式は内積に限定されません。${\displaystyle B}$はベクトル空間上の任意の対称双線形形式であり、${\displaystyle Q}$は、によって定義される 二次形式です。$${\displaystyle Q(v)=B(v,v),}$$ それから $${\displaystyle {\begin{aligned}2B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u)-Q(v),\\2B(u,v)&=Q(u)+Q(v)-Q(u-v),\\4B(u,v)&=Q(u+v)-Q(u-v).\end{aligned}}}$$

いわゆる対称化マップは、後者の式を一般化し、${\displaystyle Q}$次数 の同次多項式によって${\displaystyle k}$定義される${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$どこ${\displaystyle B}$対称的である${\displaystyle k}$-線形マップ。^{[ 9 ]}

上記の式は、スカラー体の標数が2の場合にも適用されますが、この場合、左辺はすべてゼロになります。したがって、標数が2の場合、対称双線形形式を二次形式で表す式は存在せず、実際にはこれらは異なる概念です。この事実はL理論において重要な意味を持ちます。簡潔にするため、この文脈では「対称双線形形式」はしばしば「対称形式」と呼ばれます。

これらの公式は可換環上の加群の双線形形式にも適用されますが、ここでも解けるのは のみです。${\displaystyle B(u,v)}$2が環内で可逆である場合とそうでない場合では、これらは異なる概念である。例えば、整数体では、整数二次形式と整数対称形式を区別するが、後者はより狭義の概念である。

より一般的には、環の対合が存在する場合、または2が可逆でない場合、${\displaystyle \varepsilon }$-二次形式と${\displaystyle \varepsilon }$-対称形式。対称形式は二次形式を定義し、二次形式から対称形式への偏極恒等式（係数2なし）は「対称化マップ」と呼ばれ、一般に同型ではありません。これは歴史的に微妙な区別でした。整数については、「2が外れる」（整数二次形式）と「2が入る」（整数対称形式）の関係が理解されたのは1950年代になってからでした（整数二次形式の議論を参照）。また、外科理論の代数化では、ミシェンコは当初、正しい二次L群（ウォールとラニッキのように）ではなく、対称L群を使用していました（L理論の議論を参照）。

最後に、これらのいずれの文脈においても、これらの恒等式は任意の次数の同次多項式（すなわち代数形式）に拡張することができ、これは偏極公式として知られており、代数形式の偏極に関する記事でより詳細に検討されています。