超平面

アフィン超平面は、アフィン空間における余次元1のアフィン部分空間である。デカルト座標では、このような超平面は次の形式の単一の線形方程式で記述できる（ここで、少なくとも1つは${\displaystyle a_{i}}$sはゼロではなく、${\displaystyle b}$（は任意の定数です）：

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b.\ }$

実アフィン空間の場合、つまり座標が実数である場合、このアフィン空間は空間を2つの半空間に分割します。これらは超平面の補空間の連結成分であり、不等式で与えられます。

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\ }$

そして

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\ }$

例えば、1次元空間では点が超平面であり、2次元空間では線が超平面であり、3次元空間では平面が超平面である。3次元空間における線は超平面ではなく、空間を2つの部分に分割しない（そのような線の補集合は連結である）。

ユークリッド空間の任意の超平面は、ちょうど2つの単位法線ベクトルを持つ。${\displaystyle \pm {\hat {n}}}$特に、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$従来の内積（ドット積）を用いると、法線ベクトルを持つアフィン部分空間を定義できる。${\displaystyle {\hat {n}}}$および元の翻訳$\displaystyle {\tilde {b}}\in \mathbb {R} ^{n+1}}$すべての集合として${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$そのため$\displaystyle {\hat {n}}\cdot (x-{\tilde {b}})=0}$。

アフィン超平面は、線形結合（斜交）決定木やパーセプトロンなど、多くの機械学習アルゴリズムで決定境界を定義するために使用されます。

ベクトル空間において、ベクトル超平面とは、余次元が1 の線形部分 空間であり、原点からベクトルだけシフトされている場合のみ平面と呼ばれる。このような超平面は、単一の線形方程式の解である。

射影超平面は射影幾何学で使用されます。射影部分空間は、集合内の任意の 2 点に対して、その 2 点によって決定される直線上のすべての点が集合に含まれるという性質を持つ点の集合です。^{[ 2 ]}射影幾何学は、消失点(無限遠点)を追加したアフィン幾何学と見なすことができます。アフィン超平面とそれに対応する無限遠点が射影超平面を形成します。射影超平面の 1 つの特殊なケースは、無限または理想超平面であり、これはすべての無限遠点の集合で定義されます。

射影空間において、超平面は空間を2つの部分に分割するのではなく、2つの超平面を用いて点を分離し、空間を分割します。これは、空間が本質的に「包み込む」構造になっているため、1つの超平面の両側が互いに繋がっているからです。

多面体 P が H と によって囲まれた 2 つの閉じた半空間のいずれかに含まれる場合、超平面 H は多面体 P の「サポート」超平面と呼ばれます。${\displaystyle H\cap P\neq \varnothing }$[ ^{3 ]} PとHの交点は多面体の「面」として定義される。多面体の理論と面の次元は、超平面を含むこれらの交点を調べることによって分析される^。