射影関数

数学において、全射関数（射影、または上関数/ˈɒn.tuː/とも呼ばれる）とは、関数 f の終域のすべての要素 y に対して、関数の定義域に f(x) = y となる要素 x が少なくとも 1 つ存在するような関数 f のことである。言い換えれば、関数 $f$ : X → $Y$ $の$ 場合 $、$ $終$ 域Y $は$ 関数の定義域 $X$ の $像$ $で$ $ある$ $。$ $[$ 1 $]$ [ $2$ ] xが^一意^で^ある^必要^は^ない $。$ $関数$ fは、X $の$ $1$ つ以上の要素を $Y$ の同じ要素に写像することができる。

全射という用語と、それに関連する単射と全単射という用語が、ニコラ・ブルバキ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}によって導入されました。ブルバキは、主にフランスの20世紀の数学者グループで、1935年からこのペンネームで、現代の高度な数学を解説する一連の本を執筆しました。フランス語のsurは「上」または「超える」という意味で、全射関数の定義域の像が関数の終域を完全に覆うという事実に関係しています。

任意の関数は、その終域を定義域の像に制限することで全射を誘導する。選択公理を仮定すると、すべての全射関数は右逆関数を持ち、右逆関数を持つ関数は必ず全射である。全射関数の合成は常に全射である。任意の関数は、全射と単射に分解できる。

意味

全射関数とは、像がその終域と等しい関数のことである。言い換えれば、関数 $f$ ドメイン付き $X$ およびコドメイン $Y$ すべてのに対してであれば全射である $y$ で $Y$ 少なくとも1つ存在する $x$ で $X$ と $f(x)=y$ ^{[ 1 ]}射影は、右向きの二方向矢印 ( U+ 21A0 ↠右向き二方向矢印)で表されることがあります。^[⁵^] $f\colon X\twoheadrightarrow Y$ 。

象徴的に言えば、

もし

f\colon X\rightarrow Y

、それから

f

は、次の場合に全射であると言われます。

\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y

[ ²^]^[⁶^]

例

定義域Xから値域Yへの**非全射関数**。Y 内の小さな黄色の楕円は、fの像（または値域）です。像が値域全体を埋めていないため、この関数は全射で**はありません**。言い換えれば、Yは 2 段階のプロセスで色付けされます。まず、Xのすべてのxに対して、点f ( *x ) が黄色に色付けされます。次に、* Y内の黄色以外のすべての点が青色に色付けされます。関数fが全射となるのは、青色の点が存在しない場合に限ります。

任意の集合Xに対して、X上の恒等関数id _Xは全射である。
f ( n ) = n mod 2 (つまり、偶数は0 に、奇数は 1 に写像される)で定義される関数 $f : Z \to {0, 1} は全射である。$
f ( x ) = 2 x + 1で定義される関数 $f : R \to R$ は全射（そして全単射）です。なぜなら、すべての実数yに対して、 f ( x ) = yとなるようなx が存在するからです。そのような適切なxは ( y − 1)/2 です。
関数 $f : R \to R は$ 、 f ( x ) = x ³ − 3 xで定義され、全射です。なぜなら、任意の実数yの逆像は、3 次多項式方程式x ³ − 3 x − y = 0 の解集合であり、実数係数を持つすべての 3 次多項式は少なくとも 1 つの実根を持つからです。しかし、この関数は単射ではありません(したがって全単射でもありません) 。例えば、 y = 2の逆像は { x = −1, x = 2} です。(実際には、すべてのy (−2 ≤ y ≤ 2 ) に対して、この関数の逆像は1 個以上の要素を持ちます。)
関数 $g : R \to Rは$ g ( x ) = x ²で定義されますが、 x ² = −1となる実数x が存在しないため $、$ 全射ではありません。しかし、制限された終域を持つ関数 $g$ $:$ $R$ $\to$ $R$ $\geq0$ は、非負の実数終域Yのすべてのyに対して $、$ $x$ $2$ ⁼yとなる実数領域Xのx $が$ 少なくとも 1 つ存在するため $、$ 全射です。
自然対数関数 $ln : (0, +\infty) \to R$ は全射であり、さらに全単射でもあります（正の実数の集合からすべての実数の集合への写像）。その逆関数である指数関数は、定義域と値域を実数の集合として定義した場合、全射ではありません（値域が正の実数の集合であるため）。
行列指数関数は、 n × n行列の空間からそれ自身への写像として考えると全射ではありません。しかし、通常は、 n × n行列の空間から次数nの一般線形群（すなわち、n × nの可逆行列の群）への写像として定義されます。この定義の下では、行列指数関数は複素行列に対しては全射ですが、実数行列に対しては依然として全射ではありません。
デカルト積 $A$ $\times$ $B$ からその因子の 1 つへの射影は、もう一方の因子が空集合でない限り、全射である。
3Dビデオゲームでは、ベクトルは射影関数を用いて2次元の平面スクリーンに投影される。

物件

関数が全単射であるのは、それが全射かつ単射である場合に限る。^[⁷^]

（よくあるように）関数をそのグラフと同一視すると、全射性は関数自体の性質ではなく、写像の性質になります。^{[ 8 ]}これは、関数とその終域を合わせたものです。単射性とは異なり、全射性は関数のグラフだけでは読み取ることができません。

全射を右可逆関数として扱う

関数g : Y → X は、 Yのすべてのyに対してf ( g ( y )) = yが成り立つ場合、関数f : X → Yの右逆関数であると言われます( g はfによって元に戻すことができます)。言い換えれば、gは、 gとfのこの順序での合成f o gがgの定義域Y上の恒等関数である場合に、fの右逆関数です。関数gは、 fの完全な逆関数である必要はありません。なぜなら、別の順序での合成g o fは、 fの定義域X上の恒等関数ではない可能性があるからです。言い換えれば、f はg を元に戻す、つまり「反転」できますが、必ずしも g によって反転されるとは限りません。たとえば、 $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x$ 右逆 $g:z\mapsto (z,0);$ 逆の順序での構成では、 $g(f((x,y)))=(x,0)$ ⁠、これは⁠に等しい $(x,y)$ ⁠のみ⁠ $y=0$ ⁠ .

右逆関数を持つ関数は必ず全射である。全射関数はすべて右逆関数を持つという命題は、選択公理と同値である。

f : X → Yが全射であり、BがYの部分集合である場合、f ( f ⁻¹ ( B )) = Bとなります。したがって、B はその逆像f ⁻¹ ( B )から復元できます。

例えば、ギャラリーの最初の図では、 g ( C ) = 4となる関数gが存在します。また、 f (4) = Cとなる関数fも存在します。gが一意でないことは問題ではありません( g ( C ) が 3 に等しい場合でも機能します)。重要なのは、 f がg を 「反転」させることだけです。

全射としてのエピモルフィズム

関数f : X → Yは、右消去可能である場合に限り全射である。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}任意の関数g、h : Y → Zが与えられたとき、g o f = h o fならば、g = hである。この性質は関数とその合成の観点から定式化され、カテゴリの射とその合成というより一般的な概念に一般化することができる。右消去可能な射は全射準同型と呼ばれる。具体的には、全射関数は集合のカテゴリにおける全射準同型である。接頭辞epiは、ギリシャ語の前置詞ἐπίに由来し、上、上、上を意味する。

右逆写像を持つ射はすべて全射であるが、一般にその逆は成り立たない。射fの右逆写像gはfの切断と呼ばれる。右逆写像を持つ射は分裂全射と呼ばれる。

二項関係としての射影

定義域Xと終域Yを持つ任意の関数は、その関数グラフと同一視することで、XとYの間の左全かつ右一意の二項関係として捉えることができる。定義域Xと終域Yを持つ全射関数は、 XとYの間の二項関係であり、右一意かつ左全かつ右全である。

全射の定義域の濃度

全射関数の定義域の濃度は、その終域の濃度以上である。すなわち、f : X → Yが全射関数であるならば、基数的な意味で、 X はYと少なくとも同数の要素を持つ。（証明では、選択公理を用いて、 Yのすべてのyに対してf ( g ( y )) = yを満たす関数g : Y → Xが存在することを示す。gは容易に単射であることが分かるため、| Y | ≤ | X | の形式的な定義が満たされる。）

具体的には、XとYが両方とも同じ数の要素を持つ有限集合である場合、 f : X → Yは、 fが単射である場合に限り全射となります。

構成と分解

全射関数の合成は常に全射です。f と g が両方とも全射で、g の終域が f の定義域と等しい場合、f o gは全射です。逆に、 f o g が全射であれば、fは全射です（ただし、最初に適用される関数gは必ずしも全射である必要はありません）。これらの性質は、集合の圏における全射から、任意の圏における任意の全射準同型に一般化されます。

任意の関数は全射と単射に分解できます。任意の関数h : X → Zに対して、 h = g o fとなるような全射f : X → Yと単射g : Y → Zが存在します。これを確認するには、zがh ( X )に含まれるとき、y をh ⁻¹ ( z )の逆像の集合と定義します。これらの逆像は互いに素で、Xを分割します。すると、f は各x をそれを含むYの要素に運び、gはYの各要素をh がその点を送るZの点に運びます。fは射影写像なので全射であり、gは定義により単射です。

誘導全射と誘導全単射

任意の関数は、その終域を値域に制限することで全射を誘導します。任意の全射関数は、与えられた固定像に写像するすべての引数を縮約することで、その定義域の商空間上で定義された全単射を誘導します。より正確には、すべての全射f : A → Bは、次のように射影とそれに続く全単射として因数分解できます。A / ~ を、次の同値関係の下での A の同値類とします。x ~ yは、 f ( x ) = f ( y )の場合に限ります。同等に、A /~ は、f の下でのすべての逆像の集合です。P (~) : A → A /~ を、 Aの各x をその同値類 [ x ] _~に送る射影写像とし、f _P : A /~ → Bを、 f _P ([ x ] _~ ) = f ( x )で与えられるwell-defined関数とします。すると、f = f _P o P (~) となります。

全射の集合

固定された有限集合 $A$ と $Bが与えられたとき、全射$ $A ↠ B$ の集合を構成できる。この集合の濃度は、ロータの十二の道の 12 の側面の 1 つであり、次のように与えられる。 ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ 、どこ ${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ は第2種スターリング数を表す。

ギャラリー

非単射の全射関数（全射であって、全単射ではない）
単射全射関数（全単射）
単射で全射ではない関数（単射であって全単射ではない）
単射でも全射でもない関数（全単射でもない）

参考文献

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↑ジェフ・ミラー、「単射、全射、全単射」、数学用語の初期の使用例、Tripod。
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↑ 「矢印 – Unicode」（PDF）。 2013年5月11日取得。
↑ Farlow, SJ 「単射、全射、全単射」(PDF) . math.umaine.edu . 2019年12月6日取得.
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↑ 「射影が右キャンセル可能である場合」。ProofWiki 。2025年6月30日取得。

さらに読む

ブルバキ、N. (2004) [1968].集合論.数学の基礎. 第 1巻. Springer. doi : 10.1007/978-3-642-59309-3 . ISBN 978-3-540-22525-6。LCCN 2004110815。

[:0-1] 1 2 「単射、全射、全単射」。www.mathsisfun.com。2019年12月7日取得。

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[3] ジェフ・ミラー、「単射、全射、全単射」、数学用語の初期の使用例、Tripod。

[4] マシャール、モーリス (2006)。ブルバキ。アメリカ数学会。p. 106。ISBN 978-0-8218-3967-6。

[Unicode_Arrows-5] 「矢印 – Unicode」（PDF）。 2013年5月11日取得。

[6] Farlow, SJ 「単射、全射、全単射」(PDF) . math.umaine.edu . 2019年12月6日取得.

[7] 「関数が全単射であるのは、逆関数を持つ場合のみである」（PDF）。コロラド大学ボルダー校。2015年11月30日。 2022年3月16日にオリジナルからアーカイブ（PDF）。 2026年6月22日取得。fが単射かつ全射である場合、fは全単射であると言います。

[8] TM アポストル (1981).数学解析. アディソン・ウェスリー. p. 35.

[9] ゴールドブラット、ロバート (2006) [1984].トポイ、論理の範疇分析（改訂版）.ドーバー出版. ISBN 978-0-486-45026-12009年11月25日に取得。

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