スペクトル（機能解析）

数学、特に関数解析において、有界線型作用素（またはより一般的には非有界線型作用素）のスペクトルは、行列の固有値の集合の一般化である。具体的には、複素数が有界線型作用素のスペクトル内にあるとは次の場合である。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T-\lambda I}$

• どちらにも集合論的な逆元はありません。
• あるいは集合論的逆元は有界ではないか、非稠密な部分集合上で定義されている。^[1]

ここで、は恒等演算子です。 ${\displaystyle I}$

閉グラフ定理により、がスペクトル内にあることと、有界演算子が上で非一様であることに限ります。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T-\lambda I:V\to V}$${\displaystyle V}$

スペクトルとそれに関連する特性の研究はスペクトル理論として知られており、数多くの応用がありますが、最も有名なのは量子力学の数学的定式化です。

有限次元 ベクトル空間上の作用素のスペクトルは、まさに固有値の集合である。しかし、無限次元空間上の作用素はスペクトル内に追加の要素を持つ場合があり、固有値を持たない場合もある。例えば、ヒルベルト空間ℓ ²上の右シフト作用素Rを考える。

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).}$

これには固有値がありません。なぜなら、Rx = λxの場合、この式を展開すると、x ₁ =0、x ₂ =0 などとなるからです。一方、 0 はスペクトル内にあります。これは、演算子R  − 0 (つまり、R自体) は可逆ですが、その逆はℓ ²に稠密でない集合上で定義されているためです。実際、複素バナッハ空間上のすべての有界線形演算子は、空でないスペクトルを持つ必要があります。

スペクトルの概念は、非有界（つまり、必ずしも有界ではない）演算子にまで拡張されます。複素数 λ は、その全体で定義された有界逆が存在しない場合に、ドメイン上で定義された非有界演算子のスペクトル内にあると言われます。Tが閉じている 場合（ Tが有界である場合を含む）、T の存在から、その有界性が自動的に生じます。 ${\displaystyle T:\,X\to X}$${\displaystyle D(T)\subseteq X}$${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$

バナッハ空間X上の有界線型作用素の空間B ( X ) は、単位バナッハ代数の一例です。スペクトルの定義では、そのような代数が持つ特性以外にB ( X ) の特性について何も言及されていないため、同じ定義をそのまま使用して、スペクトルの概念をこの文脈に一般化することができます。

を複素スカラー体 上のバナッハ空間に作用する有界線型作用素とし、を上の恒等作用素とします。のスペクトルは、作用素が有界線型作用素である逆作用素を持たない すべてのものの集合です。${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$

は線型演算子なので、逆は存在する場合は線型です。また、有界逆定理により、それは有界です。したがって、スペクトルは、が全単射ではないスカラーのみで構成されます。 ${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T-\lambda I}$

与えられた演算子のスペクトルはと表記されることが多く、その補集合であるレゾルベントセットはと表記されます。 （は のスペクトル半径を表すために使用されることもあります。） ${\displaystyle T}$${\displaystyle \sigma (T)}$${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$${\displaystyle \rho (T)}$${\displaystyle T}$

が の固有値である場合、演算子は1 対 1 ではないため、その逆は定義されません。ただし、逆の記述は真ではありません。 が固有値でない場合でも、演算子に逆がない可能性があります。したがって、演算子のスペクトルには常にそのすべての固有値が含まれますが、それらに限定されるわけではありません。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \lambda}$

例えば、実数の 双無限列全体からなるヒルベルト空間を考える。${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )}$

は有限の平方和を持ちます。両側シフト演算子は、シーケンスのすべての要素を 1 つずつシフトするだけです。つまり、の場合、すべての整数 に対して が成り立ちます。固有値方程式は、この空間に非ゼロの解を持ちません。これは、すべての値が同じ絶対値を持つ ( の場合)、または等比数列である ( の場合) ことを意味するためであり、いずれにしても、それらの平方和は有限ではありません。ただし、の場合、演算子は可逆ではありません。たとえば、となるシーケンスは に存在しますが、となるシーケンスはに存在しません(つまり、すべての に対して)。 ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle u=T(v)}$${\displaystyle u_{i}=v_{i-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T(v)=\lambda v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \vert \lambda \vert =1}$${\displaystyle \vert \lambda \vert \neq 1}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle |\lambda |=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{i}=1/(|i|+1)}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle (TI)v=u}$${\displaystyle v_{i-1}=u_{i}+v_{i}}$${\displaystyle i}$

有界演算子Tのスペクトルは、常に複素平面の閉じた有界部分集合です。

スペクトルが空の場合、レゾルベント関数は

${\displaystyle R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,}$

は複素平面上のどこでも定義され、有界になります。しかし、レゾルベント関数R はその定義域で正則であることが示されます。リウヴィルの定理のベクトル値バージョンにより、この関数は定数であり、したがって、無限大でゼロであるのと同じように、どこでもゼロになります。これは矛盾です。

スペクトルの有界性は、λにおけるノイマン級数展開から得られます。スペクトルσ ( T )は|| T ||によって有界になります。同様の結果から、スペクトルが閉じていることが分かります。

スペクトルの境界 || T || はいくらか洗練される。Tのスペクトル半径r ( T ) は、複素平面上で原点を中心とし、スペクトルσ ( T ) を内部に含む最小の円の半径である。つまり、

${\displaystyle r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.}$

スペクトル半径の公式^[2]によれば、バナッハ代数の任意の要素に対して、 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.}$

スペクトルの定義をバナッハ空間X上の非有界演算子に拡張することができます。これらの演算子はバナッハ代数B ( X ) の要素ではなくなります。

X をバナッハ空間とし、 を領域で定義された線型作用素とする。複素数λが の解決集合（正則集合とも呼ばれる）に含まれるとは、作用素 ${\displaystyle T:\,D(T)\to X}$${\displaystyle D(T)\subseteq X}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle T-\lambda I:\,D(T)\to X}$

有界などこでも定義される逆関数が存在する、つまり有界な演算子が存在する場合

${\displaystyle S:\,X\rightarrow D(T)}$

そのような

${\displaystyle S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.}$

複素数λ がレゾルベント セット内にない 場合、複素数λ はスペクトル内に存在します。

λ がレゾルベント内にある（つまりスペクトル内にない）ためには、有界の場合と同様に、両側逆関数が存在する必要があるため、全単射でなければなりません。前と同様に、逆関数が存在する場合、その線形性は即時ですが、一般には有界ではない可能性があるため、この条件は個別に確認する必要があります。 ${\displaystyle T-\lambda I}$

閉グラフ定理により、 Tが閉じているとき、その存在から の有界性が直接導かれます。すると、有界の場合とまったく同じように、複素数λ が閉演算子Tのスペクトル内にあるのは、 が全単射でない場合のみです。閉じた演算子のクラスには、すべての有界演算子が含まれることに注意してください。 ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ ${\displaystyle T-\lambda I}$

非有界演算子のスペクトルは一般に、複素平面の閉じた、場合によっては空のサブセットです。演算子Tが閉じていない場合は、 となります。 ${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} }$

バナッハ空間上の有界作用素T は、 Tが下方に有界である場合、つまりある に対して稠密な範囲を持つ場合に限り、可逆、つまり有界逆を持ちます。したがって、 Tのスペクトルは次の部分に分割できます。 ${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|,}$${\displaystyle c>0,}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$が下方に有界でない場合は、このようになります。特に、が単射でない場合、つまりλ が固有値である場合にこれが当てはまります。固有値の集合はTの点スペクトルと呼ばれ、 σ _p ( T )で表されます。あるいは、 は1 対 1 であっても、下方に有界でない場合があります。このようなλ は固有値ではありませんが、Tの近似固有値です(固有値自体も近似固有値です)。近似固有値の集合 (点スペクトルを含む) はTの近似点スペクトルと呼ばれ、 σ _ap ( T )で表されます。${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle T-\lambda I}$
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$が稠密な範囲を持たない場合、λはTの圧縮スペクトルに含まれると言われ、 と表記されます。が稠密な範囲を持たないが単射である場合、 λ はTの残差スペクトルに含まれると言われ、 と表記されます。${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {res} }(T)}$

近似点スペクトルと残差スペクトルは必ずしも互いに素ではないことに注意する^[3]（ただし、点スペクトルと残差スペクトルは互いに素である）。

以下のサブセクションでは、上で概説したσ ( T )の3つの部分について詳しく説明します。

演算子が単射でない場合（つまり、T ( x ) = 0となる非ゼロのx が存在する場合）、その演算子は明らかに逆変換不可能である。したがって、 λ がTの固有値である場合、必然的にλ  ∈  σ ( T ) となる。 Tの固有値の集合はTの点スペクトルとも呼ばれ、 σ _p ( T )と表記される。著者によっては、点スペクトルの閉包を純粋点スペクトルと呼ぶ一方、他の著者は単に^{[4] [5]とみなしている。} ${\displaystyle \sigma _{pp}(T)={\overline {\sigma _{p}(T)}}}$${\displaystyle \sigma _{pp}(T):=\sigma _{p}(T).}$

より一般的には、有界逆定理により、T は、それが下方に有界でない場合、つまり、すべてのx ∈ Xに対して || Tx || ≥  c || x ||となるようなc  > 0が存在しない場合には、逆関数ではない。したがって、スペクトルには近似固有値の集合、つまりT - λIが下方に有界でないλが含まれる。つまり、それは単位ベクトルのシーケンスx ₁、x ₂ 、...が存在するλの集合である。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0}$。

近似固有値の集合は近似点スペクトルと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ap} }(T)}$

固有値が近似点スペクトル内にあることは容易にわかります。

例えば、次のように定義される 右シフトRを考える。${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,}$

ここで、はにおける標準正規直交基底である。直接計算すると、Rには固有値はないが、 となるすべてのλは近似固有値であることがわかる。x _{n を}ベクトルとすると、 ${\displaystyle {\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle |\lambda |=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )}$

すべてのnに対して|| x _n || = 1であることがわかりますが、

${\displaystyle \|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.}$

Rはユニタリ演算子なので、そのスペクトルは単位円上にあります。したがって、Rの近似点スペクトルはそのスペクトル全体です。

この結論は、より一般的なクラスの演算子にも当てはまります。ユニタリ演算子は正規演算子です。スペクトル定理により、ヒルベルト空間 H 上の有界演算子は、( Hを空間と同一視した後)乗算演算子と同値である場合に限り、正規演算子になります。有界乗算演算子の近似点スペクトルは、そのスペクトルに等しいことが示されます。 ${\displaystyle L^{2}}$

離散スペクトルは、正規の固有値の集合として定義される。または、同等に、対応するリース射影が有限階数であるスペクトルの孤立点の集合として定義される。したがって、離散スペクトルは点スペクトルの厳密な部分集合である。すなわち、${\displaystyle \sigma _{d}(T)\subset \sigma _{p}(T).}$

λが単射かつ稠密な範囲を持ち、かつ全射ではない集合は、 Tの連続スペクトルと呼ばれ、 と表記される 。したがって、連続スペクトルは、固有値ではなく残差スペクトルに含まれない近似固有値から構成される。つまり、 ${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathbb {c} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))}$。

たとえば、、、は単射であり稠密な範囲を持ちますが、 です。実際、となるような場合、 が必ずしも になるわけではなく、 になります。 ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j}/j}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )}$${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle c_{j}\in \mathbb {C} }$${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$

が稠密な範囲を持たないの集合はT の圧縮スペクトルとして知られ、 と表記されます 。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cp} }(T)}$

が単射であるが稠密な範囲を持たないの集合はTの残差スペクトルとして知られ、 と表されます 。 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).}$

演算子は単射で、下方に有界であっても、可逆ではない場合があります。、、の右シフトがその一例です。 このシフト演算子は等長変換 であるため、下方に 1 で有界です。 しかし、これは全射 ( ) ではないため可逆ではなく、さらに ( )で稠密でもありません。 ${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (R)}$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}}$

演算子の周辺スペクトルは、そのスペクトル半径に等しい係数を持つスペクトル内の点の集合として定義されます。^[6]

閉じた密定義線形作用素の本質スペクトルには、次の式を満たす 5つの類似の定義がある。${\displaystyle A:\,X\to X}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).}$

これらすべてのスペクトルは、自己随伴演算子の場合には一致します。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5}$

1. 本質的なスペクトルは、が半フレドホルムではないようなスペクトルの点の集合として定義されます。(演算子 が半フレドホルムであるのは、その値域が閉じており、その核または余核のいずれか (または両方) が有限次元である場合です。)例 1:演算子 に対して、(この演算子 の値域は閉じていないため: 値域には のすべては含まれませんが、その閉包には が含まれます)。例 2:に対して、(任意の に対して、(この演算子の核と余核の両方が無限次元であるため)。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle l^{2}(\mathbb {N} )}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)}$${\displaystyle N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle N:\,v\mapsto 0}$${\displaystyle v\in l^{2}(\mathbb {N} )}$
2. 本質的なスペクトルは、演算子が無限次元の核を持つか、または値域が閉じていないスペクトルの点の集合として定義されます。これは、ワイルの基準によって特徴付けることもできます。つまり、空間Xに、、かつとなるようなシーケンスが存在し、 には収束する部分シーケンスが含まれないということです。このようなシーケンスは、特異シーケンス(または特異ワイルシーケンス) と呼ばれます。例:演算子 について、jが偶数でjが奇数のとき(核は無限次元、余核はゼロ次元)。 に注意してください。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$ ${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \Vert x_{j}\Vert =1}$${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$${\displaystyle (x_{j})_{j\in \mathbb {N} }}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)}$${\displaystyle B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}}$${\displaystyle e_{j}\mapsto 0}$${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)}$
3. 本質的なスペクトルは、がフレドホルムではないようなスペクトルの点の集合として定義されます。(演算子 がフレドホルムとなるのは、その値域が閉じており、その核と余核が両方とも有限次元である場合です。)例:演算子 の場合、(核は 0 次元、余核は無限次元)。 であることに注意してください。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)}$${\displaystyle J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}}$${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)}$
4. 本質的なスペクトルは、指数 0 のフレドホルムではないスペクトルの点の集合として定義されます。また、コンパクトな摂動によって保存されるAのスペクトルの最大部分として特徴付けることもできます。言い換えると、 であり、ここで はX上のすべてのコンパクトな演算子の集合を表します。例:ここで は右シフト演算子 であり、(その核は 0、その余核は 1 次元)の場合です。 であることに注意してください。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A-\lambda I}$${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$${\displaystyle B_{0}(X)}$
   ${\displaystyle \lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)}$
5. 本質的なスペクトルは、レゾルベント セット と交わらない のすべての成分とのの和集合です。 として特徴付けることもできます。例: 、について、演算子 を考えます。であるため、 が成り立ちます。を持つ任意のについて、 の値域は稠密ですが閉じていません。したがって、単位円の境界は、本質的なスペクトルの最初のタイプ、 にあります。 を持つ任意の について、は閉範囲、1 次元カーネル、および 1 次元コカーネルを持つため、については ですが、 については となります。したがって、 については となります。 には、およびの 2 つの成分があります。 成分は、定義により、レゾルベント セット と交わりません。${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (A)}$${\displaystyle \sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$
   ${\displaystyle T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}}$${\displaystyle j\neq 0}$${\displaystyle T:\,e_{0}\mapsto 0}$${\displaystyle \Vert T\Vert =1}$${\displaystyle \sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle T-zI}$${\displaystyle \partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle T-zI}$${\displaystyle z\in \sigma (T)}$${\displaystyle z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}}$${\displaystyle 1\leq k\leq 4}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}}$${\displaystyle \{|z|<1\}}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}}$

水素原子は、異なるタイプのスペクトルの例です。定義域を持つ水素原子ハミルトニアン演算子 には、離散的な固有値セット（離散スペクトル、この場合、連続スペクトルに埋め込まれた固有値がないため、点スペクトルと一致する）があり、これはリュードベリ公式によって計算できます。それらの対応する固有関数は、固有状態、または束縛状態と呼ばれます。イオン化プロセスの結果は、スペクトルの連続部分（衝突/イオン化のエネルギーは「量子化」されていません）によって記述され、 によって表されます（これは、本質的なスペクトル とも一致します）。^{[引用が必要] [説明が必要]}${\displaystyle H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}}$${\displaystyle Z>0}$${\displaystyle D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(H)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(H)}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )}$

X をバナッハ空間と稠密な領域を持つ閉線型作用素とする。X *がXの双対空間であり、がTのエルミート随伴である場合、 ${\displaystyle T:\,X\to X}$${\displaystyle D(T)\subset X}$${\displaystyle T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}}$

${\displaystyle \sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.}$

また、次の議論からもわかります : X はX**に等長的に埋め込まれます。したがって、 の核内のすべての非ゼロ要素に対して、で消えるX**の非ゼロ要素が存在します。したがって、 は稠密ではありません。 ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}}$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$${\displaystyle \mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)}$

さらに、Xが反射的である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)}$

Tがコンパクト演算子、またはより一般的には非本質的演算子である場合、スペクトルは可算であり、ゼロが唯一の可能な蓄積点であり、スペクトル内の任意の非ゼロλが固有値であることが示されます。

有界演算子は、（言い換えれば、 Aのスペクトル半径がゼロに等しい場合）準有界演算子である。このような演算子は、次の条件によって特徴付けられる。 ${\displaystyle A:\,X\to X}$${\displaystyle \lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle \sigma (A)=\{0\}.}$

このような演算子の例としては、の があります。 ${\displaystyle A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )}$${\displaystyle e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}}$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

X がヒルベルト空間で、T が自己随伴演算子(または、より一般的には正規演算子)である場合、スペクトル定理として知られる注目すべき結果により、正規の有限次元演算子 (たとえば、エルミート行列) に対する対角化定理と同様の結果が得られます。

自己随伴演算子の場合、スペクトル測度を使用して、スペクトルを絶対連続部分、純粋な点部分、および特異部分に 分解することを定義できます。

レゾルベントとスペクトルの定義は、複素化を介して、実体（複素体 ではなく）上のバナッハ空間に作用する任意の連続線型作用素に拡張できます。この場合、レゾルベント集合を、複素化空間 に作用する作用素として可逆であるすべてのの集合として定義し、 を定義します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \rho (T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$${\displaystyle T_{\mathbb {C} }-\lambda I}$${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)}$

実バナッハ空間 に作用する連続線型作用素 の実スペクトルは、に作用する有界線型作用素の実代数において可逆でない のすべての の集合として定義されます。この場合、 となります。実スペクトルは複素スペクトルと一致する場合も一致しない場合もあります。特に、実スペクトルは空である可能性があります。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma _{\mathbb {R} }(T)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle T-\lambda I}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)}$

B を単位e を含む複素バナッハ代数とする。そして、 Bの元xのスペクトルσ ( x ) (またはより明示的にσ _B ( x )) を、 Bにおいてλe  −  xが逆でない 複素数λの集合として定義する。 B ( X ) は単位バナッハ代数であるため、これはバナッハ空間X上の有界線型作用素B ( X )の定義を拡張する。

• 必須スペクトル
• 離散スペクトル（数学）
• 自己随伴演算子
• 擬似スペクトル
• 解決セット