二乗可積分関数

数学では、二乗可積分関数、または二次可積分関数とも呼ばれる関数は、 $\displaystyle L^{2}}$ 関数または二乗可積分関数、^{[ 1 ]}は、絶対値の二乗の積分が有限である実数値または複素数値の可測関数です。したがって、実数直線上での二乗可積分性は $(-\infty ,+\infty )$ は以下のように定義される。

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ 二乗積分可能 }}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty$

有界区間における二次積分可能性についても言及することができる。 $[a,b]$ のために $a\leq b$ [ ²^]

$\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ 区間 [a,b] 上で二乗積分可能 \quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

同等の定義としては、関数自体の二乗（絶対値の二乗ではなく）がルベーグ積分可能であると述べることができる。これが成り立つためには、実部の正負両方の積分値、および虚部の積分値がともに有限でなければならない。

（ルベーグ測度に関する）二乗可積分関数（の同値類）のベクトル空間は、 $\displaystyle L^{p}}$ スペースと $p=2.$ その中で $\displaystyle L^{p}}$ 空間において、二乗可積分関数のクラスは、角度や直交性といった概念を定義できる内積と互換性があるという点で独特です。この内積とともに、二乗可積分関数はヒルベルト空間を形成します。なぜなら、すべての $\displaystyle L^{p}}$ それぞれのスペースは完成しています $p$ -規範。

この用語は、特定の関数を指すのではなく、ほとんどあらゆる点で等しい関数の同値類を指すために使われることが多い。

物件

二乗可積分関数（ここでいう「関数」とは、ほとんど至るところで等しい関数の同値類を意味する）は、内積が次式で与えられる内積空間を形成する。 $\langle f,g\rangle =\int _{A}{\overline {f(x)}}\ g(x)\mathrm {d} x,$ どこ

$f$ そして $g$ は二乗可積分関数であり、
${\overline {f(x)}}$ は、 $f(x),$
$A$ は、積分を行う集合である。最初の定義（上記の序論で述べたもの）では、 $A$ は $(-\infty ,+\infty )$ 2番目では、 $A$ は $[a,b]$ 。

以来 $|a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}$ 二乗可積分性とは、 $\langle f,f\rangle <\infty .\,$

二乗可積分関数は、上述の内積によって誘導される距離の下で完備な距離空間を形成することが示せる。完備な距離空間はコーシー空間とも呼ばれる。なぜなら、そのような距離空間における数列は、コーシー数列である場合に限り収束するからである。ノルムによって誘導される距離の下で完備な空間はバナッハ空間である。したがって、二乗可積分関数の空間は、ノルムによって誘導される距離の下でバナッハ空間であり、この距離は内積によって誘導される。内積の追加的な性質があるため、この空間は特にヒルベルト空間である。なぜなら、この空間は内積によって誘導される距離の下で完備だからである。

この内積空間は慣習的に次のように表される。 $\left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)$ そして多くの場合、次のように略される $L_{2}.$ ご了承ください $L_{2}$ は二乗可積分関数の集合を表しますが、この表記法では計量、ノルム、内積の選択は指定されていません。集合は、特定の内積とともに $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}$ 内積空間を指定します。

二乗可積分関数の空間は $\displaystyle L^{p}}$ 空間 $p=2.$

例

機能 ${\tfrac {1}{x^{n}}},$ 定義済み $(0,1),$ は $\displaystyle L^{2}}$ のために $n<{\tfrac {1}{2}}$ しかし、 $n={\tfrac {1}{2}}.$ ^{[ 1 ]} 関数 ${\tfrac {1}{x}},$ 定義済み $[1,\infty ),$ 二乗可積分である。^{[ 3 ]}