連続関数計算

数学、特に作用素論とC*-代数理論において、連続関数計算は、 C*-代数の 正規要素に連続関数を適用できるようにする関数計算です。

高度な理論では、この関数計算の応用は非常に自然であるため、言及されることさえないことが多い。連続関数計算が、 C*-代数と、正則関数計算のみが存在する一般バナッハ代数との違いを生んでいると言っても過言ではない。

バナッハ代数の元のスペクトル上の多項式に対する自然な関数計算を、スペクトル上の連続関数に対する関数計算に拡張したい場合、ストーン・ワイエルシュトラスの定理に従って連続関数を多項式で近似し、これらの多項式に元を挿入して、この元列が に収束することを示すことは明らかです。 上の連続関数は、およびの多項式、つまり形式 の多項式によって近似されます。ここで、 は複素共役を表し、これは複素数上の反転です。^[1]この種の多項式の代わりに を挿入できるようにするには、バナッハ *-代数、つまり反転 * も持つバナッハ代数を考慮し、の代わりに が挿入されます。準同型を得るためには、多項式環が可換 であるため、通常の元、つまり を持つ元への制限が必要です。が連続関数 に一様収束する多項式列である場合、 の列が要素に収束することが保証されなければなりません。 この収束問題を詳細に分析すると、C*-代数に頼る必要があることがわかります。 これらの考慮は、いわゆる連続関数計算につながります。 ${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle C(\sigma (a))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$${\displaystyle {\overline {z}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle z}$${\displaystyle a^{*}}$${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a)}$

*-準同型性により、すべての関数とスカラーには以下の計算規則が適用される: ^[4]${\displaystyle f,g\in C(\sigma (a))}$ ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$

したがって、実際に正規要素を連続関数に挿入すると、明らかな代数演算が期待どおりに動作することがわかります。

単位元の必要性は大きな制約ではない。必要であれば、単位元を付加して拡大C*-代数 を得ることができる。すると、およびが である場合、 およびとなる。^[5]${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$

連続関数計算の存在と一意性は別々に証明されます。

• 存在:およびによって生成されたC*-部分代数におけるのスペクトルはにおける のスペクトルと同じなので、 に対する のステートメントを示せば十分です。^[6]実際の構築はゲルファント表現からほぼ直接的です。をあるコンパクト空間上の連続関数の C*-代数であると仮定し、 を定義すれば十分です。^[7]${\displaystyle a}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$

• 一意性:と は固定されているので、はすべての多項式 に対して既に一意に定義されています。は *-準同型であるためです。 これらは、ストーン-ワイエルシュトラスの定理によりの稠密な部分代数を形成します。 したがって は一意です。^[7]${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$${\displaystyle \Phi_{a}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$${\displaystyle \Phi_{a}}$${\displaystyle C(\sigma (a))}$${\displaystyle \Phi_{a}}$

関数解析では、正規作用素に対する連続関数計算がしばしば関心の対象になる。つまり、 がヒルベルト空間上の有界作用素のC*-代数である場合である。文献では、連続関数計算は、この設定での自己随伴作用素に対してのみ証明されることが多い。この場合、証明にはゲルファント表現は必要ない。^[8]${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ ${\displaystyle H}$

連続関数計算は、とによって生成されるC*部分代数への等長同型であり、次のようになる。^[7]${\displaystyle \Phi_{a}}$ ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}}$すべての に対して、したがって連続です。${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \Phi_{a}}$
• ${\displaystyle \Phi _{a}\left(C(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}}}$

はの正規元なので、およびによって生成されるC*-部分代数は可換である。特に、は正規であり、関数計算のすべての要素は可換である。^[9]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle f(a)}$

正則関数計算は連続関数計算によって明確に拡張される。[ ^10]したがって、多項式の場合、連続関数計算は多項式に対する自然な関数計算に対応し、 のすべての場合において となる。^[3]${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$${\textstyle \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_ {k,l}a^{k}(a^{*})^{l}}$${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{ l}}$${\displaystyle c_{k,l}\in \mathbb {C} }$

関数 に一様収束する関数の列の場合、は に収束します。^[11]冪級数の場合、はに絶対一様収束するため、が成り立ちます。^[12]${\displaystyle f_{n}\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle f_{n}(a)}$${\displaystyle f(a)}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$

およびの場合、それらの合成に対して が成り立ちます。^[5]が 2 つの正規元であり、 がと の両方におけるの逆関数である場合、であるため が成り立ちます。^[13]${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle f(a)=f(b)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (b)}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$

スペクトル写像定理は、すべての に対して適用されます。^[7]${\displaystyle \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

に対して が成り立つなら、すべての に対しても が成り立ちます。つまり、が と交換可能であれば、連続関数計算 の対応する要素とも交換可能です。^[14]${\displaystyle ab=ba}$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f(a)b=bf(a)}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a)}$

をC*-代数と間の単位*-準同型とする。すると、連続関数計算と可換となる。以下はすべての に対して成立する。特に、連続関数計算はゲルファント表現と可換である。^[4]${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Psi (f(a))=f(\Psi (a))}$${\displaystyle f\in C(\sigma (a))}$

スペクトル写像定理によれば、特定の性質を持つ関数はC*-代数の要素の特定の性質に直接関連付けられる。^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$が逆関数である場合、かつその場合に限り、 は上に零点を持たない。^[16]ならば成り立つ。^[17]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$

• ${\displaystyle f(a)}$が自己随伴となるのは、が実数値、すなわち の場合のみです。${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(a)}$が正( ) となるのは、すなわち の場合のみである。${\displaystyle f(a)\geq 0}$${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(a)}$のすべての値が円群内にある場合、つまり の場合、 はユニタリです。${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle f(a)}$が と のみの​​値を取る場合、つまり の場合、 は射影です。${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$

これらは、アプリケーション セクションに示されている特定の要素のスペクトルに関する記述に基づいています。

ヒルベルト空間 の有界作用素の C*-代数 という特殊なケースでは、正規作用素 の固有値 の固有ベクトルは、作用素 の固有値 の固有ベクトルでもある。の場合には、もすべての に対して成り立つ。^[18]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$${\displaystyle f(T)}$${\displaystyle Tv=\lambda v}$${\displaystyle f(T)v=f(\lambda )v}$${\displaystyle f\in \sigma (T)}$

以下の応用例は、連続関数計算の数多くの応用例のうち、典型的で非常に単純な例です。

をC*-代数と正規元とする。するとスペクトルには次が当てはまる: ^[15]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle \sigma (a)}$

• ${\displaystyle a}$が自己随伴となるのは、 の場合のみです。${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle a}$がユニタリであるのは、 の場合のみです。${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}}$
• ${\displaystyle a}$が射影となるのは、 の場合のみです。${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

証明。^[3]正規元に対する連続関数計算はとの*準同型であり、したがっても自己随伴/ユニタリ/射影である場合、 は自己随伴/ユニタリ/射影である。 まさにそのとき は、すべての に対して成り立つ場合、すなわち が実数である場合、自己随伴である。まさにそのとき は、すべての に対して成り立つ場合、ユニタリであるため、 である。まさにそのとき は、すべての に対して成り立つ場合、すなわち である場合、かつその場合に限り、射影である。${\displaystyle \Phi _{a}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} )=a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {Id} \in C(\sigma (a))}$${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle {\text{Id}}}$${\displaystyle 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$${\displaystyle {\text{Id}}}$${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z)}}$${\displaystyle z^{2}=z={\overline {z}}}$${\displaystyle z\in \sigma (a)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

をC*-代数 の正元とする。すると、任意の に対して を満たす一意に決まる正元、つまり一意の - 乗根が存在する。[ 19 ^]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle b^{n}=a}$${\displaystyle n}$

証明。各 に対して、ルート関数は上の連続関数です。が連続関数解析を使用して定義されている場合、解析の性質から が従います。 スペクトル写像定理から、つまり が正になります。 [ ^19]が の別の正の要素である場合、が成り立ちます。これは、正の実数上のルート関数が関数 の逆関数であるためです。^[13]${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a}$${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$

が自己随伴元である場合、少なくとも任意の奇数に対して、を持つ一意に決定される自己随伴元が存在する。^[20]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle b^{n}=a}$

同様に、 C*-代数 の正の元に対して、それぞれは の一意に決定された正の元を定義し、がすべての に対して成り立つようにします。が可逆である場合、これは の負の値にも拡張できます。^[19]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \alpha \geq 0}$${\displaystyle a^{\alpha }}$${\displaystyle C^{*}(a)}$${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$${\displaystyle \alpha ,\beta \geq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$

ならば、要素は正であり、正の実数上で連続であるため、絶対値は連続関数計算によって定義できます。^[21]${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a^{*}a}$${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$

をC*-代数 の自己随伴元とすると、が成り立つ正の元 が存在する。元と は、正の部分 と負の部分とも呼ばれる。^[22]さらに、が成り立つ。^[23]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$

証明。関数およびは、および上で連続な関数である。およびをおく。スペクトル写像定理によれば、およびは、およびが成り立つ正の元である。^[22]さらに、が成り立つ。^[23]${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)}$${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0}$${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a)}$${\displaystyle a_{-}=f_{-}(a)}$${\displaystyle a_{+}}$${\displaystyle a_{-}}$${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}}$${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}}$ ${\textstyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}}}$${\textstyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}}$

が単位元 を持つC*-代数の自己随伴元である場合、 はユニタリであり、 は虚数単位を表します。逆に、 がユニタリ元である場合、スペクトルが単位円の適切な部分集合であるという制約、つまりを持つ自己随伴元が存在する。^[24]${\displaystyle a}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$${\displaystyle \mathrm {i} }$${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$

証明。^[24]は の場合であり、は自己随伴なので、 、すなわち はのスペクトル上の関数であることがわかります。なので、関数計算を使用すると、すなわち はユニタリになります。他のステートメントに対して が存在するので、関数はのスペクトル上の実数値連続関数であり、 はを満たす自己随伴要素です。${\displaystyle u=f(a)}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$${\displaystyle u}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \sigma (u)\subseteq \{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}\mid z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi \}}$${\displaystyle f(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z})=z}$${\displaystyle \sigma (u)}$${\displaystyle z_{0}\leq z\leq z_{0}+2\pi }$${\displaystyle a=f(u)}$${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} f(u)}=u}$

を単位C*-代数、を正規元とする。スペクトルがすべての に対して互いに素な閉部分集合、すなわちから構成されるとする。すると、すべての に対して次の性質を持つ射影が存在する: ^[25]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle 1\leq j,k\leq n}$

• スペクトルについては、保持されます。${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}}$
• 射影は と交換可能、すなわち です。${\displaystyle a}$${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}}$
• 投影は直交します。つまり、${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}}$
• 投影の合計は単位元、つまり です。${\textstyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e}$

特に、の分解があり、これはすべての に対して成り立ちます。${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$${\displaystyle \sigma (a_{k})=\sigma _{k}}$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$

証明。^[25]すべては閉じているので、特性関数は上で連続です。ここで、が連続関数を使用して定義されるとします。 は互いに素であるため、 およびが成り立ち、したがって は主張されている特性を満たします。これは、連続関数方程式の特性からわかるとおりです。最後のステートメントについては、 とします。${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$${\displaystyle \sigma (a)}$${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$${\displaystyle \sigma _{k}}$${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}}}$${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$

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