コンパクトな収束

数学 において、コンパクト収束（またはコンパクト集合上の一様収束）は、一様収束の考え方を一般化した収束の一種である。コンパクト開位相と関連している。

を位相空間、を距離空間とする。関数の列 ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$、${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

は、任意のコンパクト集合に対して、ある関数に関してコンパクト収束すると言われる。 ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

として一様である。これは、任意のコンパクトな に対して、 ${\displaystyle K}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

• およびが通常の位相で、 の場合、は値 0 を持つ定数関数にコンパクトに収束しますが、一様ではありません。${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$${\displaystyle f_{n}}$
• 、かつの場合、 は上で 0 、 で 1 となる関数に点ごとに収束しますが、その数列はコンパクトに収束しません。${\displaystyle X=(0,1]}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 1}$
• コンパクト収束を示すための非常に強力なツールは、アルゼラ・アスコリ定理です。この定理にはいくつかのバージョンがありますが、大まかに言えば、等連続かつ一様境界を持つマップのすべてのシーケンスには、何らかの連続マップにコンパクトに収束する部分シーケンスがあることを述べています。

• 均一であれば、コンパクトに。${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• がコンパクト空間であり、コンパクトである場合、一様になります。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• が局所コンパクト空間である場合、コンパクトであることは、局所一様であることと同値です。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• がコンパクト生成空間であり、コンパクトであり、それぞれが連続である場合、 は連続です。${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

• 収束のモード（注釈付きインデックス）
• モンテルの定理

• ラインホルト・レンメルト『 複素関数の理論』（1991年 シュプリンガー）p. 95