ヒルベルト空間の基本定理

数学、特に関数解析とヒルベルト空間理論 において、ヒルベルト空間の基本定理は、ハウスドルフ 前ヒルベルト空間がヒルベルト空間であるための必要十分条件を、前ヒルベルト空間のその反双対への標準等長変換の観点から与えている。

H が位相ベクトル空間(TVS)であるとする。関数f  : H →${\displaystyle \mathbb {C} }$は、^すべてのx , y ∈ Hおよびすべてのスカラーc に対して、

• 加法： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ;
• 共役同次: f ( c x ) = c f ( x )。

H上のすべての連続反線型関数のベクトル空間はHの反双対空間または複素共役双対空間と呼ばれ、 と表記されます(対照的に、 Hの連続双対空間は と表記されます)。これに標準ノルム ( Hの連続双対空間上の標準ノルムと同じように定義されます) を与えることで、ノルム空間になります。^[1]${\displaystyle {\overline {H}}^{\prime}}$${\displaystyle H^{\prime}}$

セスクイリニア形式は、写像B  : H × H →${\displaystyle \mathbb {C} }$であって、すべてのy ∈ Hに対して、 x ↦ B ( x , y )によって定義される写像は線形であり、すべてのx ∈ Hに対して、 y ↦ B ( x , y )によって定義される写像は反線形である。^[1]物理学 では、セスクイリニア形式は第2座標では線形、第1座標では反線形であるという慣例がある点に注意すること。

H上のセスクイリニア形式は、すべての 0 でないx ∈ Hに対してB ( x , x ) > 0 であるとき正定値形式と呼ばれます。また、すべてのx ∈ Hに対してB ( x , x ) ≥ 0 であるとき非負形式と呼ばれます。^[1] H上の セスクイリニア形式B は、さらにすべてのx、y ∈ Hに対して次の性質を持つときエルミート形式と呼ばれます。^[1]${\displaystyle B(x,y)={\overline {B(y,x)}}}$

前ヒルベルト空間は、ベクトル空間HとH上の非負セスクイリニア形式Bからなる対である。さらにこのセスクイリニア形式Bが正定値であれば、( H , B ) はハウスドルフ前ヒルベルト空間と呼ばれる。^[1] Bが非負であれば、 H上にで表され、x ↦ B ( x , x ) ^1/2で定義される標準的な半ノルムが誘導され、ここでBも正定値であればこの写像はノルムである。^[1] この標準的な半ノルムは、すべての前ヒルベルト空間を半ノルム空間にし、すべてのハウスドルフ前ヒルベルト空間をノルム空間にする。セスクイリニア形式B  : H × H →は、2 つの引数のそれぞれにおいて個別に一様連続であるため、 Hの完備化により個別に連続するセスクイリニア形式に拡張できる。Hがハウスドルフならば、この完備化はヒルベルト空間である。^[1]完備な ハウスドルフ前ヒルベルト空間はヒルベルト空間と呼ばれる。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

( H , B )がプレヒルベルト空間であると仮定する。 h ∈ Hの場合、標準写像を定義する。

B ( h , •) : H →ただし${\displaystyle \mathbb {C} }$ y ↦ B ( h , y )で     あり、         

B (•, h ) : H →${\displaystyle \mathbb {C} }$      ただしx ↦ B ( x , h )     

H からその反双対への標準写像^[1]は 、${\displaystyle {\overline {H}}^{\prime}}$

${\displaystyle H\to {\overline {H}}^{\prime }}$      x ↦ B ( x , •)によって定義される。     

( H , B )がプレヒルベルト空間であれば、この標準写像は線型かつ連続である。この写像が反双対のベクトル部分空間への等長写像となるのは、 ( H , B )がハウスドルフプレヒルベルトである場合に限る。^[1]

もちろん、H上の連続線型関数fを、 fで表されx↦f ( x )で定義される連続反線型関数に送る標準的な反線型射影等長変換が存在します。 ${\displaystyle H^{\prime }\to {\overline {H}}^{\prime }}$

ヒルベルト空間の基本定理: ^[1] ( H , B ) がハウスドルフ 前ヒルベルト空間で、B  : H × H → が第 1 座標では${\displaystyle \mathbb {C} }$線型で第 2 座標では反線型であるセスキ線型形式であるとする。このとき、 HからHの反双対空間への標準線型写像が射影的であるための必要十分条件は、 ( H , B )がヒルベルト空間である場合であり、この場合、標準写像はHからその反双対空間への射影等長写像である。

• 複素共役ベクトル空間
• デュアルシステム
• ヒルベルト空間
• プレヒルベルト空間
• 線形マップ
• リースの表現定理
• セスクイライン形式

• ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.