数学関数
数学 において 、 強制関数とは、 それが定義されている空間の両端で「急速に増大する」関数のことです。文脈に応じて、この概念の正確な定義は異なります。
強制ベクトル場 ベクトル場 f : R n → R n は 、次の式が成り立つとき
強制的と 呼ばれます
。ここで、 " " は通常の ドット積 を表し、 は ベクトル x の通常のユークリッド ノルム を表します。
ふ （ x ） ⋅ x
‖ x ‖
→ + ∞
として
‖ x ‖ → + ∞ 、
{\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\text{ as }}\|x\|\to +\infty ,}
⋅
{\displaystyle \cdot}
‖ x ‖
{\displaystyle \|x\|}
強制ベクトル場は、コーシー・シュワルツの不等式 により、 に対してとなる ため 、特にノルム強制的です 。しかし、ノルム強制マッピング f : R n → R n は 必ずしも強制ベクトル場ではありません。たとえば、回転 f : R 2 → R 2 、 f ( x ) = (− x 2 、 x 1 ) の 90° は、ノルム強制マッピングですが、任意の に対して となるため、強制ベクトル場にはなりません 。
‖ ふ （ x ） ‖ ≥ （ ふ （ x ） ⋅ x ）
/
‖ x ‖
{\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|}
x ∈
R
ん
∖ { 0 }
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}
ふ （ x ） ⋅ x = 0
{\displaystyle f(x)\cdot x=0}
x ∈
R
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}
が実 ヒルベルト空間 である 自己 随伴作用素は 、
すべての に対して と なる
定数が存在するとき、 強制的と 呼ばれる。
あ : H → H 、
{\displaystyle A:H\to H,}
H
{\displaystyle H}
ｃ > 0
{\displaystyle c>0}
⟨
A
x
,
x
⟩
≥
c
‖
x
‖
2
{\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}}
x
{\displaystyle x}
H
.
{\displaystyle H.}
双 線型形式は 、
すべてのに対して 定数が存在する場合 、
強制的と 呼ばれます 。
a
:
H
×
H
→
R
{\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} }
c
>
0
{\displaystyle c>0}
a
(
x
,
x
)
≥
c
‖
x
‖
2
{\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}}
x
{\displaystyle x}
H
.
{\displaystyle H.}
リースの表現定理 から、任意の対称（ 内の すべての に対してと定義 ）、連続（ 内のすべての と何らかの定数 に対して ）かつ強制的な双線型形式は、次のように 表現されること
がわかる。
a
(
x
,
y
)
=
a
(
y
,
x
)
{\displaystyle a(x,y)=a(y,x)}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
H
{\displaystyle H}
|
a
(
x
,
y
)
|
≤
k
‖
x
‖
‖
y
‖
{\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|}
x
,
y
{\displaystyle x,y}
H
{\displaystyle H}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
a
{\displaystyle a}
a
(
x
,
y
)
=
⟨
A
x
,
y
⟩
{\displaystyle a(x,y)=\langle Ax,y\rangle }
何らかの自己随伴演算子に対して 、それは強制演算子であることが判明します。また、強制自己随伴演算子が与えられた場合、 上記で定義された
双線形形式は強制的です。
A
:
H
→
H
,
{\displaystyle A:H\to H,}
A
,
{\displaystyle A,}
a
{\displaystyle a}
が強制演算子である場合 、それは強制マッピングです (ベクトル場の強制力の意味で、ドット積をより一般的な内積に置き換える必要があります)。確かに、 が 大きい場合 ( が有界である場合、それは容易に従います)、 を に置き換えると、 は強制演算子である ことがわかります 。 が自己随伴である場合、その逆が真であることを示すこともできます 。ベクトル場、演算子、および双線形形式の強制力の定義は密接に関連しており、互換性があります。
A
:
H
→
H
{\displaystyle A:H\to H}
⟨
A
x
,
x
⟩
≥
C
‖
x
‖
{\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq C\|x\|}
‖
x
‖
{\displaystyle \|x\|}
‖
x
‖
{\displaystyle \|x\|}
x
{\displaystyle x}
x
‖
x
‖
−
2
{\displaystyle x\|x\|^{-2}}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
規範強制マッピング 2つのノルムベクトル空間間の 写像は 、 次の場合に限り
ノルム強制的と 呼ばれる。
f
:
X
→
X
′
{\displaystyle f:X\to X'}
(
X
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}
(
X
′
,
‖
⋅
‖
′
)
{\displaystyle (X',\|\cdot \|')}
‖
f
(
x
)
‖
′
→
+
∞
as
‖
x
‖
→
+
∞
.
{\displaystyle \|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}
より一般的には、 2つの 位相空間 と間の 関数が 強制的 である とは、 の 任意
の コンパクト部分集合 に対しての コンパクト部分集合が存在し、
f
:
X
→
X
′
{\displaystyle f:X\to X'}
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X'}
K
′
{\displaystyle K'}
X
′
{\displaystyle X'}
K
{\displaystyle K}
X
{\displaystyle X}
f
(
X
∖
K
)
⊆
X
′
∖
K
′
.
{\displaystyle f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.}
全単射な 真写像 とそれに続く強制写像
の 合成 は強制的である。
（拡張値）強制関数 （拡張値）関数は、
実数値の強制関数は特にノルム強制的である 場合に
強制的と 呼ばれます 。ただし、ノルム強制関数は 必ずしも強制的であるとは限りません。たとえば、上の恒等関数は ノルム強制的ですが、強制的ではありません。
f
:
R
n
→
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
f
(
x
)
→
+
∞
as
‖
x
‖
→
+
∞
.
{\displaystyle f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
参照
参考文献 Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004)。 偏微分方程式入門 （第2版）。ニューヨーク、NY：Springer-Verlag。pp. xiv+ 434。ISBN 0-387-00444-0 。 Bashirov, Agamirza E (2003)。 従属ノイズ下における部分観測線形システム。バーゼル、ボストン ： Birkhäuser Verlag。ISBN 0-8176-6999-X 。 Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). 2 次楕円偏微分方程式、第 2 版 。ベルリン、ニューヨーク: Springer。ISBN 3-540-41160-7 。 この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike License に基づいてライセンスされている PlanetMath の Coercive Function の資料が組み込まれています 。
