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物理学において、機械システムの自由度（DOF ）とは、その構成または状態を完全に規定するために必要な独立パラメータの数を指します。この数は、機械工学、構造工学、航空宇宙工学、ロボット工学、その他の分野における物体システムの解析において重要な特性です。
例えば、列車の位置は、機関車の線路沿いの距離を表す単一の値によって完全に指定できるため、自由度が1つあります。そして、この距離は、連結されている車両などの従属的な車両との距離を制御します。
2つ目の例として、サスペンションが非常に硬い自動車は、平面（平らな2次元空間）上を移動する剛体とみなすことができます。この剛体は、2つの並進成分（これらによって位置が決まる）と1つの回転角（これによって向きが決まる）という3つの独立した自由度を持っています。横滑りやドリフトは、自動車の3つの独立した自由度の良い例です。
空間における剛体の位置と向きは、3つの並進成分と3つの回転成分によって定義され、つまり剛体は6つの自由度を持つことになる。
機械装置の自由度が拘束不足にも過剰拘束にもならないようにするためには、厳密拘束法を用いて設計を管理することができる。[ 1 ]
n次元剛体の位置は、剛体変換[ T ] = [ A , d ]によって定義されます。ここで、 dはn次元並進、Aはn × n回転行列であり、 n個の並進自由度とn ( n − 1)/2 個の回転自由度を持ちます。回転自由度の数は、回転群SO(n)の次元から来ています。
非剛体または変形可能な物体は、多数の微小粒子（無限の自由度）の集合体と考えることができますが、これはしばしば有限の自由度システムで近似されます。大きな変位を伴う運動が研究の主な目的である場合（例えば、人工衛星の運動解析など）、解析を簡略化するために、変形可能な物体を剛体（あるいは粒子）として近似することができます。
システムの自由度は、構成を指定するために必要な最小限の座標数と考えることができます。この定義を適用すると、次のようになります。
単一の剛体は、最大で 6 自由度 (6 DOF) 3T3Rを持ち、これは 3 つの並進3Tと 3 つの回転3Rから構成されます。
例えば、海上での船の動きは剛体の6つの自由度を持ち、次のように記述されます。[ 2 ]
例えば、飛行中の飛行機の軌道には3つの自由度があり、軌道に沿った姿勢にも3つの自由度があるため、合計で6つの自由度がある。
物理的な制約により、単一の剛体の自由度が制限される場合があります。例えば、平らなテーブル上を滑るブロックは、 2つの並進運動2Tと1つの回転運動1Rからなる3自由度2T1Rを持ちます。SCARAのようなXYZ位置決めロボットは、3自由度3Tと可動範囲が狭くなります。
可動性公式は、これらの物体を接続するジョイントによって拘束される一連の剛体の構成を定義するパラメータの数をカウントします。[ 3 ] [ 4 ]
空間内を移動するn個の剛体のシステムを考えます。固定フレームに対して 6 nの自由度があります。このシステムの自由度を数えるには、固定フレームを構成する物体の選択に可動性が依存しないように、固定物体も物体の数に含めます。すると、 N = n + 1の拘束されていないシステムの自由度は次のようになります。
なぜなら、固定された物体は、それ自身に対して自由度がゼロだからである。
このシステムで物体を接続するジョイントは、自由度を奪い、可動性を低下させます。具体的には、ヒンジとスライダーはそれぞれ5つの拘束を課すため、5つの自由度を奪います。ジョイントが課す拘束の数cを、ジョイントの自由度fを用いて定義すると便利です。ここで、 c = 6 − fです。自由度が1のジョイントであるヒンジまたはスライダーの場合、f = 1となるため、c = 6 − 1 = 5となります。
その結果、 n 個の可動リンクとj個のジョイント（それぞれ自由度 f i、i = 1, ..., j を持つ）から構成されるシステムの可動性は、 次のように与えられる。
Nには固定リンクが含まれることを思い出してください。
重要な特殊ケースが 2 つあります。(i) 単純な開鎖、(ii) 単純な閉鎖。単一の開鎖は、n個の可動リンクがn 個のジョイントで端から端まで接続され、一方の端が地面のリンクに接続されている構造です。したがって、この場合、N = j + 1 となり、鎖の可動性は
単純な閉じた鎖では、n 個の可動リンクがn + 1 個のジョイントで端から端まで接続され、 両端が地面のリンクに接続されてループを形成します。この場合、N = jとなり、鎖の可動性は次のようになります。
単純なオープンチェーンの一例として、直列型ロボットマニピュレータが挙げられます。これらのロボットシステムは、6つの1自由度回転関節または直動関節で接続された一連のリンクで構成されているため、システム全体で6つの自由度を持ちます。
単純な閉鎖連鎖の一例として、RSSR空間4節リンク機構が挙げられる。これらの関節の自由度の合計は8であり、リンク機構の可動性は2である。ここで、自由度の1つは、2つのS字関節を結ぶ線を中心とした連結器の回転である。
リンク機構は、すべての物体の動きが平行な平面上に限定されるように設計するのが一般的で、これは平面リンク機構として知られています。また、すべての物体が同心球上を移動するようにリンク機構を構築して、球面リンク機構を形成することも可能です。どちらの場合も、各システムのリンクの自由度は6ではなく3になり、ジョイントによって課される制約はc = 3 − fとなります。
この場合、移動度式は次のように表される。
そして特別なケースは
平面単純閉鎖鎖の一例として、平面四節リンク機構が挙げられる。これは、自由度1の関節が4つある四節ループであり、可動性M = 1を持つ。
複数の物体からなるシステムでは、各物体の自由度の合計から、相対運動に対する内部制約を差し引いたものが、合成自由度となります。複数の剛体が連結された機構やリンク機構は、単一の剛体の自由度よりも多くの自由度を持つ場合があります。ここでいう自由度とは、リンク機構の空間姿勢を指定するために必要なパラメータの数を指します。また、ロボットの構成空間、タスク空間、作業空間の文脈でも定義されます。
特定のタイプのリンク機構は、一連の剛体リンクが関節で接続されたオープンキネマティックチェーンです。関節は、1つの自由度（ヒンジ/スライド）または2つの自由度（円筒）を提供する場合があります。このようなチェーンは、ロボット工学、バイオメカニクス、衛星やその他の宇宙構造物でよく見られます。人間の腕は7つの自由度を持つと考えられています。肩はピッチ、ヨー、ロールを提供し、肘はピッチを可能にし、手首はピッチ、ヨー、ロールを可能にします。手を空間内の任意の点に移動するには、これらの動きのうち3つだけが必要ですが、人はさまざまな角度や方向から物をつかむ能力がありません。6つの物理的な自由度すべてを制御するメカニズムを備えたロボット（または物体）は、ホロノミックであると言われます。制御可能な自由度が総自由度よりも少ない物体は非ホロノミックであると言われ、制御可能な自由度が総自由度より多い物体（人間の腕など）は冗長であると言われます。ただし、人間の腕では、同じ動き（回転）を表す2つの自由度（手首と肩）が互いに補完し合うため、360度回転できないため、冗長性はないことに注意してください。自由度は、実行可能なさまざまな動きのようなものです。
移動ロボットにおいて、自動車のようなロボットは2次元空間内の任意の位置と向きに到達できるため、姿勢を記述するために3自由度（DOF）が必要ですが、どの時点においても、前進運動と操舵角によってのみ移動させることができます。つまり、制御自由度は2つ、表現自由度は3つであり、非ホロノミックです。3次元空間内で3～4つの制御自由度（前進運動、ロール、ピッチ、そして限定的な範囲でヨー）を持つ固定翼航空機も、上下左右に直接移動できないため、非ホロノミックです。
機械システムの自由度を計算するための公式と方法の概要は、Pennestri、Cavacece、およびVitaによって示されている。[ 5 ]
電気工学 では、自由度は、フェーズドアレイアンテナがビームまたはヌルを形成できる方向の数を表すためによく使用されます。これは、アレイに含まれる素子の数より 1 つ少ない数に等しくなります。これは、1 つの素子が基準として使用され、残りの各アンテナ素子を使用して建設的干渉または破壊的干渉を適用できるためです。 レーダーの実用と通信リンクの実用では、ビームステアリングはレーダー用途でより一般的であり、ヌルステアリングは通信リンクの干渉抑制でより一般的です。
