モジュールの直和

抽象代数では、直和は、いくつかのモジュールを新しい、より大きなモジュールに結合する構造です。モジュールの直和は、指定されたモジュールを「不必要な」制約なしでサブモジュールとして含む最小のモジュールであり、余積の例になります。双対概念である直積とは対照的です。

この構成の最もよく知られた例は、ベクトル空間（体上の加群）とアーベル群（整数の環Z上の加群）を考えるときに現れます。この構成は、バナッハ空間とヒルベルト空間 をカバーするように拡張することもできます。

モジュールをサブモジュールの直和として記述する方法については、 「モジュールの分解」の記事を参照してください。

まず、オブジェクトが 2 つしかないという仮定のもと、これら 2 つのケースでの構成を示します。次に、任意のモジュールの任意のファミリに一般化します。一般的な構成の重要な要素は、これら 2 つのケースを詳細に検討することで、より明確に識別されます。

VとW が体K上のベクトル空間であるとします。直積V × Wは、成分ごとに演算を定義することで、 K上のベクトル空間の構造を持つことができます(Halmos 1974、§18)。

• ( v ₁、w ₁ ) + ( v ₂、w ₂ ) = ( v ₁ + v ₂、w ₁ + w ₂ )
• α ( v , w ) = ( α v , α w )

v、v ₁、v ₂ ∈ V、w、w ₁、w ₂ ∈ W、α ∈ Kの場合。

結果として得られるベクトル空間はVとWの直和と呼ばれ、通常は円の中にプラス記号で表されます。 $${\displaystyle V\oplus W}$$

順序付き和の要素は、順序付きペア ( v、w ) ではなく、和 v + wとして表記するのが通例です。

V ⊕ Wの部分空間V × {0} はVと同型であり、しばしばVと同一視されます。同様に、 {0} × WとWについても同様です。(下記の内部直和を参照)。この同一視により、 V ⊕ Wのすべての要素は、Vの要素とWの要素の和として、ただ 1 つの方法で記述できます。V ⊕ Wの次元は、 VとWの次元の合計に等しくなります。基本的な用途の 1 つは、任意の部分空間Wとその直交補 空間から有限ベクトル空間を再構築することです。$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp}}$$

この構成は、任意の有限数のベクトル空間に容易に一般化できます。

加法的に記述されるアーベル群 GとHの場合、 GとHの直積は直和とも呼ばれます (Mac Lane & Birkhoff 1999, §V.6)。したがって、直積G × H は、成分ごとに演算を定義することでアーベル群の構造を備えています。

( g ₁、h ₁ ) + ( g ₂、h ₂ ) = ( g ₁ + g ₂、h ₁ + h ₂ )

Gではg ₁、g ₂、Hではh ₁、h ₂です。

整数倍も同様に成分ごとに定義される。

n ( g , h ) = ( ng , nh )

ここで、gはG、hはH、n は整数です。これは、ベクトル空間のスカラー積を上記の直和に拡張することと平行しています。

結果として得られるアーベル群はGとHの直和と呼ばれ、通常は円の中にプラス記号で表されます。 $${\displaystyle G\oplus H}$$

順序付き和の要素は、順序付きペア ( g、h ) ではなく、和g + hとして表記するのが通例です。

G ⊕ Hの部分群 G × {0} はGと同型であり、しばしばGと同一視されます。同様に、 {0} × HとHについても同様です。(下記の内部直和を参照してください。) この同一視により、G ⊕ Hのすべての要素は、 Gの要素とHの要素の和として、ただ1つの方法で表すことができます。G ⊕ Hの階数は、 GとHの階数の合計に等しくなります。

この構成は、任意の有限数のアーベル群に容易に一般化できます。

2 つのベクトル空間の直和の定義と 2 つのアーベル群の定義の間には明らかな類似点があることに気づくはずです。実際、それぞれは 2 つの加群の直和の構成の特殊なケースです。さらに、定義を修正することで、無限の加群の直和に対応できます。正確な定義は次のとおりです (Bourbaki 1989、§II.1.6)。

R を環とし、{ M i _:  i  ∈  I  }を集合Iでインデックス付けされた左R加群とします。 { M _i }の直和は、かつ有限個のインデックスiに対してとなるすべてのシーケンスの集合として定義されます。(直積も同様ですが、インデックスが有限にゼロである必要はありません。) ${\displaystyle (\alpha _{i})}$${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}=0}$

これはまた、 IからモジュールM _iの非結合和への関数αとして定義され、すべてのi ∈ Iに対して α( i ) ∈  M _iであり、有限個の添字iに対してα( i ) = 0である。これらの関数は、上のファイバーが である、添字集合I上のファイバー束の有限サポートセクションと同値と見なすことができます。 ${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle M_{i}}$

この集合は、成分ごとの加算とスカラー乗算によってモジュール構造を継承します。明示的には、このようなシーケンス（または関数）αとβは、すべてのiに対してと書くことで加算できます（これは有限個のインデックスを除いてすべてゼロであることに注意してください）。また、このような関数は、すべてのiに対してと定義することで、 Rの要素rと乗算できます。このようにして、直和は左Rモジュールになり、次のように表されます。 ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}$$

数列は和として表記するのが通例です。時々、項の ほとんどがゼロであることを示すために、プライム付きの和が使われます。${\displaystyle (\alpha _{i})}$${\displaystyle \sum \alpha _{i}}$${\displaystyle \sum '\alpha _{i}}$

• 直和は、モジュールM _iの直積のサブモジュールです(Bourbaki 1989、§II.1.7)。直積は、IからモジュールM _iの非結合和(α ( i )∈ M _{i )}へのすべての関数αの集合ですが、有限個以外のすべてのiに対して必ずしもゼロになるわけではありません。インデックス セットIが有限の場合、直和と直積は等しくなります。
• 各モジュールM _{i は、} i以外のすべてのインデックスで消える関数で構成される直和のサブモジュールと同一視できます。これらの同一視により、直和のすべての要素x は、モジュールM _iの有限個の要素の和として、唯一の方法で記述できます。
• M _{i が}実際にベクトル空間である場合、直和の次元はM _iの次元の合計に等しくなります。アーベル群の階数とモジュールの長さについても同様です。
• 体K上のすべてのベクトル空間は、 Kの十分な数のコピーの直和に同型であるため、ある意味ではこれらの直和のみを考慮する必要があります。これは、任意の環上のモジュールには当てはまりません。
• テンソル積は、次の意味で直和に分配されます。N が右 R 加群である場合、 NとM iの_テンソル積(アーベル群)の直和は、 NとM _iの直和のテンソル積に自然に同型です。
• 直和は可換かつ結合的（同型性を除く）であり、つまり直和をどのような順序で形成するかは重要ではありません。
• 直和からある左R加群LへのR線型準同型のアーベル群は、M _iからLへのR線型準同型のアーベル群の直積に自然に同型です。実際、左側から右側への準同型τ が明らかに存在します。ここで、 τ ( θ )( i ) は、x ∈ M _iをθ ( x )に送るR線型準同型です ( M _iを直和に自然に含めることにより)。準同型τの逆は、加群M _iの直和の任意のαに対して によって定義されます。重要な点は、α ( i ) は有限個の i を除くすべてのiに対して 0 であり、したがって和が有限であるため、 τ ⁻¹の定義が意味をなすということです。$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}$$ $${\displaystyle \tau^{-1}(\beta)(\alpha)=\sum_{i\inI}\beta(i)(\alpha(i))}$$
  特に、ベクトル空間の直和の双対ベクトル空間は、それらの空間の双対の直積と同型です。
• モジュールの有限直和は、副積です。 が標準射影写像で が包含写像である場合、はA 1 _⊕ ⋯ ⊕ A _nの恒等写像に等しく、l = kの場合、はA _kの恒等写像であり、それ以外の場合は はゼロ写像です。$${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$$$${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$$$${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$$$${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$$

MがR加群で、M _{i が}Iの各iに対してMのサブ加群であるとする。Mの各xがM _iの有限個の要素の和として正確に 1 つの方法で記述できる場合、 M はサブ加群M _iの内部直和であると言う(Halmos 1974、§18)。この場合、M は上で定義したM _iの (外部) 直和に自然に同型である(Adamson 1972、p.61)。

MのサブモジュールNがMの直和となるのは、 Mの別のサブモジュールN′ が存在し、 M がNとN′の内部直和となる場合です。この場合、NとN′ は相補サブモジュールと呼ばれます。

圏論の言語では、直和は余積であり、したがって左R加群の圏における余極限であり、次の普遍的性質によって特徴付けられる。Iの任意のiに対して、自然な埋め込みを考える。

${\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$

これはM _iの要素を、i以外のすべての引数に対してゼロとなる関数に送る。ここで、M を任意のRモジュールとし、任意のiに対してf _i  : M _i → M を任意のR線型写像とすると、正確に 1 つのR線型写像 が存在する。

${\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}$

すべてのiに対してf o j _i = f _iとなる。

直和はオブジェクトの集合に可換 モノイドの構造を与えます。つまり、オブジェクトの加算は定義されますが、減算は定義されません。実際、減算は定義でき、すべての可換モノイドはアーベル群に拡張できます。この拡張はグロタンディーク群として知られています。この拡張は、オブジェクトのペアの同値類を定義することによって行われ、これにより、特定のペアを逆として扱うことができます。グロタンディーク群の記事で詳しく説明されている構成は、「普遍的」です。つまり、一意であるという普遍的な特性があり、アーベル群への可換モノイドの他の埋め込みと準同型です。

検討しているモジュールが何らかの追加構造（たとえば、ノルムや内積）を持っている場合、モジュールの直和もこの追加構造を持つようにすることができます。この場合、追加構造を持つすべてのオブジェクトの適切なカテゴリで余積を取得します。2つの顕著な例は、バナッハ空間とヒルベルト空間です。

いくつかの古典的なテキストでは、「体上の代数の直和」という語句も、現在では代数の直積と呼ばれることが多い代数構造、つまり、成分ごとの演算を伴う基礎集合の直積を表すために導入されています。ただし、この構成は、代数のカテゴリで余積ではなく直積を提供します (以下の注と環の直和に関する説明を参照)。

代数 とベクトル空間の直和は、積が ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})(x_{2}+y_{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}).}$

次の古典的な例を考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbf {R} \oplus \mathbf {R} }$は、分割複素数と同型の環であり、区間解析にも使用されます。

${\displaystyle \mathbf {C} \oplus \mathbf {C} }$1848 年にジェームズ コックルによって導入されたテッサリン代数です。

${\displaystyle \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} ,}$分割双四元数と呼ばれるこの数は、1873 年にウィリアム・キングドン・クリフォードによって導入されました。

ジョセフ・ウェダーバーンは、超複素数の分類において、代数の直和の概念を活用しました。彼の著書「行列に関する講義」（1934年）の151ページを参照してください。ウェダーバーンは、代数の直和と直積の違いを明確にしています。直和の場合、スカラー体は両方の部分に共同で作用します。一方、直積の場合、スカラー因子は部分と交互に集められますが、両方に集められることはありません。 イアン・R・ポーテウスは、クリフォード代数と古典群（1995年）の分析で、上記の3つの直和をスカラー環として表しています。 ${\displaystyle \lambda (x\oplus y)=\lambda x\oplus \lambda y}$${\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,y)=(x,\lambda y).}$ ${\displaystyle ^{2}R,\ ^{2}C,\ ^{2}H,}$

上で説明した構成、およびウェダーバーンの直和と直積という用語の使用は、圏論とは異なる慣習に従います。圏論的な用語では、ウェダーバーンの直和は圏積であり、ウェダーバーンの直積は余積（または圏和）であり、これは（可換代数の場合）実際には代数のテンソル積に対応します。

2つのバナッハ空間 と直和は、ベクトル空間として考えた場合の、およびの直和であり、すべてのおよびのノルムは${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y.}$

一般に、がバナッハ空間の集合であり、がインデックス集合を横断する場合、直和は、すべてのおよびに対して、 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle x(i)\in X_{i}}$${\displaystyle i\in I}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}$$

ノルムは上記の和で与えられます。このノルムの直和は再びバナッハ空間です。

例えば、インデックスセットを取ると、その直和は有限ノルムを持つ実数のすべてのシーケンスからなる空間になります。${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$${\displaystyle \ell _{1},}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

バナッハ空間の閉部分空間が補完的であるとは、その内部直和に等しい別の閉部分空間が存在する場合を言う。すべての閉部分空間が補完的であるとは限らないことに注意すること。例えば、${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\oplus B.}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

を、双線型形式を備えた加群で、 でインデックス付けされたものとする。直交直和は、 ^[1]で定義される双線型形式を持つ加群直和であり、項の有限個のみが非ゼロであるため、 無限インデックス集合であっても和が意味をなす。${\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle B}$ $${\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)}$$${\displaystyle I}$

有限個のヒルベルト空間 が与えられた場合、それらの直交直和を上記のように構成することができ（それらはベクトル空間であるため）、内積を次のように定義します。 ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$$${\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}$$

結果として得られる直和は、与えられたヒルベルト空間を相互に直交する部分空間として含むヒルベルト空間です。

に対するヒルベルト空間が無限に与えられた場合、同じ構成を実行できます。内積を定義するときに、有限個の加数のみが非ゼロになることに注意してください。ただし、結果は内積空間のみになり、必ずしも完全ではありません。次に、ヒルベルト空間の直和をこの内積空間の完備化として定義します。 ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle H_{i}}$

あるいは、同等に、ヒルベルト空間の直和を、任意の に対してがの元となるような定義域を持つすべての関数 α の空間として定義することもできます。 ${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle \alpha (i)}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle i\in I}$$${\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}$$

このような 2 つの関数 α と β の内積は次のように定義されます。 $${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}$$

この空間は完備であり、ヒルベルト空間が得られます。

たとえば、インデックス セットを取ると、直和は有限ノルムを持つ実数のすべてのシーケンスで構成される空間です。これをバナッハ空間の例と比較すると、バナッハ空間の直和とヒルベルト空間の直和は必ずしも同じではないことがわかります。ただし、加数が有限個しかない場合は、ノルムは異なりますが、バナッハ空間の直和はヒルベルト空間の直和と同型です。 ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}$${\displaystyle \ell _{2},}$${\displaystyle \left(a_{i}\right)}$${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$

あらゆるヒルベルト空間は、十分多くの基底体の直和に同型であり、これは のいずれかである 。これは、あらゆるヒルベルト空間が正規直交基底を持つという主張と同値である。より一般的には、ヒルベルト空間のすべての閉部分空間は補完的である。なぜなら、それは直交補完空間を許容するからである。逆に、リンデンシュトラウス-ツァフリリの定理は、バナッハ空間のすべての閉部分空間が補完的である場合、バナッハ空間はヒルベルト空間に（位相的に）同型であると主張している。 ${\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .}$

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• アダムソン、イアン・T. (1972)、「初等環と加群」、大学数学テキスト、オリバー・アンド・ボイド、ISBN 0-05-002192-3。
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