ヌルセット

数学的解析において、空集合は測度が0である実数のルベーグ測定可能な集合である。これは、任意の小さな合計長さの区間の可算な和集合によってカバーできる集合として特徴付けることができる。

空集合の概念は、集合論で定義されている空集合と混同しないでください。空集合はルベーグ測度が0 ですが、空でない集合でも空でない集合が存在します。たとえば、実数の空でない可算集合はルベーグ測度が 0 であるため、空です。

より一般的には、与えられた測度空間 において、空集合とは次のような集合である。${\displaystyle M=(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle S\in \Sigma }$${\displaystyle \mu (S)=0.}$

実数の有限または可算無限の部分集合はすべて空集合です。たとえば、自然数の集合と有理数の集合はどちらも可算無限であるため、実数のサブセットとして考えると空集合になります。

カントール集合は、非可算な空集合の例です。^{[さらに説明が必要]}

が実数直線の部分集合で、任意のに対して開区間の列が存在するとします（ただし、区間の長さは、その 場合、は空集合、^[1]ゼロ内容の集合としても知られています）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$${\displaystyle U_{n}=(a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {長さ} (U_{n})=b_{n}-a_{n}}$$${\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ ~{\textrm {and}}~\ \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {length} (U_{n})<\varepsilon \,,}$$${\displaystyle A}$

数学的解析の用語では、この定義では、被覆の長さの 極限がゼロになる の開被覆のシーケンスが存在することが必要です。${\displaystyle A}$

を測度空間とします。次が成り立ちます。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$(の定義による)。${\displaystyle \mu}$
• 空集合の可算 和は、それ自体が空集合である（の可算部分加法性により）。${\displaystyle \mu}$
• 空集合の任意の（測定可能な）部分集合は、それ自体が空集合である（の単調性により）。${\displaystyle \mu}$

これらの事実を合わせると、 のヌル集合は𝜎-代数の𝜎-イデアルを形成することがわかります。したがって、ヌル集合は無視できる集合として解釈でき、「ほぼどこでも」という測度論的な概念が得られます。 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

ルベーグ測度は、ユークリッド空間のサブセットに長さ、面積、または体積を割り当てる標準的な方法です。

のサブセットはヌル ルベーグ測度を持ち、次の場合にのみ の ヌル セットであるとみなされます。${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

任意の正の数 が与えられたとき、の区間の列が存在し、 はの和集合に含まれ、和集合の全長は より小さい。${\displaystyle \epsilon ,}$ ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle N}$${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots }$${\displaystyle \epsilon .}$

この条件は、区間の代わりに-立方体を使用することに一般化できます。実際、ルベーグ測度が存在しない場合でも、任意の 多様体上でこの考え方を意味のあるものにすることができます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle n}$

例えば：

• すべての単集合は空集合であり、したがってすべての可算集合は空集合である。特に、有理数の集合は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• カントール集合の標準的な構成は、ヌルの不可算集合の例ですが、カントール集合に任意の測度を割り当てる他の構成も可能です。${\displaystyle \mathbb {R};}$
• 次元がそれより小さいすべての部分集合は、 においてルベーグ測度がゼロである。例えば直線や円は においてゼロ集合である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• サードの補題:滑らかな関数の臨界値の集合は測度がゼロである。

が に対するルベーグ測度であり、π が に対するルベーグ測度である場合、積測度 はである。空集合に関して、次の同値性はフビニの定理と呼ばれている。^[2]${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda \times \lambda =\pi .}$

• および​${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},}$ $${\displaystyle \pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.}$$

空集合はルベーグ積分の定義において重要な役割を果たします。関数と が空集合以外で等しい場合、 が積分可能であるのは の場合のみであり、それらの積分は等しいです。これが、空集合でのみ異なる関数の同値類の集合として 空間を正式に定義する動機となります。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{p}}$

ヌル集合のすべての部分集合が測定可能な測度は完全です。ヌル集合の部分集合の測度が 0 であると主張すれば、任意の非完全測度を完全測度にすることができます。ルベーグ測度は完全測度の一例です。いくつかの構成では、ルベーグ測度は非完全ボレル測度の完全化として定義されます。

ボレル測度は完全ではありません。1 つの簡単な構成は、閉じているためボレル測定可能で、測度が 0 である標準カントール集合 から始めて、ボレル測定可能ではないサブセットを見つけることです。(ルベーグ測度は完全であるため、これはもちろんルベーグ測定可能です。) ${\displaystyle K,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$

まず、正の測度のすべての集合には非測定サブセットが含まれていることを知っておく必要があります。をカントール関数、つまり で局所的に一定でで単調増加、である連続関数とします。明らかに、はの要素ごとに 1 つの点を含むので可算です。したがって、 は測度 0 であるため、 は測度 1 になります。厳密に単調な関数 が必要なので、 について考えます。 は厳密に単調かつ連続なので、同相写像 です。さらに、 は測度 1 です。 を非測定可能とし、とします。は単射であるため、 となり、したがって は空集合です。ただし、 がボレル測定可能であれば、もボレル測定可能になります (ここでは、連続関数によるボレル集合の逆像は測定可能であるという事実を使用します。 は連続関数 を介したの逆像です)。したがって、 は空ですがボレル測定不可能な集合です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle K^{c},}$${\displaystyle [0,1],}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(1)=1.}$${\displaystyle f(K^{c})}$${\displaystyle K^{c}.}$${\displaystyle f(K^{c})}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle g(x)=f(x)+x.}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(K)}$${\displaystyle E\subseteq g(K)}$${\displaystyle F=g^{-1}(E).}$${\displaystyle g}$${\displaystyle F\subseteq K,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(F)}$${\displaystyle g(F)=(g^{-1})^{-1}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle h=g^{-1}}$${\displaystyle F}$

可分な バナッハ空間 では、加法によって任意の部分集合が任意のに対して変換され、ボレル部分集合のσ-代数上に確率測度μが存在し、すべてに対してとなるとき、はハール零集合である。^[3]${\displaystyle (X,\|\cdot \|).}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle A+x}$${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \mu (A+x)=0,}$${\displaystyle A}$

この用語は、平行移動の測度のヌル不変性を指し、ハール測度で見つかった完全な不変性と関連付けられます。

位相群の代数的性質のいくつかは、部分集合とハール零集合の大きさと関連している。^{[4]ハール零集合は}ポーランド群において、 Aが希薄集合でない場合に単位元の開近傍が含まれることを示すために 使用されている。^{[5]この性質は、}シュタインハウスの定理の結論であるため、ヒューゴ・シュタインハウスにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle A^{-1}A}$

• カントール関数 – 絶対連続ではない連続関数
• 空集合 – 要素を含まない数学的集合
• 測定（数学）  - 質量、長さ、面積、体積の一般化
• 無 – 何も存在しないこと。すべての反対

• Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005).測定、積分、確率. Springer. p. 16. ISBN 978-1-85233-781-0。
• ジョーンズ、フランク (1993)。ユークリッド空間上のルベーグ積分。ジョーンズ＆バートレット。p. 107。ISBN 978-0-86720-203-8。
• オクストビー、ジョン C. (1971)。『尺度とカテゴリー』、シュプリンガー出版、p. 3、ISBN 978-0-387-05349-3。