積分方程式

数学において、積分方程式は、未知の関数が積分記号の下に現れる方程式である。^[1]数学的記法では、積分方程式は次のように表現される。ここで、 は uに作用する積分演算子である。したがって、積分方程式は、微分方程式の類似物と見なすことができ、ここで、方程式は導関数を含む方程式の代わりに積分を含む。上記の一般的な積分方程式の数学的形式は、次のように表現される微分方程式の一般的な形式と直接比較することができる。ここで、 はi次微分演算子と見なすことができる。^[1]微分方程式と積分方程式の間にはこのような密接な関係があるため、これら 2 つを相互に変換できる場合が多い。たとえば、境界値問題を解く 1 つの方法は、境界条件を含む微分方程式を積分方程式に変換し、その積分方程式を解くことである。^{[1]さらに、これら 2 つを相互に変換できるため、}マクスウェル方程式などの物理学の微分方程式は、多くの場合、類似の積分形式と微分形式を持つ。^[2]たとえば、グリーン関数とフレドホルム理論も参照。 $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0}$$${\displaystyle I^{i}(u)}$$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0}$$${\displaystyle D^{i}(u)}$

積分方程式にはさまざまな分類方法があります。標準的な分類には、線形と非線形、同次と非同次、フレドホルムとボルテラ、1次、2次、3次、特異積分方程式と正則積分方程式の区別などがあります。^[1]これらの区別は通常、方程式の線形性や同次性の考慮など、いくつかの基本的な特性に基づいています。^[1]これらのコメントは、次の定義と例を通じて具体化されます。

線型: 積分方程式が線型であるとは、未知関数u(x)とその積分が方程式内で線型である場合です。^[1]したがって、線型方程式の例は次のようになります。^[1]命名規則に関する注意: i) u(x)は未知関数と呼ばれ、ii) f(x)は既知関数と呼ばれ、iii) K(x,t)は 2 変数の関数であり、カーネル関数と呼ばれることが多く、iv) λ は未知の因子またはパラメーターであり、線型代数における固有値と同じ役割を果たします。^[1]$${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

非線形: 積分方程式が非線形であるとは、方程式の中で未知関数u(x)またはその積分のいずれかが非線形に現れる場合です。 ^{[1]したがって、非線形方程式の例は、上記の方程式で}u(t)を に置き換えた場合の次のようになります。特定の種類の非線形積分方程式には特定の名前があります。^[3]そのような方程式の例は次のとおりです。^[3]${\displaystyle u^{2}(x),\,\,\cos(u(x)),\,{\text{または}}\,e^{u(x)}}$$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt}$$

• 第二種の非線形ボルテラ積分方程式は、一般形が次の式で表される。 ここでFは既知の関数である。^[3]${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,}$
• 第二種非線形フレドホルム積分方程式は次のような一般形を持つ。[ ^3]${\displaystyle f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)}$
• 第二種非線形フレドホルム積分方程式の特殊な型は、次の形式で与えられ、2つの特殊なサブクラスを持つ: ^[3]${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy}$
  • ウリゾーン方程式: ^[3 ]${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy}$
  • ハマースタイン方程式: ^[3]${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy}$

ハマースタイン方程式およびハマースタイン方程式のさまざまなバージョンの詳細については、以下のハマースタイン セクションを参照してください。

第一種: 積分方程式は、未知関数が積分記号の下にのみ現れる場合、第一種の積分方程式と呼ばれます。^[3]例は次のようになります。^[3]${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$

第二種:積分方程式が未知の関数も積分範囲外に現れる場合、その積分方程式は第二種の積分方程式と呼ばれる。^[3]

第三種:積分方程式が次の形式の線型積分方程式である場合、その積分方程式は第三種の積分方程式と呼ばれる: ^[3]ここで、g(t) は区間[a,b]内で少なくとも 1 回はゼロになる^{[4] [5]}か、またはg(t) は(a,b)内の有限個の点でゼロになる^[6]$${\displaystyle g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)}$$

フレドホルム: 積分方程式は、すべての積分における積分の極限が両方とも固定かつ一定である場合にフレドホルム積分方程式と呼ばれます。 ^[1]一例として、積分が の固定された部分集合上で行われることが挙げられます。^[3]したがって、次の2つの例はフレドホルム方程式です: ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• 第 1 タイプのフレドホルム方程式: 。${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• 2番目のタイプのフレドホルム方程式:${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

上記のような積分方程式は積分演算子記法を使っても表現できることに注意されたい。^[7]例えば、フレドホルム積分演算子は次のように定義できる。したがって、上記の第2種フレドホルム方程式は次のように簡潔に記述できる。^[7]$${\displaystyle ({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.}$$$${\displaystyle y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).}$$

ヴォルテラ: 積分方程式は、積分限界の少なくとも1つが変数である場合に、ヴォルテラ積分方程式と呼ばれます。 ^[1]したがって、積分は積分変数に応じて変化する領域で行われます。^[3]ヴォルテラ方程式の例は次のとおりです。^[1]

• 第一種ボルテラ積分方程式:${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• 第二種ボルテラ積分方程式:${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

フレドホルム方程式と同様に、ここでも演算子表記法を採用することができます。したがって、次のように線形ボルテラ積分演算子 を定義できます。^[3]ここで、K(t,s)はカーネルと呼ばれ、区間 で連続でなければなりません。^[3]したがって、第 1 種のボルテラ積分方程式は次のように記述できます。 ^[3]ただし です。さらに、未知の関数と区間 上の指定された連続関数に対する第 2 種の線形ボルテラ積分方程式があります。ただし、ボルテラ-フレドホルム: 高次元では、フレドホルム-ボルテラ積分方程式 (VFIE) などの積分方程式が存在します。^[3] VFIE は次の形式を持ちます。ただし および は、区分的に滑らかな境界を持つ 内の閉じた有界領域です。^[3]フレドホルム-ボルテラ積分演算子は次のように定義されます。^[3]${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$$${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$$${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$${\displaystyle g(0)=0}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle g(t)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle t\in I}$$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)。}$$$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$

$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$この記事全体を通して、積分の範囲は通常区間として記述されますが、必ずしもそうである必要はありません。^[7]一般に、積分方程式は必ずしも区間上で定義される必要はなく、曲線や面上で定義することもできます。^[7]${\displaystyle [a,b]=I}$

同次: 既知の関数が常にゼロである場合、積分方程式は同次であると呼ばれます。^[1]${\displaystyle f}$

非同次: 既知の関数がゼロでないとき、積分方程式は非同次であると呼ばれる。^[1]${\displaystyle f}$

正則: 積分方程式は、使用される積分がすべて適切な積分である場合に正則と呼ばれます。^[7]

特異または弱特異: 積分方程式は、積分が不定積分である場合に特異または弱特異と呼ばれます。^[7]これは、積分の限界の少なくとも1つが無限であるか、積分されている区間または領域の少なくとも1つの点で核が無限大になるかのいずれかであるためです。^[1]

例としては以下が挙げられる。^[1]これら 2 つの積分方程式は、それぞれu(x)のフーリエ変換とラプラス変換であり、どちらもそれぞれ核とを持つ第一種フレドホルム方程式である。^[1]核が有界でない特異積分方程式の別の例は以下のとおりである。^[1]この方程式は、より一般的な第一種弱特異ボルテラ積分方程式の特殊な形式で、アーベルの積分方程式と呼ばれる。^[7]強特異: 積分方程式は、積分が特別な正規化、たとえばコーシー主値によって定義されている場合、強特異と呼ばれます。^[7]$${\displaystyle F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx}$$$${\displaystyle L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx}$$${\displaystyle K(x,t)=e^{-i\lambda x}}$${\displaystyle K(x,t)=e^{-\lambda x}}$ $${\displaystyle x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {xt}}}\,u(t)\,dt.}$$ $${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {xy}}}\,dy}$$

積分微分方程式は、その名前が示すように、微分演算子と積分演算子を1つの方程式に組み合わせたものです。^[1]ボルテラ積分微分方程式や、以下に定義される遅延型方程式など、多くのバージョンがあります。^[3]たとえば、上で定義したボルテラ演算子を使用すると、ボルテラ積分微分方程式は次のように記述できます。^[3]遅延問題の場合、遅延積分演算子を次のように定義できます。^[3]ここで、遅延積分微分方程式は次のように表すことができます。^[3]$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)}$$${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)}$$${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds}$$ $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).}$$

第一種線型ボルテラ積分方程式の解は、次式で与えられ、次の一意性定理と存在定理で記述できます。^[3]ボルテラ積分演算子は、次のように定義できることを思い出してください。^[3]ここで、K(t,s)はカーネルと呼ばれ、区間 で連続でなければなりません。^[3]$${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$$${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$

第二種線型ボルテラ積分方程式の解は次式で表される: ^{[3] は、}次の一意性定理と存在定理によって記述できる。^[3]$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)}$$

第二種のボルテラ積分方程式は次のように表される: ^[3]ここで、、、およびである。^[3]この積分方程式は次のように一意に解かれる: ^[3]ここで、はKの分解核である。^[3]$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$${\displaystyle (x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]}$${\displaystyle g\in C(\Omega )}$${\displaystyle K\in C(D_{2})}$${\displaystyle D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}}$${\displaystyle u\in C(\Omega )}$$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$${\displaystyle R}$

上で定義したように、VFIE は次のような形式を持ちます。および は、内の閉じた境界領域で、境界は区分的に滑らかな境界です。^[3]フレドホルム-ヴォルテラ積分演算子は次のように定義されます。^{[3]カーネル}Kが と表記される場合、Kは正のメモリカーネルと呼ばれます。^[3]これを念頭に置いて、次の定理を導入することができます。^[3]$${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$${\displaystyle K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )}$

様々な用途で使用される特別なタイプのボルテラ方程式は次のように定義されます。 [ ^3]ここで、関数g(t)は区間上で連続であり、ボルテラ積分演算子は次のように与えられます。ここで、 です。^[3]$${\displaystyle y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)}$$${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (V_{\alpha }t)}$$${\displaystyle (V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds}$$${\displaystyle (0\leq \alpha <1)}$

次のセクションでは、初期値問題（IVP）を積分方程式に変換する例を示します。これを行う動機は複数ありますが、その1つは、積分方程式の方が簡単に解けることが多く、存在定理や一意性定理を証明するのに適していることです。^[7]

次の例は、Wazwaz氏の著書の1ページ目と2ページ目に掲載されています。^[1]次の式で示されるIVPを調べます。

$${\displaystyle u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0}$$初期条件:

$${\displaystyle u(0)=1}$$

方程式の両辺を積分すると次のようになります。

$${\displaystyle \int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

そして微積分学の基本定理により、次の式が得られます。

$${\displaystyle u(x)-u(0)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

上記の式を整理すると、積分方程式が得られます。

$${\displaystyle u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

これは次の形式のボルテラ積分方程式である。

$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

ここでK(x,t)はカーネルと呼ばれ、2tに等しく、f(x)=1である。^[1]

積分方程式には解析解が存在しないことが多く、数値的に解く必要があることに注意してください。この例としては、電磁散乱問題における任意の形状の物体に対する電界積分方程式(EFIE) または磁界積分方程式 (MFIE) の評価が挙げられます。

数値的に解く一つの方法は、変数を離散化し、積分を求積法に置き換えることである。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.}$

すると、 n個の方程式とn個の変数を持つシステムができあがります。これを解くと、 n個の変数 の値が得られます。

${\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).}$

ある種の同次線形積分方程式は、固有値方程式の連続極限として見ることができる。指数表記法を用いると、固有値方程式は次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}$

ここで、M = [ M _i,j ]は行列、vはその固有ベクトルの 1 つ、λ は関連付けられた固有値です。

連続極限、すなわち離散インデックスiとjを連続変数xとyに置き換えると、次の式が得られる。

${\displaystyle \int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),}$

ここで、 j上の和はy上の積分に置き換えられ、行列Mとベクトルv は核 K ( x , y )と固有関数 φ ( y )に置き換えられています。 （積分の極限は、 j上の和の極限と同様に固定されています。）これにより、2番目のタイプの線形同次フレドホルム方程式が得られます。

一般に、K ( x , y ) は厳密な意味での関数ではなく、分布になります。分布K が点x = yでのみサポートを持つ場合、積分方程式は微分固有関数方程式に簡約されます。

一般に、ヴォルテラ積分方程式とフレドホルム積分方程式は、その解の領域の境界にどのような条件が適用されるかに応じて、単一の微分方程式から発生することがあります。

$${\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .}$$ もともと、このような方程式は放射伝達の問題に関連して研究されていましたが、最近では、境界が部分的にのみ滑らかな平面問題の境界積分方程式の解に関連付けられています。

ハマーシュタイン方程式は、次の形式の非線形第一種ボルテラ積分方程式である。^[3]特定の正則性条件下では、方程式は第二種暗黙のボルテラ積分方程式と同等である。^[3]ここで、ただし、この方程式は演算子形式で表現することもでき、これにより、非線形ボルテラ・ハマーシュタイン演算子と呼ばれる次の演算子の定義が導かれる。 ^[3]ここでは滑らかな関数であるが、核K は連続、すなわち有界、または弱特異である可能性がある。 [ ^3]対応する第二種ボルテラ積分方程式は第二種ボルテラ・ハマーシュタイン積分方程式、または単にハマーシュタイン方程式と呼ばれ、次のように表現できる。^[3]特定の用途では、関数Gの非線形性は、次の形式で半線形としてのみ扱われることがある。^[3]この場合、次の半線形ボルテラ積分方程式が成り立つ。^[3]この形式では、半線形ハマーシュタイン積分方程式の存在定理と一意性定理を述べることができる。^[3]$${\displaystyle g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.}$$$${\displaystyle G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$$${\displaystyle g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.}$$$${\displaystyle ({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$${\displaystyle G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)}$$$${\displaystyle G(s,y)=y+H(s,y)}$$$${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds}$$

ハマースタイン方程式は、ニーミツキ演算子、または置換演算子と呼ばれる別の演算子を使用して記述することもできます。これは次のように定義されます。 ^[3]これについての詳細は、この本の75ページにあります。^[3]${\displaystyle {\mathcal {N}}}$$${\displaystyle ({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))}$$

積分方程式は多くの応用において重要です。積分方程式が使用される問題には、放射伝達、弦、膜、車軸の振動などがあります。振動問題は微分方程式として解くこともできます。

• 保険数理学（破産理論^[8]）
• 計算電磁気学
  • 境界要素法
• 逆問題
  • マルチェンコ方程式（逆散乱変換）
• ジャンプ拡散下におけるオプション価格設定^[9]
• 放射伝達
• 再生理論^[10]
• 粘弾性
• 流体力学^{[11] [12]}

• 微分方程式
• 積分微分方程式
• 破滅論
• ボルテラ積分方程式

• アガルワル、ラヴィ・P.、ドナル・オレガン。積分方程式と積分微分方程式：理論、方法、応用。ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ、2000年。^[13]
• ブルンナー、ヘルマン。ボルテラ積分と関連する関数微分方程式の選点法。ケンブリッジ大学出版局、2004年。^[3]
• バートン、TAボルテラ積分と微分方程式エルゼビア、2005年。^[14]
• 第7章 It Mod 02-14-05 - Ira A. Fulton College of Engineering. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf. ^[15]
• コルデュネアヌ、C.積分方程式とその応用ケンブリッジ大学出版局、2008年。^[16]
• ハックブッシュ、ヴォルフガング。積分方程式理論と数値処理。ビルクハウザー、1995年。^[7]
• ホッホシュタット、ハリー。積分方程式。ワイリー・インターサイエンス/ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1989年。^[17]
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• ピプキン、AC積分方程式講座、シュプリンガー・フェアラーク、1991年。^[21]
• Polëiìanin AD、Alexander V. Manzhirov著「積分方程式ハンドブック」Chapman & Hall/CRC、2008年。^[22]
• ワズワズ、アブドゥル・マジッド。積分方程式入門。ワールドサイエンティフィック、2015年。^[1]