プランシュレルの定理

数学において、プランシュレル定理（パーセバル＝プランシュレル恒等式とも呼ばれる）は、調和解析における定理であり、1910年にミシェル・プランシュレルによって証明された。これはパーセバル定理の一般化であり、科学や工学の分野でフーリエ変換のユニタリ性を証明するためによく用いられる。

この定理は、関数の絶対値の二乗の積分は、その周波数スペクトルの絶対値の二乗の積分に等しいと述べている。つまり、${\displaystyle f(x)}$は実数直線上の関数であり、$\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$その周波数スペクトルは、

L ¹関数のフーリエ変換${\displaystyle f}$実際の路線で${\displaystyle \mathbb {R} }$はルベーグ積分として定義される。$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx.}$$ もし${\displaystyle f}$両方に属する$\displaystyle L^{1}}$そして$\displaystyle L^{2}}$すると、プランシュレルの定理は次のように述べている。${\displaystyle {\hat {f}}}$また、$\displaystyle L^{2}}$、そしてフーリエ変換は^L2ノルムに関して等長変換であり、つまり $$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$$

これは、フーリエ変換が制限されていることを意味する。${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$線形等角投影図 に独自の拡張機能があります${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$^これは、プランシュレル変換とも呼ばれます。この等長写像は実際にはユニタリ写像です。事実上、これによりL2関数のフーリエ変換について語ることが可能になります。

この定理の証明は、Rudin (1987、第9章)に記載されている。基本的な考え方は、まずガウス分布について証明し、次に密度を用いるというものである。しかし、標準ガウス分布はフーリエ変換によってそれ自身に変換されるため、その場合、定理は自明となる。最後に、フーリエ変換の標準的な変換特性から、すべてのガウス分布に対してプランシュレル定理が成り立つことがわかる。

プランシュレルの定理は、n次元ユークリッド空間において、述べられているとおり有効である。$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$この定理は、より一般的には局所コンパクトアーベル群においても成り立つ。また、特定の技術的な仮定を満たす非可換局所コンパクト群に対して意味を持つプランシュレル定理のバージョンも存在する。これは非可換調和解析の主題である。

偏光恒等式により、プランシュレルの定理を にも適用できる。${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$2つの関数の内積。つまり、${\displaystyle f(x)}$そして${\displaystyle g(x)}$2つあります${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$機能、および${\displaystyle {\mathcal {P}}}$プランシュレル変換を表すと、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$ そしてもし${\displaystyle f(x)}$そして${\displaystyle g(x)}$さらに${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$関数、次に $${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$ そして $${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$ それで

局所コンパクト群におけるフーリエ変換についてもプランシュレルの定理が存在する。アーベル群の場合${\displaystyle G}$ポントリャーギン双対群が存在する${\displaystyle {\widehat {G}}}$キャラクターの${\displaystyle G}$.上のハール測度が与えられた場合${\displaystyle G}$関数のフーリエ変換${\displaystyle L^{1}(G)}$は $${\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}{\overline {\chi (g)}}f(g)\,dg}$$ のために${\displaystyle \chi }$キャラクター${\displaystyle G}$。

プランシュレルの定理は、ハール測度が存在することを述べている。${\displaystyle {\widehat {G}}}$双対測度は 、$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$ すべての人々のために${\displaystyle f\in L^{1}\cap L^{2}}$（そしてフーリエ変換も${\displaystyle L^{2}}$)

この定理は、多くの非可換局所コンパクト群でも成り立つが、既約ユニタリ表現の集合は例外である。${\displaystyle {\widehat {G}}}$グループではない可能性があります。たとえば、${\displaystyle G}$有限群である。${\displaystyle {\widehat {G}}}$は既約指標の集合です。基本的な指標理論から、もし${\displaystyle f}$クラス関数であり、パーセバルの公式があります。 $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}}$$$${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|f(g)|^{2},\quad \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}(\dim \rho )^{2}|{\hat {f}}(\rho )|^{2}.}$$ より一般的に言えば、${\displaystyle f}$クラス関数ではないので、規範は $${\displaystyle \|{\hat {f}}\|_{\widehat {G}}^{2}=\sum _{\rho \in {\widehat {G}}}\dim \rho \,\operatorname {tr} ({\hat {f}}(\rho )^{*}{\hat {f}}(\rho ))}$$ したがって、プランシュレル尺度は、各表現をその次元で重み付けします。

一般的に言えば、プランシュレルの定理は $${\displaystyle \|f\|_{G}^{2}=\int _{\hat {G}}\|{\hat {f}}(\rho )\|_{HS}^{2}d\mu (\rho )}$$ ここでノルムは演算子の ヒルベルト・シュミットノルムである。$${\displaystyle {\hat {f}}(\rho )=\int _{G}f(g)\rho (g)^{*}\,dg}$$ そしてその尺度${\displaystyle \mu }$もし存在するならば、それはプランシュレル尺度と呼ばれる。

• カールソンの定理
• 球面関数に対するプランシュレルの定理

• Plancherel、Michel (1910)、「Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies」、Rendicconti del Circolo Matematico di Palermo、30 (1): 289–335、doi : 10.1007/BF03014877、S2CID 122509369 。
• Dixmier, J. (1969)、Les C*-algèbres et leurs Représentations、Gauthier Villars。
• 吉田和也（1968）、『関数解析』、シュプリンガー・フェルラーク。
• ルディン、ウォルター（1987）「9つのフーリエ変換」、実解析と複素解析（第3 版）、マグロウヒル・ブック・カンパニー。

• 「プランシュレルの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• Mathworldに掲載されているプラ​​ンシュレルの定理