定義 させてH {\displaystyle H} ヒルベルト空間 であり、A {\displaystyle A} 稠密な 領域 を持つ非有界 （つまり、必ずしも有界ではない）線形演算子 ドム A ⊆ H 。 {\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H.} H {\displaystyle H} 有限次元で あるためドム A = H {\displaystyle \operatorname {Dom} A=H}
（任意の）演算子の A {\displaystyle A} G （ A ） = { （ x 、 A x ） ∣ x ∈ ドム A } 。 {\displaystyle G(A)=\{(x,Ax)\mid x\in \operatorname {Dom} A\}.} B {\displaystyle B} 拡張 すると言われているA {\displaystyle A} G （ A ） ⊆ G （ B ） 。 {\displaystyle G(A)\subseteq G(B).} A ⊆ B 。 {\displaystyle A\subseteq B.}
内積⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 2番目の 引数に関して共役線形 である。随伴演算子 A * {\displaystyle A^{*}} ドム A * ⊆ H {\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\subseteq H} y {\displaystyle y}
⟨ A x 、 y ⟩ = ⟨ x 、 A * y ⟩ 、 ∀ x ∈ ドム A 。 {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.} 密に定義され た演算子A {\displaystyle A} 対称 エルミート ）と呼ばれるのは、A ⊆ A * {\displaystyle A\subseteq A^{*}} ドム A ⊆ ドム A * {\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}} A x = A * x {\displaystyle Ax=A^{*}x} x ∈ ドム A {\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A} A {\displaystyle A}
⟨ A x 、 y ⟩ = ⟨ x 、 A y ⟩ 、 ∀ x 、 y ∈ ドム A 。 {\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {Dom} A.} 以来ドム A * ⊇ ドム A {\displaystyle \operatorname {Dom} A^{*}\supseteq \operatorname {Dom} A} H {\displaystyle H} 閉じられる （つまり、G （ A ） {\displaystyle G(A)} A * {\displaystyle A^{*}} A {\displaystyle A} A * * {\displaystyle A^{**}} A {\displaystyle A} A * {\displaystyle A^{*}}
A ⊆ A * * ⊆ A * {\displaystyle A\subseteq A^{**}\subseteq A^{*}} 対称演算子の場合、
A = A * * ⊆ A * {\displaystyle A=A^{**}\subseteq A^{*}} 閉じた対称演算子の場合。
密に定義された演算子A {\displaystyle A} 自己共役で あると言われるのは、A = A * {\displaystyle A=A^{*}} A {\displaystyle A} ドム A = ドム A * {\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}} A {\displaystyle A} A * {\displaystyle A^{*}} A {\displaystyle A} ⟨ x 、 A x ⟩ {\displaystyle \left\langle x,Ax\right\rangle } x ∈ ドム A {\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A}
⟨ x 、 A x ⟩ = ⟨ A x 、 x ⟩ ¯ = ⟨ x 、 A x ⟩ ¯ ∈ R 、 ∀ x ∈ ドム A 。 {\displaystyle \langle x,Ax\rangle ={\overline {\langle Ax,x\rangle }}={\overline {\langle x,Ax\rangle }}\in \mathbb {R} ,\quad \forall x\in \operatorname {Dom} A.} 対称演算子A {\displaystyle A} 本質的に自己共役 であると言われるのは、A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} 一意の 自己共役拡張を持つ場合、その演算子は本質的に自己共役であると言えます。実際には、本質的に自己共役な演算子を持つことは、自己共役な演算子を持つこととほぼ同じくらい良いことです。なぜなら、自己共役な演算子を得るには、閉包を取るだけでよいからです。
物理学において、エルミート演算子 という用語は、対称演算子と自己共役演算子の両方を指す。両者の微妙な違いは、一般的に見過ごされがちである。
自己共役演算子のスペクトル させてA : ドム （ A ） → H {\displaystyle A:\operatorname {Dom} (A)\to H} 集合 正則集合 ）A {\displaystyle A}
ρ （ A ） = { λ ∈ C : ∃ （ A − λ 私 ） − 1 境界が明確で、密に定義されている } 。 {\displaystyle \rho (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,\exists (A-\lambda I)^{-1}\;{\text{bounded and densely defined}}\right\}.} もしA {\displaystyle A} A − λ 私 {\displaystyle A-\lambda I} 全単射 であることH {\displaystyle H} A {\displaystyle A}
σ （ A ） = C ∖ ρ （ A ） 。 {\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A).} 有限次元では、σ （ A ） ⊆ C {\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {C} } （複素）固有値 のみで構成される。自己共役作用素のスペクトルは常に実数である（すなわちσ （ A ） ⊆ R {\displaystyle \sigma (A)\subseteq \mathbb {R} } [ 13 ] 正規 ）作用素の場合、スペクトルが実数となるのは、作用素が自己共役である場合に限る。 これは、例えば、実スペクトルを持つ非自己共役作用素は必然的に非有界であることを意味する。
予備的に定義するS = { x ∈ ドム A ∣ ‖ x ‖ = 1 } 、 {\displaystyle S=\{x\in \operatorname {Dom} A\mid \Vert x\Vert =1\},} m = 情報 x ∈ S ⟨ A x 、 x ⟩ {\displaystyle \textstyle m=\inf _{x\in S}\langle Ax,x\rangle } M = すする x ∈ S ⟨ A x 、 x ⟩ {\displaystyle \textstyle M=\sup _{x\in S}\langle Ax,x\rangle } m 、 M ∈ R ∪ { ± ∞ } {\displaystyle m,M\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } x ∈ ドム A 、 {\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A,}
‖ （ A − λ ） x ‖ ≥ d （ λ ） ⋅ ‖ x ‖ 、 {\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert ,} どこd （ λ ） = 情報 r ∈ [ m 、 M ] | r − λ | 。 {\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}
確かに、x ∈ ドム A ∖ { 0 } 。 {\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A\setminus \{0\}.} コーシー・シュワルツの不等式 により、
‖ （ A − λ ） x ‖ ≥ | ⟨ （ A − λ ） x 、 x ⟩ | ‖ x ‖ = | ⟨ A x ‖ x ‖ 、 x ‖ x ‖ ⟩ − λ | ⋅ ‖ x ‖ ≥ d （ λ ） ⋅ ‖ x ‖ 。 {\displaystyle \Vert (A-\lambda )x\Vert \geq {\frac {|\langle (A-\lambda )x,x\rangle |}{\Vert x\Vert }}=\left|\left\langle A{\frac {x}{\Vert x\Vert }},{\frac {x}{\Vert x\Vert }}\right\rangle -\lambda \right|\cdot \Vert x\Vert \geq d(\lambda )\cdot \Vert x\Vert .} もしλ ∉ [ m 、 M ] 、 {\displaystyle \lambda \notin [m,M],} d （ λ ） > 0 、 {\displaystyle d(\lambda )>0,} A − λ 私 {\displaystyle A-\lambda I} 下限があると 呼ばれる。
定理 — 実スペクトルを持つ対称作用素は自己共役である
証拠 A {\displaystyle A} A ⊆ A * {\displaystyle A\subseteq A^{*}} A − λ 私 ⊆ A * − λ 私 {\displaystyle A-\lambda I\subseteq A^{*}-\lambda I} λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } σ （ A ） ⊆ [ m 、 M ] 。 {\displaystyle \sigma (A)\subseteq [m,M].} λ ∉ [ m 、 M ] {\displaystyle \lambda \notin [m,M]} λ ¯ ∉ [ m 、 M ] {\displaystyle {\bar {\lambda }}\notin [m,M]} { A − λ 私 、 A − λ ¯ 私 } : ドム A → H {\displaystyle \{A-\lambda I,A-{\bar {\lambda }}I\}:\operatorname {Dom} A\to H} A − λ 私 = A * − λ 私 。 {\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I.} H = 私は （ A − λ 私 ） ⊆ 私は （ A * − λ 私 ） {\displaystyle H=\operatorname {Im} (A-\lambda I)\subseteq \operatorname {Im} (A^{*}-\lambda I)} ドム （ A − λ 私 ） ⊊ ドム （ A * − λ 私 ） {\displaystyle \operatorname {Dom} (A-\lambda I)\subsetneq \operatorname {Dom} (A^{*}-\lambda I)} A * − λ 私 {\displaystyle A^{*}-\lambda I} カー （ A * − λ 私 ） ≠ { 0 } {\displaystyle \ker(A^{*}-\lambda I)\neq \{0\}} 私は （ A − λ ¯ 私 ） ⊥ = カー （ A * − λ 私 ） {\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)^{\perp }=\ker(A^{*}-\lambda I)} 私は （ A − λ ¯ 私 ） ≠ H 。 {\displaystyle \operatorname {Im} (A-{\bar {\lambda }}I)\neq H.} 平等A − λ 私 = A * − λ 私 {\displaystyle A-\lambda I=A^{*}-\lambda I} A = A * 、 {\displaystyle A=A^{*},} A {\displaystyle A} A * ⊆ A 。 {\displaystyle A^{*}\subseteq A.} x ∈ ドム A * {\displaystyle x\in \operatorname {Dom} A^{*}} y = A * x 、 {\displaystyle y=A^{*}x,} A * x = y ⇔ （ A * − λ 私 ） x = y − λ x ⇔ （ A − λ 私 ） x = y − λ x ⇔ A x = y 。 {\displaystyle A^{*}x=y\Leftrightarrow (A^{*}-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow (A-\lambda I)x=y-\lambda x\Leftrightarrow Ax=y.}
スペクトル定理 物理学の文献では、スペクトル定理はしばしば、自己共役演算子が固有ベクトルの正規直交基底を持つという形で述べられます。しかし、物理学者は「連続スペクトル」という現象をよく理解しています。したがって、彼らが「正規直交基底」と言うとき、それは古典的な意味での正規直交基底、あるいはその連続的な類似物のいずれかを意味します。 運動量演算子 の場合P = − 私 d d x {\textstyle P=-i{\frac {d}{dx}}} f p （ x ） := e 私 p x {\displaystyle f_{p}(x):=e^{ipx}} L 2 （ R ） {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} L 2 （ R ） {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 通常のクロネッカーデルタ を置き換えた後δ 私 、 j {\displaystyle \delta _{i,j}} ディラックのデルタ関数 によってδ （ p − p ′ ） {\displaystyle \delta \left(p-p'\right)}
これらの記述は数学者にとっては当惑させるかもしれないが、フーリエ変換を用いることで厳密にすることができ、一般的なL 2 {\displaystyle L^{2}} e 私 p x {\displaystyle e^{ipx}} L 2 {\displaystyle L^{2}} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p}
スペクトル定理は一般に、作用素が乗算作用素とユニタリ同値であることを示すことで、作用素を「対角化」できる可能性として同様に表現できる。スペクトル定理の他のバージョンも同様に、自己共役作用素が、実際には問題のヒルベルト空間に含まれていない「固有ベクトル」を持つ可能性があるという考え方を捉えることを意図している。
まず、（ X 、 Σ 、 μ ） {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} σ有限測度空間 であり、h : X → R {\displaystyle h:X\to \mathbb {R} } 可能な 関数X {\displaystyle X} T h : ドム T h → L 2 （ X 、 μ ） {\displaystyle T_{h}:\operatorname {Dom} T_{h}\to L^{2}(X,\mu )}
T h ψ （ x ） = h （ x ） ψ （ x ） 、 ∀ ψ ∈ ドム T h 、 {\displaystyle T_{h}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in \operatorname {Dom} T_{h},} どこ
ドム T h := { ψ ∈ L 2 （ X 、 μ ） | h ψ ∈ L 2 （ X 、 μ ） } 、 {\displaystyle \operatorname {Dom} T_{h}:=\left\{\psi \in L^{2}(X,\mu )\;|\;h\psi \in L^{2}(X,\mu )\right\},} は乗算演算子
第二に、2人のオペレーターA {\displaystyle A} B {\displaystyle B} ドム A ⊆ H 1 {\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq H_{1}} ドム B ⊆ H 2 {\displaystyle \operatorname {Dom} B\subseteq H_{2}} H 1 {\displaystyle H_{1}} H 2 {\displaystyle H_{2}} ユニタリ変換 が存在する場合に限りユニタリ同値である。 U : H 1 → H 2 {\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}
U ドム A = ドム B 、 {\displaystyle U\operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} B,} U A U − 1 ξ = B ξ 、 ∀ ξ ∈ ドム B 。 {\displaystyle UAU^{-1}\xi =B\xi ,\quad \forall \xi \in \operatorname {Dom} B.} ユニタリ同値の場合A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} ‖ A ‖ H 1 = ‖ B ‖ H 2 {\displaystyle \|A\|_{H_{1}}=\|B\|_{H_{2}}} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
定理 — 任意の自己共役作用素A {\displaystyle A} 可分 ヒルベルト空間上のは乗算演算子とユニタリ同値である、すなわち、
U A U − 1 ψ （ x ） = h （ x ） ψ （ x ） 、 ∀ ψ ∈ U ドム （ A ） {\displaystyle UAU^{-1}\psi (x)=h(x)\psi (x),\quad \forall \psi \in U\operatorname {Dom} (A)} スペクトル定理は、有界および非有界の自己共役作用素の両方に対して成り立つ。後者の証明は、ユニタリ作用素 のスペクトル定理に帰着することで得られる。[ 21 ] T {\displaystyle T} h {\displaystyle h} T {\displaystyle T} 、 h {\displaystyle h}
スペクトル定理のより完全なバージョンも存在し、それらは直接積分を含み、「一般化固有ベクトル」の概念を伴う。
量子力学では、スペクトル定理とボレル関数計算の両方の複合表現として ディラック記法 が用いられる。つまり、H が自己共役であり、f が ボレル関数 である場合、
f （ H ） = ∫ d E | Ψ E ⟩ f （ E ） ⟨ Ψ E | {\displaystyle f(H)=\int dE\left|\Psi _{E}\rangle f(E)\langle \Psi _{E}\right|} と
H | Ψ E ⟩ = E | Ψ E ⟩ {\displaystyle H\left|\Psi _{E}\right\rangle =E\left|\Psi _{E}\right\rangle } ここで、積分はH の全スペクトルにわたって行われます。この表記は、H が 固有ベクトル Ψ E 形式的なもの です。恒等式の分解 (射影値測度 と呼ばれることもあります) は形式的にはランク 1 射影に似ています。| Ψ E ⟩ ⟨ Ψ E | {\displaystyle \left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|} 固有値 と固有状態 によって記述されますが、どちらも純粋に形式的な対象です。当然のことながら、これは恒等式の分解には適用されません。後者の定式化では、測定はスペクトル測度を用いて記述されます。 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } リギングヒルベルト空間 に置き換えることができます。
f = 1
私 = ∫ d E | Ψ E ⟩ ⟨ Ψ E | {\displaystyle I=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle \left\langle \Psi _{E}\right|} の場合H eff = H − 私 Γ {\displaystyle H_{\text{eff}}=H-i\Gamma } は、エルミート行列H と歪エルミート行列 (歪エルミート行列 を参照) 演算子の和です。− 私 Γ {\displaystyle -i\Gamma } 直交 基底セットを定義する
H eff * | Ψ E * ⟩ = E * | Ψ E * ⟩ {\displaystyle H_{\text{eff}}^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle =E^{*}\left|\Psi _{E}^{*}\right\rangle } そしてスペクトル定理を次のように書きます。
f （ H eff ） = ∫ d E | Ψ E ⟩ f （ E ） ⟨ Ψ E * | {\displaystyle f\left(H_{\text{eff}}\right)=\int dE\left|\Psi _{E}\right\rangle f(E)\left\langle \Psi _{E}^{*}\right|} （このような演算子が散乱理論 で現れる文脈については、フェシュバッハ・ファノ分割を
スペクトル定理は 自己共役作用素にのみ適用され、一般に対称作用素には適用されません。しかしながら、ここでは固有ベクトルの正規直交基底を持つ対称作用素（具体的には、本質的に自己共役な作用素）の簡単な例を挙げることができます。複素ヒルベルト空間L 2 [0,1] と微分作用素を考えます。
A = − d 2 d x 2 {\displaystyle A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}} とD o m （ A ） {\displaystyle \mathrm {Dom} (A)} 微分可能 関数fから構成される
f （ 0 ） = f （ 1 ） = 0. {\displaystyle f(0)=f(1)=0.} すると、内積の部分積分により、 A が対称であることがわかる。[ 注 1 ] A の固有関数は正弦波である。
f n （ x ） = 罪 （ n π x ） n = 1 、 2 、 … {\displaystyle f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots } 実固有値はn 2 π 2であり、 A が対称であることから、正弦関数のよく知られた直交性が導かれる。
演算子A は コンパクトな 逆演算子を持つことがわかります。つまり、対応する微分方程式 Af = g は、ある積分演算子 (したがってコンパクトな) G によって解かれます。コンパクトな対称演算子G は、 L 2 。
純粋な点スペクトル H 上の自己共役作用素A が純粋点スペクトルを持つのは、 H が A の固有ベクトルからなる正規直交基底 { e i i ∈ I を持つ場合に限る。
例 。調和振動子のハミルトニアンは、二次ポテンシャルV を持ちます。
− Δ + | x | 2 。 {\displaystyle -\Delta +|x|^{2}.} このハミルトニアンは純粋な点スペクトルを持ちます。これは量子力学における束縛状態のハミルトニアンに典型的なものです。 前の例で指摘したように、非有界対称演算子がヒルベルト空間の基底を形成する固有ベクトルを持つための十分条件は、コンパクトな逆演算子を持つことです。
対称演算子と自己共役演算子 対称作用素と（本質的に）自己共役作用素の区別は微妙ではあるが、スペクトル定理における仮定は自己共役性であるため、この区別は重要である。ここでは、その区別に関する具体的な例をいくつか説明する。
量子力学における非自己共役演算子 量子力学では、観測量は自己共役演算子に対応します。1パラメータユニタリ群に関するストーンの定理 によれば、自己共役演算子は時間発展 演算子のユニタリ群の無限小生成子に正確に対応します。しかし、多くの物理問題は、ハミルトニアンが対称性のみを持つ微分演算子を含む時間発展方程式として定式化されます。このような場合、ハミルトニアンは本質的に自己共役であり、その場合は物理問題に一意の解が存在するか、あるいは異なるタイプの境界条件や無限遠での条件に対応するハミルトニアンの自己共役拡張を見つけようと試みます。
例。 ポテンシャルを持つ一次元シュレーディンガー演算子V （ x ） = − （ 1 + | x | ） α {\displaystyle V(x)=-(1+|x|)^{\alpha }} は、最初は滑らかでコンパクトな台を持つ関数上で定義され、 0 < α ≤ 2 の場合は本質的に自己共役であるが、 α > 2
本質的自己共役性の失敗α > 2 {\displaystyle \alpha >2} V （ x ） {\displaystyle V(x)} [ 32 ]
例： 自己共役運動量演算子は存在しない。p {\displaystyle p} p 2 {\displaystyle p^{2}}
例
本質的に自己共役ではない対称演算子 まずヒルベルト空間について考察する。L 2 [ 0 、 1 ] {\displaystyle L^{2}[0,1]}
D : ϕ ↦ 1 私 ϕ ′ {\displaystyle D:\phi \mapsto {\frac {1}{i}}\phi '} [0,1] 上の連続微分可能な複素数値関数の空間上で定義され、境界条件を満たす。
ϕ （ 0 ） = ϕ （ 1 ） = 0. {\displaystyle \phi (0)=\phi (1)=0.} すると、Dは 部分積分 によって示されるように対称演算子となる。空間N + 、N − (以下で定義) は、それぞれ方程式の分布 解によって与えられる。
− 私 u ′ = 私 u − 私 u ′ = − 私 u {\displaystyle {\begin{aligned}-iu'&=iu\\-iu'&=-iu\end{aligned}}} これらはL 2 [0, 1] に属します。これらの解空間はそれぞれ 1 次元であり、関数x → e −x x → e x D が本質的に自己共役ではないことを示していますが、[ 34 ] 自己共役拡張を持っています。これらの自己共役拡張は、ユニタリ写像N + → N − の空間によってパラメータ化され、この場合はたまたま単位円T になります。
この場合、本質的自己共役性の失敗は、領域の定義における境界条件の「誤った」選択によるものである。D {\displaystyle D} D {\displaystyle D} D {\displaystyle D}
ϕ （ 0 ） = ϕ （ 1 ） {\displaystyle \phi (0)=\phi (1)} この場合、Dは 依然として対称であり、実際には本質的に自己共役となる。この境界条件の変更により、 D の特定の本質的に自己共役な拡張が1つ得られる。他の本質的に自己共役な拡張は、次の形式の境界条件を課すことによって得られる。ϕ （ 1 ） = e 私 θ ϕ （ 0 ） {\displaystyle \phi (1)=e^{i\theta }\phi (0)}
この簡単な例は、開集合M上の対称微分作用素 P の自己共役拡張に関する一般的な事実を示しています。それらは、固有値空間間のユニタリ写像によって決定されます。
N ± = { u ∈ L 2 （ M ） : P 距離 u = ± 私 u } {\displaystyle N_{\pm }=\left\{u\in L^{2}(M):P_{\operatorname {dist} }u=\pm iu\right\}} ここで、P dist は P の分布拡張である。
定数係数演算子 次に、定数係数 を持つ微分作用素の例を示します。
P （ x → ） = ∑ α c α x α {\displaystyle P\left({\vec {x}}\right)=\sum _{\alpha }c_{\alpha }x^{\alpha }} は実数 係数を持つR n 多重指数 集合を移動する。したがって
α = （ α 1 、 α 2 、 … 、 α n ） {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} そして
x α = x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n 。 {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}.} また、表記法も使用します。
D α = 1 私 | α | ∂ x 1 α 1 ∂ x 2 α 2 ⋯ ∂ x n α n 。 {\displaystyle D^{\alpha }={\frac {1}{i^{|\alpha |}}}\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\partial _{x_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}.} 次に、コンパクト サポートを持つ無限微分可能関数の空間上で定義された演算子P (D) は 、
P （ D ） ϕ = ∑ α c α D α ϕ {\displaystyle P(\operatorname {D} )\phi =\sum _{\alpha }c_{\alpha }\operatorname {D} ^{\alpha }\phi } 本質的にはL 2 ( R n
定理 — P を 実係数を持つ R n 上の多項式関数、Fを ユニタリ L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) とみなしたフーリエ変換とする。 この とき、 F P ( D ) F 本質 的に 自己共役 であり、その唯一の自己共役拡張は関数P による乗算演算子である。
より一般的には、コンパクト台を持つ無限回微分可能な複素数値関数に作用する線形微分作用素を考えます。Mが R n
P ϕ （ x ） = ∑ α 1 α （ x ） [ D α ϕ ] （ x ） {\displaystyle P\phi (x)=\sum _{\alpha }a_{\alpha }(x)\left[D^{\alpha }\phi \right](x)} ここで、α は （必ずしも定数ではない）無限回微分可能な関数である。Pは 線形演算子である。
C 0 ∞ （ M ） → C 0 ∞ （ M ） 。 {\displaystyle C_{0}^{\infty }(M)\to C_{0}^{\infty }(M).} P に対応する別の微分演算子、すなわちP の形式的随伴演算子
P * f o r m ϕ = ∑ α D α （ 1 α ¯ ϕ ） {\displaystyle P^{\mathrm {*form} }\phi =\sum _{\alpha }D^{\alpha }\left({\overline {a_{\alpha }}}\phi \right)} 定理 — P の随伴P *は、形式的随伴の分布拡張を適切な部分空間に制限したものである。L 2 {\displaystyle L^{2}} ドム P * = { u ∈ L 2 （ M ） : P * f o r m u ∈ L 2 （ M ） } 。 {\displaystyle \operatorname {dom} P^{*}=\left\{u\in L^{2}(M):P^{\mathrm {*form} }u\in L^{2}(M)\right\}.}
スペクトル多重度理論 自己共役演算子の乗法表現は非常に有用ではあるものの、標準的な表現ではありません。このことから、自己共役演算子A とBがユニタリ同値であるかどうかを判断する基準をこの表現から抽出するのは容易ではないことがわかります。ここで議論する最も詳細な表現は、スペクトル多重度に関するものです。この一連の結果は、 ハーン ・ヘリンジャー のスペクトル多重度理論
まず、一様多重度 を定義します。
定義 。自己共役演算子Aは、 n が 1 ≤ n ≤ ω を満たすような一様多重度n を持つのは、 A が 関数f ( λ ) = λ による乗算演算子 M f
L μ 2 （ R 、 H n ） = { ψ : R → H n : ψ 測定可能で ∫ R ‖ ψ （ t ） ‖ 2 d μ （ t ） < ∞ } {\displaystyle L_{\mu }^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{n}\right)=\left\{\psi :\mathbf {R} \to \mathbf {H} _{n}:\psi {\text{ は測定可能であり }}\int _{\mathbf {R} }\|\psi (t)\|^{2}d\mu (t)<\infty \right\}} ここで、H n はn 次元のヒルベルト空間である。M f 上 のベクトル値関数ψからなり、
∫ R | λ | 2 ‖ ψ （ λ ） ‖ 2 d μ （ λ ） < ∞ 。 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }|\lambda |^{2}\ \|\psi (\lambda )\|^{2}\,d\mu (\lambda )<\infty .} 非負の可算加法測度μ 、νは、 互いに特異で あるのは、それらが互いに素なボレル集合上に台を持つ場合のみである。
定理 — A を 可分 ヒルベルト空間H 上の自己共役作用素とする。このとき、 R 上に可算加法的な有限測度のω 列が存在する(その中には恒等的に 0 となるものもある)。 { μ ℓ } 1 ≤ ℓ ≤ ω {\displaystyle \left\{\mu _{\ell }\right\}_{1\leq \ell \leq \omega }} A は 関数f ( λ ) = λ による 乗算演算子とユニタリ等価である。⨁ 1 ≤ ℓ ≤ ω L μ ℓ 2 （ R 、 H ℓ ） 。 {\displaystyle \bigoplus _{1\leq \ell \leq \omega }L_{\mu _{\ell }}^{2}\left(\mathbf {R} ,\mathbf {H} _{\ell }\right).}
この表現は、次の意味で独特です。同じA の任意の 2 つの表現について、対応する尺度は、同じ尺度 0 の集合を持つという意味で同等です。
直接積分 スペクトル多重度定理は、ヒルベルト空間の直積分を用いて次のように再定式化できる。
定理 — [ 35 ] ∫ R ⊕ H λ d μ （ λ ） 。 {\displaystyle \int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).}
スペクトル定理の乗算演算子バージョンとは異なり、直接積分バージョンは、μ の測度同値類（または等価的に測度0の集合）が一意に決定され、可測関数がλ ↦ d 私 m （ H λ ） {\displaystyle \lambda \mapsto \mathrm {dim} (H_{\lambda })} はμ に関してほぼ至る所で決定される。[ 36 ] λ ↦ 薄暗い （ H λ ） {\displaystyle \lambda \mapsto \operatorname {dim} \left(H_{\lambda }\right)} スペクトル多重度関数 です。
ここで、自己共役作用素の分類結果を述べることができます。2 つの自己共役作用素がユニタリ同値であるのは、(1) スペクトルが集合として一致すること、(2) 直接積分表現に現れる測度が同じ測度ゼロの集合を持つこと、(3) スペクトル多重度関数が直接積分の測度に関してほとんど至るところで一致すること、の 3 の場合のみです。[ 37 ]
例：ラプラシアンの構造 R n
Δ = ∑ 私 = 1 n ∂ x 私 2 。 {\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}\partial _{x_{i}}^{2}.} 前述のように、ラプラシアンはフーリエ変換によって対角化されます。実際には、演算子として非負であるため、ラプラシアンの負の値−Δ を考える方がより自然です（ 楕円演算子 を参照）。
定理 — n = 1の場合、−Δ は一様重複度を持つマルチ = 2 {\displaystyle {\text{mult}}=2} マルチ = ω {\displaystyle {\text{mult}}=\omega } μmult は
↑ 読者は部分積分を2回実行し、与えられた境界条件がドム （ A ） {\displaystyle \operatorname {Dom} (A)}
参考文献 アキエゼル、ナウム・イリイチ （1981）。ヒルベルト空間における線形作用素の理論 。ボストン：ピットマン。ISBN 0-273-08496-8 。ベレジン, FA ; Shubin、MA (2012) [1991]、The Schrödinger Equation 、Springer、ISBN 978-9401053914 Bonneau, Guy; Faraut, Jacques; Valent, Galliano (2001). "演算子の自己共役拡張と量子力学の教育". American Journal of Physics 69 (3): 322–331 . arXiv : quant-ph/0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B . doi : 10.1119/1.1328351 . ISSN 0002-9505 . Bebiano, N.; da Providência, J. (2019-01-01). "実スペクトルを持つ非自己共役演算子と量子力学の拡張". Journal of Mathematical Physics 60 (1): 012104. arXiv : 1808.08863 . Bibcode : 2019JMP....60a2104B . doi : 10.1063/1.5048577 . ISSN 0022-2488 . Carey, RW; Pincus, JD (1974年5月) 「ある種の作用素環の不変量」米国科学アカデミー紀要 71 ( 5 ): 1952–1956 . Bibcode : 1974PNAS...71.1952C . doi : 10.1073 / pnas.71.5.1952 . PMC 388361. PMID 16592156 . Carey, RW; Pincus, JD (1973). 「絡み合う等長変換の構造」 . Indiana University Mathematics Journal 7 (22): 679–703 . doi : 10.1512/iumj.1973.22.22056 . グリッフェル、DH（2002）。応用関数解析 。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 0-486-42258-5 OCLC 49250076。 Hall, BC (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN 978-1461471158 加藤 孝 （1966）『線形作用素の摂動論 』ニューヨーク：シュプリンガーde la Madrid Modino, R. (2001). Quantum mechanics in rigged Hilbert space language (PhD thesis). Universidad de Valladolid. Moretti, V. (2017), Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation , Springer-Verlag, Bibcode : 2017stqm.book.....M , ISBN 978-3-319-70706-8 ナリチ、ローレンス； ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間 。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666 OCLC 144216834。 ペダーセン、ゲルト・K. (1989). 「解析学入門」.大学院数学テキストシリーズ . 第 118巻. ニューヨーク、NY: スプリンガー・ニューヨーク. doi : 10.1007/978-1-4612-1007-8 . ISBN 978-1-4612-6981-6 ISSN 0072-5285 リード、M. ;サイモン、B. (1980).現代数理物理学の方法: 第 1 巻: 関数解析 . アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-585050-6 。リード、M.、サイモン、B. (1972)、『数理物理学の方法：第2巻：フーリエ解析、自己共役性』 、アカデミック・プレス ルーディン、ウォルター （1991）。関数解析 。マサチューセッツ州ボストン：マグロウヒル・サイエンス、エンジニアリング＆マセマティクス。ISBN 978-0-07-054236-5 。シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間 . GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 OCLC 840278135 Ruelle, D. (1969). "ポテンシャル散乱理論における束縛状態に関する考察" (PDF) . Il Nuovo Cimento A . 61 (4). Springer Science and Business Media LLC: 655– 662. Bibcode : 1969NCimA..61..655R . doi : 10.1007/bf02819607 . ISSN 0369-3546 . S2CID 56050354 . 2024年4月15日にオリジナル(PDF) からアーカイブ済み。 Teschl, G. (2009), Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators , Providence: American Mathematical Societyトレヴ、フランソワ (2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1 OCLC 853623322。 吉田和也 （1965）『関数解析 』アカデミック・プレス
![{\displaystyle \textstyle d(\lambda )=\inf _{r\in [m,M]}|r-\lambda |.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d92c0075f640055ee05f208cff7d0eb5c1aa3d1)
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![{\displaystyle \operatorname {E} (\lambda )=\mathbf {1} _{(-\infty ,\lambda ]}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022bb945fef59c169f93cfeb742089f84fa239c7)
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}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc913455d867f36cc9360c93c2e416954f3f96c)
