コンパクトなスペース

数学、特に一般位相幾何学において、コンパクト性とは、ユークリッド空間の閉じた有界部分集合の概念を一般化しようとする性質である。^[1]その考え方は、コンパクト空間には「パンクチャ」や「失われた端点」がなく、つまり、点のすべての極限値が含まれるというものである。たとえば、開区間(0,1) は 0 と 1 の極限値を除外するためコンパクトではないが、閉区間 [0,1] はコンパクトである。同様に、有理数空間は無理数に対応する「パンクチャ」が無限にあるためコンパクトではなく、実数空間もとの2 つの極限値を除外するためコンパクトではない。しかし、拡張された実数直線は両方の無限大を含むためコンパクトである。この経験的概念を正確にする方法は多数ある。これらの方法は、通常、計量空間では一致するが、他の位相空間では同等ではない可能性がある。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$

そのような一般化の 1 つは、位相空間からサンプリングされたすべての無限の点のシーケンスに、空間の任意の点に収束する無限の部分シーケンスがある場合、位相空間は順次コンパクトであるというものです。 ^[2]ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理は、ユークリッド空間の部分集合がこの順次の意味でコンパクトであるためには、それが閉じていて有界である場合に限るとしています。したがって、閉じた単位区間[0, 1]内の無限の数の点を選択すると、それらの点のいくつかはその空間内のある実数に任意に近くなります。たとえば、シーケンス⁠内のいくつかの数は、 1/2⁠、⁠4/5⁠、⁠1/3⁠、⁠5/6⁠、⁠1/4⁠、⁠6/7⁠、... は0 に集積します (一方、その他は 1 に集積します)。0 も 1 も開単位区間(0, 1)のメンバーではないため、それらの同じ点の集合はその区間のどの点にも集積されず、したがって開単位区間はコンパクトではありません。ユークリッド空間のサブセット (サブスペース) はコンパクトになり得ますが、空間全体は有界ではないためコンパクトではありません。たとえば、(実数直線) を考えると、点のシーケンス0、1、2、3、... には、任意の実数に収束するサブシーケンスはありません。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

コンパクト性は、1906 年にモーリス・フレシェによって正式に導入され、ボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を幾何学的点の空間から関数の空間に一般化しました。アルツェラ-アスコリの定理とペアノの存在定理は、このコンパクト性の概念を古典解析に適用した例です。コンパクト性が最初に導入されてから、一般計量空間において、逐次コンパクト性や極限点コンパクト性など、コンパクト性の同等のさまざまな概念が開発されました。 ^[3]しかし、一般位相空間では、これらのコンパクト性の概念は必ずしも同等ではありません。最も有用な概念、および無条件の用語であるコンパクト性の標準的な定義は、空間の各点がその族に含まれる何らかの集合に含まれるという意味で、空間を「カバー」する有限の開集合族の存在という観点から表現されます。 1929 年にパベル・アレクサンドロフとパベル・ウリソンによって導入されたこのより微妙な概念は、コンパクト空間を有限集合の一般化として表しています。この意味でコンパクトな空間では、局所的に(つまり各点の近傍で)成立する情報をつなぎ合わせて、空間全体で成立する対応するステートメントにすることがよく可能であり、多くの定理がこのような性質を持っています。

コンパクト集合という用語は、コンパクト空間の同義語として使用されることもありますが、位相空間のコンパクト部分空間を指すこともよくあります。

19 世紀には、後にコンパクト性の帰結とみなされることになるいくつかの異なる数学的性質が理解されていました。一方では、ベルナルド ボルツァーノ(1817) は、任意の有界点列 (たとえば直線や平面上) には、いずれは他の点に任意に近づく部分列があり、これを極限点と呼ぶことに気付いていました。ボルツァーノの証明は二分法に頼っていました。つまり、列をある区間に配置し、それを 2 つの等しい部分に分割し、列の無限個の項を含む部分を選択します。次に、結果として得られたより小さな区間をさらに小さな部分に分割することで、このプロセスを繰り返すことができます。これは、目的の極限点で閉じるまで続きます。ボルツァーノの定理とその証明方法の完全な重要性は、ほぼ 50 年後にカール ワイエルシュトラスによって再発見されるまで明らかになりませんでした。^[4]

1880 年代には、ボルツァーノ-ヴァイエルシュトラスの定理に似た結果が、単なる数や幾何学的な点ではなく、関数の空間に対して定式化できることが明らかになりました。関数を一般化された空間の点と見なすという考え方は、ジュリオ・アスコリとチェーザレ・アルツェラの研究に遡ります。^[5] 彼らの研究の集大成であるアルツェラ-アスコリの定理は、ボルツァーノ-ヴァイエルシュトラスの定理を連続関数の族に一般化したものであった。その正確な結論は、適切な関数の族から一様収束する関数の列を抽出できるというものでした。この列の一様極限は、ボルツァーノの「極限点」とまったく同じ役割を果たしました。20 世紀初頭に向けて、アルツェラとアスコリの結果に似た結果が、デビッド・ヒルベルトとエアハルト・シュミットによって研究された積分方程式の分野で蓄積され始めました。シュミットは、積分方程式の解から得られるある種のグリーン関数について、平均収束、あるいは後にヒルベルト空間と呼ばれるようになる空間における収束という意味で、アルツェラ-アスコリ定理に類似した性質が成り立つことを示した。これは最終的に、コンパクト空間という一般的な概念の派生として、コンパクト作用素という概念につながった。 1906年にボルツァーノ-ワイエルシュトラスの性質の真髄を抽出し、この一般的な現象を指すためにコンパクト性という用語を作ったのはモーリス・フレシェであった（彼はこの用語を、有名な1906年のテーゼにつながった1904年の論文^[6]ですでに使用していた）。

しかし、19世紀末には、解析学の厳密な定式化の基礎と考えられていた連続体の研究から、まったく異なるコンパクト性の概念も徐々に現れてきました。1870年、エドゥアルト・ハイネは、閉じた有界区間上で定義された連続関数は、実際には一様連続であることを示しました。証明の過程で、彼は、より小さな開区間による区間の任意の可算被覆から、その区間を覆うような開区間を有限個選択することができるという補題を利用しました。この補題の重要性はエミール・ボレル(1895) によって認識され、ピエール・クザン (1895) とアンリ・ルベーグ(1904)によって任意の区間の集合に一般化されました。現在では結果として知られているハイネ・ボレルの定理は、実数の閉じた有界集合が持つ別の特殊な性質です。

この特性は、集合についての局所的な情報（関数の連続性など）から集合についての大域的な情報（関数の一様連続性など）への移行を可能にする点で重要であった。この考えはルベーグ（1904）によって表明され、彼は現在彼の名前を冠している積分の開発にもこの考えを利用した。最終的に、パベル・アレクサンドロフとパベル・ウリゾーンの指導の下、ロシアの点集合位相学派は、ハイネ・ボレルのコンパクト性を、現代の位相空間の概念に適用できるような形で定式化した。アレクサンドロフとウリゾーン（1929）は、現在（相対）逐次コンパクト性と呼ばれている、フレシェによる以前のコンパクト性のバージョンは、適切な条件下では、有限部分被覆の存在に基づいて定式化されたコンパクト性のバージョンから導かれることを示した。このコンパクト性の概念は、より強力な特性であるだけでなく、空間内の開集合の構造のみに依存するため、最小限の追加技術的機構でより一般的な設定で定式化できるため、支配的なものとなりました。

任意の有限空間はコンパクトである。各点について、それを含む開集合を選択することで有限部分被覆が得られる。コンパクト空間の重要な例として、実数の（閉じた）単位区間 [0,1]が挙げられる。単位区間内に無限個の異なる点を選択した場合、その区間内にはこれらの点の間に何らかの集積点が存在するはずである。例えば、数列1,  ⁠の奇数項は、1/2⁠、  ⁠1/3⁠、  ⁠3/4⁠、  ⁠1/5⁠、  ⁠5/6⁠、  ⁠1/7⁠、  ⁠7/8⁠、... は0 に任意に近づきますが、偶数番目は 1 に任意に近づきます。与えられた例のシーケンスは、区間の境界点を含めることの重要性を示しています。なぜなら、極限点は空間自体の中になければならないからです。つまり、実数の開区間 (または半開区間) はコンパクトではありません。区間が有界であることも重要です。区間[0,∞)では、 0、1、2、3、...の点のシーケンスを選択でき、その部分シーケンスは最終的に任意の実数に任意に近づくことはないからです。

2 次元では、閉じた円板はコンパクトです。これは、円板からサンプリングされた任意の無限数の点について、それらの点のサブセットの一部が、円板内の点または境界上の点のいずれかに任意に近づく必要があるためです。ただし、開いた円板はコンパクトではありません。これは、一連の点が境界に向かう傾向があるためです。ただし、内部の任意の点に任意に近づくことはありません。同様に、球はコンパクトですが、点が 1 つもない球はコンパクトではありません。これは、一連の点が依然として欠けている点に向かう傾向があるため、空間内の任意の点に任意に近づくことができないためです。線と平面はコンパクトではありません。これは、任意の方向に等間隔の点の集合をとった場合、どの点にも近づくことがないためです。

一般性の度合いに応じて、コンパクト性にはさまざまな定義が適用できる。特にユークリッド空間の部分集合は、それが閉じていて有界である場合にコンパクトと呼ばれる。これは、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により、集合からの任意の無限列には、集合内のある点に収束する部分列が存在することを意味する。一般計量空間では、逐次コンパクト性や極限点コンパクト性など、コンパクト性のさまざまな同等の概念を展開することができる。^[3]

対照的に、コンパクト性の異なる概念は一般の位相空間では同等ではなく、コンパクト性の最も有用な概念 (もともとは双コンパクト性と呼ばれていた) は、開集合からなる被覆を使用して定義されます(下記の開被覆の定義を参照)。この形式のコンパクト性がユークリッド空間の閉部分集合および有界部分集合に対して成り立つことは、ハイネ・ボレルの定理として知られています。コンパクト性をこのように定義すると、多くの場合、局所的に(空間の各点の近傍で)わかっている情報を取り、それを空間全体で大域的に成り立つ情報に拡張することができます。この現象の一例は、もともとハイネによって適用されたディリクレの定理で、コンパクト区間上の連続関数は一様連続であるというものです。ここで、連続性は関数の局所的な性質であり、一様連続性は対応する大域的な性質です。

形式的には、位相空間 Xがコンパクトと呼ばれるのは、Xのすべての開被覆が有限部分被覆を持つときである。^[7]つまり、Xがコンパクトであるとは、 Xの開部分集合^[8]の任意 の集合Cに対して、

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

有限部分集合F ⊆ Cが存在し、

$${\displaystyle X=\bigcup _{S\in F}S\ .}$$

代数幾何学など、フランスのブルバキ学派の影響を典型的に受ける数学の分野では、一般的な概念として「準コンパクト」という用語を使用し、「コンパクト」という用語は、ハウスドルフと準コンパクトの両方である位相空間に対してのみ使用します。コンパクト集合は、コンパクトム(複数形はcompacta )と呼ばれることもあります。

位相空間Xの部分集合Kは、それが部分空間（部分空間位相）としてコンパクトである場合にコンパクトであると言われる。つまり、Kがコンパクトであるとは、 Xの任意の開部分集合の集合Cに対して、

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in C}S\ ,}$$

有限部分集合F ⊆ Cが存在し、

$${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{S\in F}S\ .}$$

コンパクト性は位相的性質であるため、部分集合のコンパクト性は、その部分集合に誘導される部分空間位相のみに依存します。したがって、部分集合Zに部分空間位相が備わっている場合、K がZにおいてコンパクトである必要十分条件は、 KがYにおいてコンパクトである場合です。 ${\displaystyle K\subset Z\subset Y}$

X が位相空間である場合、以下は同値です。

1. X はコンパクトです。つまり、Xのすべての開被覆には有限の部分被覆があります。
2. X には部分基底があり、その部分基底の要素による空間のすべての被覆には有限の部分被覆がある (アレクサンダーの部分基底定理)。
3. Xはリンデレフであり可算コンパクトである。^[9]
4. 有限交差特性を持つXの閉じた部分集合の任意のコレクションには、空でない交差が存在します。
5. X上のすべてのネットには収束サブネットがあります (証明についてはネットに関する記事を参照してください)。
6. X上のすべてのフィルターには収束的な改良点があります。
7. X上のすべてのネットにはクラスター ポイントがあります。
8. X上のすべてのフィルターにはクラスター ポイントがあります。
9. X上のすべてのウルトラフィルターは少なくとも 1 つの点に収束します。
10. Xの任意の無限部分集合には完全な集積点が存在する。^[10]
11. あらゆる位相空間Yに対して、射影は閉じた写像である^[11]（適切な写像を参照）。${\displaystyle X\times Y\to Y}$
12. 部分集合の包含関係によって線形順序付けられたすべての開被覆にはXが含まれる。^[12]

ブルバキは、コンパクト空間（準コンパクト空間）を、各フィルターがクラスター点（すなわち、上記の8.）を持つ位相空間として定義しています。^[13]

ユークリッド空間の任意の部分集合 Aに対して、Aがコンパクトであるための必要十分条件は、それが閉じていて有界である場合です。これがハイン・ボレルの定理です。

ユークリッド空間は距離空間なので、次のサブセクションの条件は、そのすべてのサブセットにも適用されます。同等の条件の中で、実際には、たとえば閉区間または閉じたn球の場合、サブセットが閉じていて有界であることを確認するのが最も簡単です。

任意の距離空間( X , d )に対して、以下は同値です (可算選択を想定)。

1. ( X , d ) はコンパクトです。
2. ( X , d )は完全かつ全有界である（これは一様空間のコンパクト性とも同値である）。^[14]
3. ( X , d )は順次コンパクトである、つまり、X内のすべてのシーケンスには、その極限がXにある収束部分シーケンスが存在する（これは、第一可算一様空間のコンパクト性とも同等である）。
4. ( X , d )は極限点コンパクト（弱可算コンパクトとも呼ばれる）である。つまり、Xのすべての無限部分集合には、 X内に少なくとも 1 つの極限点がある。
5. ( X , d )は可算コンパクトです。つまり、Xのすべての可算開被覆には有限の部分被覆があります。
6. ( X , d )はカントール集合からの連続関数の像である。^[15]
7. ( X , d )内の空でない閉部分集合S ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ...のすべての減少するネストされたシーケンスには、空でない共通集合があります。
8. ( X _{, d} )内の適切な開集合S1⊆S2⊆ ...のすべての増加する入れ子列は、Xをカバーできません。

コンパクトな距離空間( X , d )は次の性質も満たします。

1. ルベーグ数の補題: Xのすべての開被覆に対して、直径 < δであるXのすべての部分集合が被覆のいずれかのメンバーに含まれるような数δ > 0が存在する。
2. ( X , d )は、第 2 可算、可分、およびLindelöfです。これらの 3 つの条件は、距離空間では同等です。逆は真ではありません。たとえば、可算離散空間は、これらの 3 つの条件を満たしますが、コンパクトではありません。
3. X は閉じており、有界である（制限計量がdである任意の計量空間の部分集合として）。非ユークリッド空間では逆は成立しない可能性がある。例えば、離散計量を備えた実数直線は閉じており、有界であるがコンパクトではない。なぜなら、空間のすべてのシングルトンの集合は、有限の部分被覆を許容しない開被覆だからである。これは完全であるが、完全に有界ではない。

順序付き空間（X、<）（つまり、順序位相を備えた全順序集合）の場合、以下は同値である。

1. ( X , <)はコンパクトです。
2. Xのすべての部分集合には、 X内に上限（つまり、最小の上限）が存在します。
3. Xのすべての部分集合には、 X内に下限値（つまり、最大の下限値）が存在します。
4. Xの空でない閉部分集合にはそれぞれ最大元と最小元が存在します。

これらの条件のいずれかを満たす順序付けられた空間は、完全格子と呼ばれます。

さらに、以下はすべての順序付き空間( X , <)に対して同値であり、(可算選択と仮定して) ( X , <)がコンパクトである場合は常に真です。(逆は一般に、( X , <)が距離化可能でない場合は失敗します。):

1. ( X ,<)内のすべてのシーケンスには、( X ,<)に収束するサブシーケンスがあります。
2. X内のすべての単調増加シーケンスは、X内の一意の極限に収束します。
3. X内のすべての単調減少シーケンスは、X内の一意の極限に収束します。
4. ( X , <)内の空でない閉部分集合S ₁ ⊇ S ₂ ⊇ ...のすべての減少するネストされたシーケンスには、空でない共通集合があります。
5. ( _{X ,} <)における適切な開集合S1⊆S2⊆ ...の増加する入れ子の列はすべて、Xをカバーできません。

X を位相空間、C( X )をX上の実連続関数の環とする。各p ∈ Xに対して、 ev _p ( f ) = f ( p ) で与えられる評価写像は環準同型である。第一同型定理により、留数体C( X )/ker ev _pは実数体なので、ev _pの核は最大イデアルである。位相空間Xが擬コンパクトであるための必要十分条件は、C( X )のすべての最大イデアルが実数体の留数体を持つ場合である。完全に正則な空間の場合、これはすべての最大イデアルが評価準同型の核であることと同値である。^[16] ただし、コンパクトでない擬コンパクト空間も存在する。 ${\displaystyle \operatorname {ev} _{p}\colon C(X)\to \mathbb {R} }$

一般に、非擬コンパクト空間では、C( X )に常に最大イデアルmが存在し、剰余体C( X )/ m は(非アルキメデス的)超実数体となる。非標準解析の枠組みにより、コンパクト性の次の代替特徴付けが可能になる: ^[17]位相空間Xがコンパクトであるための必要十分条件は、自然拡大*Xのすべての点x がXの点x ₀に無限に近い場合(より正確には、x がx ₀のモナドに含まれている場合) である。

空間Xがコンパクトであるとは、その超実数拡大 *X (たとえば、超冪構成によって構築される) が、 *Xのすべての点がX ⊂ *Xのある点に無限に近いという性質を持つ場合です。たとえば、実数開区間X = (0, 1)はコンパクトではありません。その超実数拡大*(0,1)には、 Xの点ではない 0 に無限に近い無限小が含まれるためです。

• コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトである。^[18]
• コンパクト集合の有限和はコンパクトである。
• コンパクトな空間の連続的なイメージはコンパクトである。 ^[19]
• ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合の空でない集合の共通部分はコンパクト（かつ閉じている）である。
  • Xがハウスドルフ集合でない場合、2つのコンパクト集合の交差はコンパクトにならない可能性がある（例として脚注を参照）。^[a]
• コンパクト空間の任意の集合の積はコンパクトである。(これはチコノフの定理であり、選択公理と同等である。)
• 距離化可能な空間において、部分集合がコンパクトであるためには、それが連続的にコンパクトでなければならない（可算な選択を仮定）
• 任意の位相を備えた有限集合はコンパクトです。

• ハウスドルフ空間 Xのコンパクトな部分集合は閉じています。
  • Xがハウスドルフ集合でない場合、 Xのコンパクト部分集合はXの閉部分集合にならない可能性がある（例として脚注を参照）。^[b]
  • Xがハウスドルフ集合でない場合、コンパクト集合の閉包はコンパクトではなくなる可能性がある (例として脚注を参照)。^[c]
• 任意の位相ベクトル空間(TVS)では、コンパクトな部分集合は完全です。ただし、すべての非ハウスドルフ TVS には、閉じていないコンパクトな (したがって完全な) 部分集合が含まれます。
• AとB がハウスドルフ空間Xの互いに素なコンパクト部分集合である場合、 Xには互いに素な開集合UとV が存在し、A ⊆ UかつB ⊆ Vとなります。
• コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続全単射は同相写像である。
• コンパクトなハウスドルフ空間は正規かつ正則です。
• 空間Xがコンパクトかつハウスドルフである場合、X上のより細かい位相はコンパクトではなく、X上のより粗い位相はハウスドルフではありません。
• 距離空間のサブセット( X、d )がコンパクトである場合、それはd境界にあります。

コンパクト空間の連続像はコンパクトであるため、そのような空間に対して極値定理が成り立つ。つまり、空でないコンパクト空間上の連続実数値関数は上方に有界であり、その上限に達する。 ^{[20] （もう少し一般的に言えば、これは上半連続関数に対しても当てはまる。）上記のステートメントの逆の一種として、}適切な写像 によるコンパクト空間の逆像はコンパクトである。

アレクサンドロフの 1 点コンパクト化により、任意の位相空間Xは、 Xより多くても 1 点多いコンパクト空間の開稠密部分空間になります。同じ構成により、任意の局所コンパクトハウスドルフ空間Xは、 Xより多くても 1 点多いコンパクト ハウスドルフ空間の開稠密部分空間になります。

実数の空でないコンパクト部分集合には、最大元と最小元が存在します。

Xを順序位相を備えた単純順序集合とする。このとき、Xがコンパクトであるための必要十分条件は、Xが完全格子（すなわち、すべての部分集合に上限と下限がある）である。 ^[21]

• 空集合を含む任意の有限位相空間はコンパクトです。より一般的には、有限位相（有限個の開集合のみ）を持つ任意の空間はコンパクトです。これには特に自明位相が含まれます。
• 余有限位相を持つ任意の空間はコンパクトです。
• 任意の局所コンパクトなハウスドルフ空間は、アレクサンドロフの 1 点コンパクト化によって、単一の点を追加することでコンパクト空間に変換できます。 の 1 点コンパクト化は円S ¹に同相であり、 の 1 点コンパクト化は球S ²に同相です。 1 点コンパクト化を使用すると、非ハウスドルフ空間から始めて、ハウスドルフではないコンパクト空間を簡単に構築することもできます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• 任意の有界全順序集合上の右順序位相または左順序位相はコンパクトです。特に、シェルピンスキー空間はコンパクトです。
• 無限の数の点を持つ離散空間はコンパクトではありません。空間のすべてのシングルトンのコレクションは、有限の部分被覆を許容しない開被覆です。有限離散空間はコンパクトです。
• 下限位相では、無数集合はコンパクトではない。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 非可算集合上の余可算位相では、コンパクトな無限集合は存在しません。前の例と同様に、空間全体は局所的にコンパクトではありませんが、それでもLindelöfです。
• 閉じた単位区間 [0, 1]はコンパクトです。これは、 Heine–Borel の定理から導かれます。開区間(0, 1)はコンパクトではありません。n = 3, 4, ... の開被覆 には有限部分被覆がありません。同様に、閉区間[0,1]の有理数集合はコンパクトではありません。この区間の有理数集合は、n = 4, 5, ... に対して [0, 1] のすべての有理数を被覆しますが、この被覆には有限部分被覆がありません。ここで、集合は のサブセットとしては開いていませんが、サブスペース位相では開いています 。${\textstyle \left({\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right)}$${\textstyle \left[0,{\frac {1}{\pi }}-{\frac {1}{n}}\right]{\text{ および }}\left[{\frac {1}{\pi }}+{\frac {1}{n}},1\right]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• すべての実数の集合はコンパクトではありません。なぜなら、有限部分被覆を持たない開区間の被覆が存在するからです。たとえば、区間( n − 1,  n + 1)は被覆しますが、有限部分被覆はありません。ここで、n はZ内のすべての整数値を取ります。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 一方、類似の位相を持つ拡張された実数直線はコンパクトです。上記の被覆は無限遠点に到達することはなく、したがって拡張された実数直線を被覆しないことに注意してください。実際、この集合は[−1, 1] への同相写像を持ち、各無限遠を対応する単位に、各実数をその符号に、1 からそれ自身を引いた値で割った絶対値となる区間の正の部分にある一意の数を乗じた値にマッピングします。同相写像は被覆を保存するため、Heine-Borel 特性を推論できます。
• 任意の自然数 nに対して、n球面はコンパクトです。再びハイン・ボレルの定理から、任意の有限次元ノルムベクトル空間の閉じた単位球はコンパクトです。これは無限次元には当てはまりません。実際、ノルムベクトル空間が有限次元であるためには、その閉じた単位球がコンパクトである必要があります。
• 一方、ノルム空間の双対の閉じた単位球は、弱*位相に対してコンパクトである。(アラオグルの定理)
• カントール集合はコンパクトです。実際、すべてのコンパクトな距離空間はカントール集合の連続像です。
• 実数直線から閉単位区間へのすべての関数f  : → [0, 1]の集合Kを考え、 K上の位相を定義して、 K内の列がf ∈ Kに収束することと、すべての実数xに対してf ( x )に収束することとが等しいとします。このような位相は 1 つしかなく、点ごとの収束の位相または積位相と呼ばれます。このとき、K はコンパクトな位相空間であり、これはチコノフの定理に従います。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$
• コンパクト ハウスドルフ空間上の実数値連続関数のバナッハ空間の部分集合が相対コンパクトであるための必要十分条件は、それが等連続かつ点ごとに有界である場合である (アルツェラ-アスコリの定理)。
• すべてのx、  y  ∈  [0,1]に対してリプシッツ条件| f ( x ) −  f ( y ) | ≤ | x  −  y |を満たすすべての関数f  : [0, 1]  → [0, 1]の集合Kを考えます。 K上で均一距離によって誘導される計量を考えます。すると、Arzelà-Ascoli の定理により、空間K はコンパクトになります。 ${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$
• バナッハ空間上の任意の有界線型作用素のスペクトルは、複素数 の空でないコンパクト部分集合です。逆に、 の任意のコンパクト部分集合は、何らかの有界線型作用素のスペクトルとしてこのようにして生じます。たとえば、ヒルベルト空間上の対角作用素は、 の任意のコンパクト空でない部分集合をスペクトルとして持つことができます。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• コンパクトなハウスドルフ空間上のボレル確率測度の空間は、アラオグルの定理により、曖昧位相に対してコンパクトである。
• ユークリッド空間のボレル集合上の確率測度の集合は、任意の正のイプシロンに対して、各測度の質量のイプシロン以下を除くすべてを含むコンパクトな部分集合が存在する場合、タイトと呼ばれます。ヘリーの定理は、確率測度の集合があいまいな位相に対して相対的にコンパクトであるためには、それがタイトである必要があります。

• 直交群などの位相群はコンパクトですが、一般線型群などの群はコンパクトではありません。
• p進整数はカントール集合に同相なので、コンパクトな集合を形成します。
• 任意の大域体 K はそのアデール環の離散加法部分群であり、商空間はコンパクトである。これはジョン・テイトの論文で使用され、調和解析を数論で使用できるようにしました。
• ザリスキ位相（つまり、すべての素イデアルの集合）を持つ任意の可換環のスペクトルはコンパクトであるが、ハウスドルフではない（自明な場合を除く）。代数幾何学では、このような位相空間は準コンパクトスキームの例であり、「準」は位相の非ハウスドルフ性質を指す。
• ブール代数のスペクトルはコンパクトであり、これはストーンの表現定理の一部である。ストーン空間、すなわちコンパクトで完全に分離したハウスドルフ空間は、これらのスペクトルを研究する抽象的な枠組みを形成する。このような空間は、プロ有限群の研究にも役立つ。
• 可換単位バナッハ代数の構造空間はコンパクトなハウスドルフ空間です。
• ヒルベルト立方体はコンパクトであり、これもまたチコノフの定理の結果です。
• 有限群（例えばガロア群）はコンパクトです。

• Sundström, Manya Raman (2010). 「コンパクト性の教育史」. arXiv : 1006.4131v1 [math.HO].

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