連続線形演算子

関数解析および関連する数学の分野において、連続線型演算子または連続線型写像は、位相ベクトル空間間の連続 線型変換です。

2 つのノルム空間間の演算子は、連続線型演算子である場合に限り、 有界線型演算子となります。

が 2 つの位相ベクトル空間(TVS)間の線形演算子であるとします。次の式は同値です。 ${\displaystyle F:X\to Y}$

1. ${\displaystyle F}$連続的です。
2. ${\displaystyle F}$ある時点で連続している ${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle F}$原点において連続している${\displaystyle X.}$

が局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle Y}$

4. 上の任意の連続半ノルム に対して、上の連続半ノルムが存在し、 ^[1]${\displaystyle q}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle q\circ F\leq p.}$

と が両方ともハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

5. ${\displaystyle F}$は弱連続であり、その転置は の等連続部分集合を の 等連続部分集合に写像する。${\displaystyle {}^{t}F:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$${\displaystyle Y^{\prime}}$${\displaystyle X^{\prime }.}$

が連続空間（擬距離化可能空間など）である場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle F}$その定義域のいくつかの点（または同等に、すべての点）において連続的である。

が擬距離化可能または距離化可能（ノルム空間やバナッハ空間など）である場合、このリストに以下を追加できます。 ${\displaystyle X}$

7. ${\displaystyle F}$は有界線型演算子である（つまり、の有界部分集合を の有界部分集合に写像する）。^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

が半ノルム空間（ノルム空間など）である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle Y}$

8. ${\displaystyle F}$0の近傍を^{[3]の有界部分集合に写像する}${\displaystyle Y.}$

と が両方ともノルム空間または半ノルム空間（両方の半ノルムが で示される）である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

9. 任意のに対して、${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \delta >0}$$${\displaystyle {\text{ すべての }}x,y\in X に対して、{\text{ }}\|xy\|<\delta {\text{ ならば }}\|Fx-Fy\|<r.}$$

およびが有限次元 のハウスドルフ局所凸空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

10. のグラフは^[4]で閉じている。${\displaystyle F}$${\displaystyle X\times Y.}$

全体を通して、位相ベクトル空間(TVS) 間の線形マップです。${\displaystyle F:X\to Y}$

有界サブセット

位相ベクトル空間の「有界集合」の概念は、フォン・ノイマン有界集合という概念です。空間がノルム空間（または半ノルム空間）でもある場合、部分集合がフォン・ノイマン有界となるのは、ノルム有界である場合に限ります。つまり、ノルム（または半ノルム）空間の部分集合は、ノルム有界（またはフォン・ノイマン有界と同等）である場合に有界である と呼ばれます。たとえば、絶対値を持つスカラー体（または）はノルム空間であるため、部分集合が有界となるのは が有限である場合に限ります。これは、が原点（ゼロ）を中心とする開いた（または閉じた）球体に含まれる場合に限ります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup _{s\in S}\|s\|<\infty .}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sup _{s\in S}|s|}$${\displaystyle S}$

任意の変換、スカラー倍数、および境界付き集合のサブセットは、再び境界付きになります。

集合で制限された関数

が集合である場合、は${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle S}$が有界な部分集合で、がノルム（または半ノルム）空間である場合に が有界となるのは、次の場合に限られます。線型写像 が集合上で有界となるに対してが有界となる場合（ および有界集合の任意の平行移動は再び有界となるため任意の非ゼロのスカラー に対してが有界となる場合（および有界集合の任意のスカラー倍は再び有界となるため）。したがって、 がノルムまたは半ノルム空間である場合、線型写像が（等価的に、任意の）非退化の開いた球または閉じた球（必ずしも原点を中心とする必要はなく、任意の半径を持つ）上で有界となるのは、それが原点を中心とする閉じた単位球上で有界となる場合に限られます。${\displaystyle F(S)}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle (Y,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \sup _{s\in S}\|F(s)\|<\infty .}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x+S:=\{x+s:s\in S\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F(x+S)=F(x)+F(S)}$${\displaystyle cS:=\{cs:s\in S\}}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle F(cS)=cF(S)}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle \{x\in X:\|x\|\leq 1\}.}$

有界線形マップ

定義により、 TVS間の線型写像は有界であると言われ、${\displaystyle F:X\to Y}$有界線型作用素とは、その定義域の（フォン・ノイマン）有界部分 に対してその余域の有界部分集合である場合、またはもっと簡単に言えば、その定義域のすべての有界部分集合上で有界である場合に成り立つ。定義域がノルム（または半ノルム）空間である場合、原点を中心とする開または閉単位球に対してこの条件を確認すれば十分である。明示的には、この球を表す場合、が有界線型作用素であるためには、が の有界部分集合場合ノルム空間である場合に限り、このことが起こる。逐次連続線型作用素はすべて有界である。^[5]${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle F\left(B_{1}\right)}$${\displaystyle Y;}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \|F\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\|F(x)\|<\infty }$

近傍と局所的境界で制限された関数

対照的に、地図は${\displaystyle F:X\to Y}$点の近傍で区切られた、または${\displaystyle x\in X}$ この点の近傍が存在し、その近傍が の有界部分集合である場合、で局所的に有界となります 。これは「${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(U)}$${\displaystyle Y.}$ある点の近傍に境界があるということは、その領域内に局所的に境界がある点が存在する場合であり、その場合、この線型写像は必ずすべての点で局所的に境界がある。用語「${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$「局所的に有界」は、その定義域のすべての点で局所的に有界であるマップを指すために使用されることがありますが、関数解析の著者の中には、「局所的に有界」を「有界線形演算子」の同義語として定義する人もいます。これらは関連しているが同じ概念ではありませんある点で局所的に有界」の定義については異論はありません）。

線型写像が「（ある点の）近傍で有界」となるのは、その定義域のすべての点で局所的に有界となる場合のみであり、その場合、線型写像は必然的に連続であり^{[2] （定義域が}ノルム空間でなくても）したがって有界でもある（連続線型作用素は常に有界線型作用素であるため）。^[6]

任意の線型写像について、近傍で有界であれば連続であり、^{[2] [7]}連続であれば有界である。^{[6]逆の命題は一般には成り立たないが、線型写像の定義域が}ノルム空間 である場合は両方とも成り立つ。以下に例と追加の詳細を示す。

次の例は、線形マップが連続的(したがって境界付き) であっても、近傍で境界が付けられない可能性があることを示しています。特に、"近傍で境界が付けられる" ことは、必ずしも "境界付き" であることと同義ではないことを示しています。

例: いかなる近傍でも有界ではない連続かつ有界な線型写像: が何らかの局所凸位相ベクトル空間上の恒等写像である、この線型写像は常に連続 (実際、 TVS 同型であっても) かつ有界ですが、 が半ノルム可能空間であるである原点の有界な近傍が存在する場合に限り、近傍で有界になります( がハウスドルフである場合、ノルム可能空間であることと同じになります)。これは、線型写像が連続であっても、いかなる近傍でも有界ではない可能性があることを示しています。実際、この例は、半ノルム可能でないすべての局所凸空間には、任意の点の任意の近傍で有界ではない線型 TVS自己同型があることを示しています。したがって、近傍で有界なすべての線型写像は必然的に連続ですが、その逆は一般には保証されません。 ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X}$${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

以下の議論をまとめると、ノルム（または半ノルム）空間上の線型写像にとって、連続であること、有界であること、近傍で有界であることはすべて同値である。定義域または共定義域がノルム可能（または半ノルム可能）な線型写像は、近傍で有界である場合にのみ連続である。また、局所凸空間で値を持つ有界線型作用素は、その定義域が（擬似）距離化可能^[2]またはボルノロジー である場合に連続となる。^[6]

「連続」とは「近傍で制限される」ことを意味することを保証する

TVS が局所的に有界であるとは、有界集合でもある近傍が存在する場合を言う。^[8]たとえば、原点を中心とする単位球は原点の有界近傍であるため、すべてのノルム空間または半ノルム空間は局所的に有界な TVS である。 が(局所的に有界な) TVS 内の原点の有界近傍である場合、任意の連続線型写像によるその像は有界集合になる (したがって、この写像はこの近傍 で有界である)。したがって、局所的に有界な TVS から他の任意の TVS への線型写像は、近傍で有界である場合に限り連続である。さらに、この特性を持つ任意の TVS は局所的に有界な TVS でなければならない。明示的に、 が、その定義域が であるすべての連続線型写像 (任意の TVS への) が必然的に近傍で有界になるような TVS である場合、 は局所的に有界な TVS でなければならない (恒等関数は常に連続線型写像であるため)。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to X}$

TVS から局所的に有界な TVS (任意の線型関数など) への線型写像は、近傍で有界である場合に限り連続である。^[8] 逆に、TVS が、共域を持つすべての連続線型写像 (任意の TVS から) が必然的に近傍で有界となるような TVS である場合、は局所的に有界な TVS でなければならない。^[8] 特に、任意の TVS 上の線型関数が連続となるのは、近傍で有界となる場合に限ります。^[8]${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

したがって、線型写像の領域または余領域がノルム可能または半ノルム可能である場合、連続性は近傍で制限されることと 同等になります。

「有界」は「連続」を意味することを保証する

連続線型作用素は常に有界線型作用素である。^[6] しかし重要なのは、任意の位相ベクトル空間間の線型作用素の最も一般的な設定では、線型作用素が有界であっても連続ではない可能性があるということである。

擬似距離化可能な定義域を持つ線型写像（任意のノルム空間など）は、連続であるときに限り有界となる。 ^[2]ボルノロジー空間から局所凸空間へ の線型写像についても同様である。^[6]

「境界付き」は「近傍で境界付き」を意味することを保証する

一般に、線型写像またはその定義域または余域に関する追加情報がない場合、写像が「有界」であることは、それが「近傍で有界」であることと同義ではありません。 がノルム空間から何らかの TVS への有界線型作用素である場合、 は必然的に連続です。これは、の原点を中心とする任意の開球が、有界部分集合 ( は有界線型写像であるため、 は有界であることを意味する) であると同時に、 の原点の近傍であるため、 は原点のこの近傍で有界であり、(前述のように) 連続性が保証されるためです。 ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F(B)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$

位相ベクトル空間(TVS)上のすべての線形関数は線形演算子であるため、連続線形演算子について上で説明したすべての特性がそれらに適用されます。ただし、それらの特殊な性質のため、より一般的な連続線形演算子について言えることよりも、連続線形関数について言えることの方が多くあります。

を体上の位相ベクトル空間（TVS）とする（ハウスドルフや局所凸である必要はない）。を上の線型汎関数とする。 以下は同値である：^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle f}$連続的です。
2. ${\displaystyle f}$均一に連続している${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle f}$ある時点で連続している${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle f}$原点では連続です。
   • 定義により、原点で連続であるとは、共域内の半径がを中心とするすべての開球（または閉球）に対して、における原点の近傍が存在し、${\displaystyle f}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}.}$
   • が閉じた球体である場合、条件は${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r.}$
     • この上限の特徴付けにおいて、 が閉じた球体であることが重要です。 が代わりに開いた球体であると仮定すると、が真であるための十分条件ではあるが必要条件ではありません(たとえば、が上の恒等写像で の場合を考えてみましょう)。一方、非厳密な不等式はが真であるための必要条件ではあるが十分条件ではありません(たとえば、と閉じた近傍を考えてみましょう)。これは、極集合などの線型関数を含む多くの定義が、（開いたものではなく）閉じた近傍と（厳密な ではなく）非厳密な不等式を含む理由の 1 つです。${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<r}$${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$${\displaystyle f=\operatorname {Id} }$${\displaystyle X=\mathbb {F} }$${\displaystyle U=B_{r}}$${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq r}$${\displaystyle f(U)\subseteq B_{r}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ,f=\operatorname {Id} ,}$${\displaystyle U=[-r,r]}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,<\,}$
5. ${\displaystyle f}$は、（ある点の）近傍で制限されます。言い換えると、そのドメインのある点で局所的に制限されます。 ${\displaystyle f}$
   • 明示的には、これはある点の近傍が存在し、その近傍は^[2]の有界部分集合、つまり、近傍上のこの上限が に等しいのは、${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle \mathbb {F};}$${\textstyle \displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|<\infty .}$${\displaystyle U}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f=0.}$
   • 重要なのは、線形関数が「近傍で有界」であることは、一般に「有界線形関数」であることと同等ではないということです。これは、 （前述のように）線形写像が有界であっても連続ではない可能性があるからです。ただし、ドメインがノルム空間または半ノルム空間である場合、連続性と有界性は同等です。つまり、ノルム空間上の線形関数の場合、「有界」であることは「近傍で有界」であることと同等です。
6. ${\displaystyle f}$は原点の近傍で制限されます。言い換えると、は原点で局所的に制限されます。 ${\displaystyle f}$
   • 等式はすべてのスカラーに対して成り立ち、のとき、は原点の近傍になります。したがって、特に、が正の実数である場合、すべての正の実数に対して、集合は原点の近傍であり、を使用して次のステートメントを証明します。${\displaystyle \sup _{x\in sU}|f(x)|=|s|\sup _{u\in U}|f(u)|}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle sU}$${\textstyle R:=\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|}$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle N_{r}:={\tfrac {r}{R}}U}$${\displaystyle \displaystyle \sup _{n\in N_{r}}|f(n)|=r.}$${\displaystyle r:=1}$${\displaystyle R\neq 0.}$
7. 原点の近傍が存在し、${\displaystyle U}$${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$
   • この不等式は、任意の実数に対して、この単一の近傍の正のスカラー倍数が上記(4)で与えられた原点における連続性の定義を満たす場合にのみ成立する。${\displaystyle \sup _{x\in rU}|f(x)|\leq r}$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle \{rU:r>0\}}$${\displaystyle U}$
   • 不等式の（絶対）極集合と呼ばれる集合の定義により、極集合、つまりこの特定の不等式が双対理論で重要な役割を果たしている場合に限り、不等式が成立します。${\displaystyle U^{\circ },}$${\displaystyle U,}$${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$${\displaystyle f\in U^{\circ }.}$
8. ${\displaystyle f}$は、その定義域のあらゆる点で局所的に有界です。
9. の核は^[2]で閉じている。${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$
10. そうでなければ、の核は^[2]では稠密ではない。${\displaystyle f=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X.}$
11. 上の連続半ノルムが存在し、${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle |f|\leq p.}$
    • 特に、半ノルムが連続である場合に限り、連続です。${\displaystyle f}$${\displaystyle p:=|f|}$
12. のグラフは閉じている。^[9]${\displaystyle f}$
13. ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$は連続であり、ここで は実部を表す。${\displaystyle \operatorname {Re} f}$${\displaystyle f.}$

およびが複素ベクトル空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

14. の虚数部は連続しています。${\displaystyle \operatorname {Im} f}$${\displaystyle f}$

ドメインが連続したスペースである場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります: ${\displaystyle X}$

15. ${\displaystyle f}$は、その定義域のいくつかの点（または同等に、すべての点）において連続的である。 ^[2]

定義域が距離化可能または擬距離化可能（たとえば、フレシェ空間またはノルム空間）である場合、このリストは以下を含むように拡張されることがあります。 ${\displaystyle X}$

16. ${\displaystyle f}$は有界線型作用素である（つまり、その定義域の有界部分集合をその共定義域の有界部分集合に写像する）。^[2]

領域がボルノロジー空間（例えば擬似距離化可能な TVS）であり、局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

17. ${\displaystyle f}$は有界線型演算子である。^[2]
18. ${\displaystyle f}$は、その定義域のいくつかの点（または同等に、すべての点）において連続的である。 ^[10]
19. ${\displaystyle f}$原点において連続的に連続している。

さらに が実数上のベクトル空間である場合（特に が実数値であることを意味する）、このリストは以下を含むように拡張される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

20. 連続半ノルムが存在し、[ ^1]${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f\leq p.}$
21. ある実数では半空間は閉じています。${\displaystyle r,}$${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$
22. 任意の実数に対して半空間は閉じている。^[11]${\displaystyle r,}$${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$

が複素数である場合、との 3 つすべてが連続(それぞれ、有界)であるか、そうでない場合は 3 つすべてが不連続(それぞれ、非有界 ) です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f,}$${\displaystyle \operatorname {Im} f}$

有限次元ハウスドルフ位相ベクトル空間(TVS) を定義域とするすべての線型写像は連続である。ただし、有限次元 TVS がハウスドルフでない場合は、これは当てはまりません。

ゼロに等しい TVS 間のすべての (定数) 写像は、連続、有界、および原点の近傍で有界である線型写像です。特に、すべての TVS には空でない連続双対空間があります(ただし、定数ゼロ写像が唯一の連続線型関数である可能性もあります)。 ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X}$

が任意のハウスドルフTVSであるとする。すると、上のすべての線型関数が必然的に連続となるのは、 のすべてのベクトル部分空間が閉じている場合に限ります。^[12]上のすべての線型関数が必然的に有界線型関数となるのは、のすべての有界部分集合が有限次元ベクトル部分空間に含まれている場合に限ります。^[13]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

局所的に凸な 距離化可能な位相ベクトル空間は、その上のすべての有界な線型関数が連続である場合に限り、 正規化可能です。

連続線形演算子は、有界集合を有界集合にマッピングします。

証明では、開集合を線形位相空間に平行移動させると再び開集合になること、 およびの任意の部分集合と任意の 部分集合の等式が、の加法性により真となることを利用して、$${\displaystyle F^{-1}(D)+x=F^{-1}(D+F(x))}$$${\displaystyle D}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle F.}$

が複素ノルム空間であり、が上の線型汎関数である場合、 ^[14]（特に、一方が無限大であるとき、かつ他方が無限大であるときのみ）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \|f\|=\|\operatorname {Re} f\|}$

TVS 上のすべての非自明な連続線型関数は開写像である。^[1] が実ベクトル空間上の線型関数であり、が上の半ノルムである場合、次の式が成り立つ。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle |f|\leq p}$${\displaystyle f\leq p.}$

が線形関数で、が空でない部分集合である場合、集合を定義することによって、 上限はより簡潔に次のよう に記述できます。 がスカラーである場合、したがって が実数であり、が原点を中心とする半径 の閉球である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$${\displaystyle U\subseteq X}$$${\displaystyle f(U):=\{f(u):u\in U\}\quad {\text{ and }}\quad |f(U)|:=\{|f(u)|:u\in U\},}$$${\displaystyle \,\sup _{u\in U}|f(u)|\,}$${\displaystyle \,\sup |f(U)|\,}$$${\displaystyle \sup |f(U)|~=~\sup\{|f(u)|:u\in U\}~=~\sup _{u\in U}|f(u)|.}$$${\displaystyle s}$$${\displaystyle \sup |f(sU)|~=~|s|\sup |f(U)|}$$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B_{\leq r}:=\{c\in \mathbb {F} :|c|\leq r\}}$${\displaystyle r}$

1. ${\textstyle f(U)\subseteq B_{\leq 1}}$
2. ${\textstyle \sup |f(U)|\leq 1}$
3. ${\textstyle \sup |f(rU)|\leq r}$
4. ${\textstyle f(rU)\subseteq B_{\leq r}.}$

• 有界線形作用素 – 位相ベクトル空間間の線形変換Pages displaying short descriptions of redirect targets
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• 連続線形拡張 – 関数解析における数学的手法
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• 線型写像の空間上の位相
• 非有界演算子 – 密な線形部分空間上で定義された線形演算子

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