測定（数学）

数学において、測度の概念は、幾何学的測度（長さ、面積、体積）と、大きさ、質量、事象の確率などの他の共通概念を一般化し形式化したものである。これらの一見異なる概念には多くの類似点があり、単一の数学的文脈で一緒に扱うことができる場合が多い。測度は確率論、積分理論の基礎であり、電荷の場合のように、負の値をとるように一般化できる。測度の広範囲にわたる一般化（スペクトル測度や射影値測度など）は、量子物理学や物理学全般で広く使用されている。

この概念の背後にある直感は、アルキメデスが円の面積を計算しようとした古代ギリシャにまで遡ります。^{[1] [2]}しかし、測度論が数学の一分野となったのは19世紀後半から20世紀初頭になってからのことでした。現代の測度論の基礎は、エミール・ボレル、アンリ・ルベーグ、ニコライ・ルーザン、ヨハン・ラドン、コンスタンタン・カラテオドリ、モーリス・フレシェなどの著作の中に築かれました。

を集合とし、上の-代数をとします。 から拡張された実数直線への集合関数は、次の条件が満たされるとき 測度と呼ばれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \Sigma }$

• 非否定性：すべての${\displaystyle E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.}$
• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• 可算な加法性（または-加法性）： Σ内の互いに素な対集合のすべての可算な集合に対して、${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}) 。}$$

少なくとも1つの集合が有限測度を持つ場合、可算加法性により 要件は自動的に満たされます。 したがって、${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$$${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$$${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

非負条件が無視され、がの値のうち最大で 1 つを取る場合、 は符号付き測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \pm \infty ,}$${\displaystyle \mu}$

ペアは可測空間と呼ばれ、 のメンバーは可測集合と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \Sigma }$

3 つ組は 測度空間と呼ばれます。確率測度は、合計測度が 1 である測度です。つまり、確率空間は、確率測度を持つ測度空間です 。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu (X)=1.}$

位相空間でもある測度空間については、測度と位相に対してさまざまな両立条件を設定できます。解析学で実際に遭遇する測度のほとんどは(多くの場合、確率論でも)ラドン測度です。ラドン測度には、コンパクトな台を持つ連続関数の局所凸位相ベクトル空間上の線型関数による別の定義があります。このアプローチは、Bourbaki (2004) やその他の多くの情報源で採用されています。詳細については、ラドン測度に関する記事を参照してください。

重要な対策をいくつかここに挙げます。

• 計数尺度は、= 要素の数で定義されます${\displaystyle \mu (S)}$${\displaystyle S.}$
• 上のルベーグ測度は、となるような内の区間を含むσ代数上の完全な並進不変測度です。また、これらの特性を持つ他のすべての測度は、ルベーグ測度を拡張します。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$
• 円角の測度は回転に対して不変であり、双曲角の測度は圧縮マッピングに対して不変です。
• 局所コンパクト位相群のハール測度は、ルベーグ測度（および計数測度と円角測度）の一般化であり、同様の一意性特性を持ちます。
• すべての（擬似）リーマン多様 体には、局所座標でのように見える標準測度があり、は通常のルベーグ測度です。${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \mu_{g}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\sqrt {|\det g|}}d^{n}x}$${\displaystyle d^{n}x}$
• ハウスドルフ測度は、ルベーグ測度を非整数次元の集合、特にフラクタル集合に一般化したものです。
• すべての確率空間は、空間全体で値 1 を取る測度（したがって、単位区間[0, 1] 内のすべての値を取る）を生み出します。このような測度は確率測度または確率分布と呼ばれます。例については、確率分布の一覧を参照してください。
• ディラック測度 δ _a (ディラックのデルタ関数を参照) はδ _a ( S ) = χ _S (a)で与えられ、ここでχ _Sはの指示関数です。集合の測度は、点が含まれている場合は 1 になり、含まれていない場合は 0 になります。${\displaystyle S.}$${\displaystyle a}$

さまざまな理論で使用される他の「名前の付いた」測度には、ボレル測度、ジョルダン測度、エルゴード測度、ガウス測度、ベール測度、ラドン測度、ヤング測度、ローブ測度などがあります。

物理学における測度の例としては、質量の空間分布（重力ポテンシャルなどを参照）や、保存されるか保存されないか（これらのリストについては保存則を参照）の別の非負の広がりのある特性などがあります。負の値は符号付き測度につながります。以下の「一般化」を参照してください。

• リウヴィル測度は、シンプレクティック多様体上の自然体積形式としても知られ、古典的な統計力学やハミルトン力学で有用です。
• ギブス測度は統計力学において広く使用されており、多くの場合、正準集団という名前で使用されています。

測度理論は機械学習で使用されています。一例として、GFlowNetのFlow Induced Probability Measureが挙げられます。^[3]

を尺度とし ます。${\displaystyle \mu}$

とが測定可能な集合である場合、 ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$$${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})。}$$

（必ずしも互いに素ではない）測定可能な集合の任意の可算な 列 に対して、${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i} )。}$$

が増加する測定可能な集合（つまり）である場合、集合の和集合は測定可能であり、 ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$${\displaystyle E_{n}}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})= \sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

が減少する測定可能な集合（つまり）である場合、集合の交差は測定可能である。さらに、 のうち少なくとも1つが有限測度である 場合、${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

この特性は、 の少なくとも 1 つが有限測度を持つという仮定がなければ偽です。たとえば、 のそれぞれに対して、はすべて無限のルベーグ測度を持ちますが、共通部分は空です。 ${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

測定可能な集合は、次の場合に空集合と呼ばれます。空集合のサブセットは無視できる集合と呼ばれます。無視できる集合は測定可能である必要はありませんが、測定可能な無視できる集合はすべて自動的に空集合になります。無視できる集合がすべて測定可能である場合、測定は完全であると呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu (X)=0.}$

測定は、測定可能な集合から無視できる集合だけ異なる部分集合のσ代数を考えることによって完全なものに拡張することができる。つまり、との対称差が零集合に含まれる。 を次のように定義する。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mu (Y)}$${\displaystyle \mu (X).}$

が -測定可能である場合、 ほぼすべての^[4] に対してこの性質が成り立ちます。この性質はルベーグ積分と関連して用いられます。 ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$$${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$ ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

測度は可算加法的である必要があります。ただし、条件は次のように強化できます。任意の集合と任意の非負集合に対して、次のように定義します。 つまり、 の合計を、有限個の の合計すべての最大値として定義します。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle r_{i},i\in I}$$${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$${\displaystyle r_{i}}$

上の測度が-加法的であるとは、任意のおよび任意の互いに素な集合の族に対して次の条件が成り立つ場合です。2 番目の条件は、空集合のイデアルが -完全である というステートメントと同等です。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \lambda <\kappa }$${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$$${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$${\displaystyle \kappa }$

測度空間は、が有限の実数（ ではなく）である場合に有限であるといいます。非ゼロの有限測度は、任意の有限測度が確率測度に比例するという意味で確率測度に類似しています。測度は、有限測度の測度を持つ可算な集合の和集合に分解できる場合、 σ 有限であるといいます。同様に、測度空間内の集合は、有限測度を持つ集合の可算な和集合である場合、 σ 有限測度を持つと言われます。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu (X)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$

たとえば、標準的なルベーグ測度を持つ実数はσ 有限ですが、有限ではありません。すべての整数の閉区間を考えると、そのような区間は可算個あり、それぞれが測度 1 を持ち、それらの和集合が実数全体になります。あるいは、実数の有限集合に集合内の点の数を割り当てる計数測度を持つ実数を考えてみましょう。この測度空間は σ 有限ではありません。なぜなら、有限測度を持つすべての集合には有限個の点しか含まれず、実数全体をカバーするにはそのような集合が非可算個必要になるからです。σ 有限測度空間には、非常に便利な特性がいくつかあります。この点で、σ 有限性は位相空間のリンデレフ特性に例えることができます。^{[独自の研究? ]}これらは、測度空間が「非可算測度」を持つ可能性があるという考えを漠然と一般化したものと考えることもできます。 ${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とすると、が半有限であるとは、すべての^[5]に対して成り立つことを意味する。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {A}}.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

半有限測度はシグマ有限測度を一般化します。これにより、シグマ有限測度には当てはまるが任意の測度には当てはまらない測度論のいくつかの大きな定理が、ほとんど修正を加えることなく半有限測度にも当てはまるように拡張できます。(To-do: このような定理の例を追加します。トークページを参照してください。)

• すべてのシグマ有限測度は半有限です。
• と仮定し、すべてについて仮定する${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • がシグマ有限であることは、すべてに対してが可算であることに等しい。 が半有限であることは、すべてに対してが可算であることに等しい^[6]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)<+\infty }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle f(x)<+\infty }$${\displaystyle x\in X.}$
  • 上記（つまり は上の測度を数える）から、 上の測度を数えることは ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • が可算である場合に限り、シグマ有限であり、${\displaystyle X}$
    • 半有限（可算かどうかは関係ありません）。（したがって、任意の非可算集合のべき集合上の計数測度は、シグマ有限ではない半有限測度の例となります。）${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$${\displaystyle X,}$
• が完全な可分計量であり、が誘導するボレルシグマ代数であり、ハウスドルフ測度が半有限であるとする。^[7]${\displaystyle d}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• が完全な可分計量であるとし、が誘導するボレルシグマ代数をとすると、パッキング測度は半有限である。^[8]${\displaystyle d}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

ゼロ測度はシグマ有限であり、したがって半有限です。さらに、ゼロ測度は明らかに以下です。これらの 2 つの特性を持つ最大測度が存在することが示されます。 ${\displaystyle \mu .}$

の半有限部分とは、上記の定理で定義された半有限測度を意味します。半有限部分については、一部の著者が定義として受け取る可能性のある、わかりやすく明示的な式をいくつか示します。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[9]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[10]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[11]

が半有限なので、 が半有限であればが半有限であることも明らかである。${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

ゼロ測度ではないすべての測度は半有限ではありません。(ここで、測度とは、範囲が にある測度を意味します。 ) 以下に、ゼロ測度ではない測度 の例を示す。${\displaystyle 0-\infty }$${\displaystyle 0-\infty }$${\displaystyle \{0,+\infty \}}$${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$${\displaystyle 0-\infty }$

• が空でない場合、が上の -代数である場合、が零関数でない場合、が測度である ことが示されます。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[12]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[13]
• を非可算とし、を上の -代数とし、をの可算元とし、を測度とすることが示される。 ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$${\displaystyle {\cal {A}},}$${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$${\displaystyle \mu }$

半有限でない測度は、特定の集合に制限されると非常にワイルドになります。^{[注 1]}すべての測度は、その一部 (ワイルドな部分) が取り除かれると、ある意味では半有限になります。${\displaystyle 0-\infty }$

—  A. ムケルジェアと K. ポトヴェン『実解析と関数解析、パート A: 実解析』（1985 年）

の部分は、上記の定理で定義された測度を意味すると言います。 の明示的な式は次のとおりです。${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

• をまたはとし、 とすると が半有限であることと、が単射であることに限ります。^{[16] [17] （この結果は}の双対空間の研究において重要です。）${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• をまたはとし、を上の測度における収束の位相とすると、が半有限であれば、かつがハウスドルフである場合に限ります。^{[18] [19]}${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle {\cal {T}}}$${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (ジョンソン)を集合とし、 を上のシグマ代数とし、を上の測度とし、を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とします。が両方とも測度でない場合、 および が両方とも半有限であるためには、すべての および に対してとなる必要十分条件があります。(ここで、は Berberian '65 の定理 39.1 で定義された測度です。^[20] )${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {A}},}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\cal {B}}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\cal {B}}.}$${\displaystyle \mu ,\nu }$${\displaystyle 0-\infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

局所化可能な測度は、半有限測度の特殊なケースであり、シグマ有限測度の一般化です。

を集合とし、を上のシグマ代数とし、を上の測度とする。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\cal {A}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• またはとし、とすると、 が局所化可能であるのは、 が全単射である場合（ 「である」場合のみ）である。^{[21] [17]}${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

測度が有限測度の可算和である場合、その測度は s 有限であると言われます。s 有限測度はシグマ有限測度よりも一般的であり、確率過程の理論に応用されています。

選択公理が真であると仮定すると、ユークリッド空間のすべての部分集合がルベーグ可測ではないことが証明できます。そのような集合の例には、ヴィタリ集合や、ハウスドルフのパラドックスおよびバナッハ・タルスキーのパラドックスによって仮定された非可測集合が含まれます。

特定の目的のためには、値が非負の実数または無限大に制限されない「測度」を持つことが有用です。たとえば、(符号付き)実数に値を持つ可算加法集合関数は符号測度と呼ばれ、複素数に値を持つそのような関数は複素測度と呼ばれます。ただし、複素測度は必然的に有限変化であるため、複素測度には有限符号測度が含まれますが、たとえばルベーグ測度は含まれないことに注意してください。

バナッハ空間に値を取る測度は広く研究されてきた。^[22]ヒルベルト空間上の自己随伴射影の集合に値を取る測度は射影値測度と呼ばれ、関数解析においてスペクトル定理のために使用される。非負の値を取る通常の測度を一般化から区別する必要がある場合、正測度という用語が使用される。正測度は円錐結合の下では閉じているが、一般線型結合の下では閉じていない。一方、符号付き測度は正測度の線型閉包である。

もう 1 つの一般化は、有限加法測度であり、これは内容とも呼ばれます。これは、可算加法性ではなく有限加法性のみを必要とする点を除いて、測度と同じです。歴史的には、この定義が最初に使用されました。一般に、有限加法測度は、バナッハ極限、 の双対、およびストーン–チェフのコンパクト化などの概念に関連しています。これらはすべて、何らかの形で選択公理にリンクされています。内容は、幾何学的測度理論の特定の技術的問題で依然として有用です。これがバナッハ測度の理論です。 ${\displaystyle L^{\infty }}$

電荷は両方向への一般化であり、有限加算の符号付き測度です。^[23]（有界電荷に関する情報については、 baスペースを参照してください。ここで、電荷が有界であると言うのは、その範囲がRの有界サブセットであることを意味します。）