偏微分方程式

働く${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$関数の偏導関数${\displaystyle u}$は次のように表すことができる $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}}$$ または下付き文字付き $${\displaystyle u_{x_{i}}.}$$

複数の導関数については、多重添え字表記を使用できます。したがって、${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}$長さ${\displaystyle \alpha }$は、${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$反復部分式は次のように表される。 $${\displaystyle D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{k}u}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

上記の偏微分方程式の定義^{[ 5 ]では、}${\displaystyle D}$は、その成分が偏微分であるテンソルである。${\displaystyle u}$; 例えば${\displaystyle D^{k}u}$テンソルである${\displaystyle n^{k}}$セットの配置であるコンポーネント${\displaystyle \{D^{\alpha }u\mid |\alpha |=k\}}$偏微分の可換性を考慮した後。

ギリシャ文字Δはラプラス演算子を表します。uがn 個の変数の関数である場合、 $${\displaystyle \Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.}$$ 物理学の文献では、ラプラス演算子はしばしば∇ ²で表されます。数学の文献では、∇ ² u はuのヘッセ行列を表すこともあり、ここでは で表されます。${\displaystyle D^{2}u}$。

偏微分方程式は、未知数とその導関数に関して線形である場合、線形であると呼ばれます。たとえば、xとyの関数uの場合、2階線形偏微分方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$ ここで、a _iとfは独立変数xとyのみの関数です。（多くの場合、混合偏微分u _xyとu _yxは等しくなりますが、これは線形性の議論には必須ではありません。）a _{i が}定数（xとyに依存しない）である場合、偏微分方程式は定数係数線形と呼ばれます。f が至るところでゼロである場合、線形偏微分方程式は同次であり、そうでない場合は非同次です。（これは、係数の高周波振動が偏微分方程式の解に及ぼす影響を研究する漸近同次化とは異なります。）

線形偏微分方程式に最も近いのは半線形偏微分方程式で、最高階の導関数のみが線形項として現れ、係数は独立変数の関数となります。低階の導関数と未知関数は任意に現れる可能性があります。例えば、2変数の一般的な2階半線形偏微分方程式は次のようになります。 $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

準線形偏微分方程式では、最高階の導関数も同様に線形項としてのみ現れますが、その係数は未知数と低階の導関数の関数である可能性があります。 $${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$ 物理学における多くの基本的な偏微分方程式は準線形であり、例えば一般相対性理論のアインシュタイン方程式や流体運動を記述するナビエ・ストークス方程式などが挙げられる。

線形性を持たない偏微分方程式は完全非線形と呼ばれ、1つ以上の最高階微分に非線形性を持つ。例としては、微分幾何学で現れるモンジュ・アンペール方程式がある。^{[ 6 ]}

楕円型/放物型/双曲型の分類は、適切な初期条件と境界条件、および解の滑らかさの指針となる。u _xy = u _yxと仮定すると、2 つの独立変数に関する一般的な線形 2 階偏微分方程式は次の形式になる 。$${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,}$$ ここで、係数A、B、C ... はxとyに依存する可能性があります。xy平面のある領域でA ² + B ² + C ² > 0であれば、偏微分方程式はその領域で 2 階になります。この形式は、円錐曲線の方程式に類似しています。 $${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

より正確には、 ∂ _{x を}Xに置き換え、他の変数についても同様の操作を行うことで (正式にはフーリエ変換によって行われます)、定数係数偏微分方程式を同じ次数の多項式に変換します。分類には、最高次の項 (同次多項式、ここでは二次形式) が最も重要です。

判別式B ² − 4 ACに基づいて円錐曲線や二次形式を放物線型、双曲型、楕円型に分類するのと同様に、与えられた点における 2 階偏微分方程式についても同様の分類が可能です。ただし、xy項がBではなく2 Bであるという慣例により、偏微分方程式の判別式はB ² − ACで与えられます。正式には、判別式 (関連する二次形式) は(2 B ) ² − 4 AC = 4( B ² − AC )であり、簡略化のために係数 4 は省略されています。

1. B ² − AC < 0 (楕円型偏微分方程式):楕円型偏微分方程式の解は、方程式と解が定義される領域の内部では、係数が許容する限り滑らかです。たとえば、ラプラス方程式の解は、定義される領域内では解析的ですが、解は滑らかでない境界値をとる場合があります。亜音速での流体の運動は楕円型偏微分方程式で近似でき、オイラー・トリコミ方程式はx < 0のとき楕円型です。変数変換により、方程式は常に次の形式で表すことができます。$${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,}$$ここで、xとyは変換された変数に対応する。このことから、ラプラス方程式はこのタイプの例として正当化される。^{[ 7 ]}
2. B ² − AC = 0 (放物型偏微分方程式):あらゆる点で放物型である方程式は、独立変数の変換によって熱方程式に類似した形式に変換できます。変換された時間変数が増加するにつれて、解は滑らかになります。オイラー・トリコミ方程式は、 x = 0の直線上で放物型になります。変数変換により、この方程式は常に次の形式で表すことができます。$${\displaystyle u_{xx}+\cdots =0,}$$ここで、xは変換された変数に対応する。これにより、次の形式の熱方程式が正当化される。${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$この種の例として、^{[ 7 ]}
3. B ² − AC > 0 (双曲型偏微分方程式):双曲型方程式は、初期データにおける関数または導関数の不連続性を保持します。例としては、波動方程式があります。超音速での流体の運動は双曲型偏微分方程式で近似でき、オイラー・トリコミ方程式はx > 0の場合に双曲型です。変数変換により、方程式は常に次の形式で表すことができます。$${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,}$$ここで、xとyは変換された変数に対応する。このことから、波動方程式はこのタイプの例として正当化される。^{[ 7 ]}

n 個の独立変数x ₁ , x ₂ , …, x _nがある場合、一般的な 2 階線形偏微分方程式は次の形式になります。 $${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.}$$

分類は、係数行列a _{i , j}の固有値の符号に依存します。

1. 楕円型：固有値がすべて正またはすべて負である。
2. 放物線型：固有値はすべて正またはすべて負であり、ただし1つだけゼロである。
3. 双曲線型：負の固有値が1つだけ存在し、残りはすべて正であるか、正の固有値が1つだけ存在し、残りはすべて負である。
4. 超双曲型: 正の固有値が複数存在し、負の固有値も複数存在し、ゼロの固有値は存在しない。^{[ 8 ]}

楕円型、放物型、双曲型の方程式の理論は、何世紀にもわたって研究されてきたが、その多くはラプラス方程式、熱方程式、波動方程式といった標準的な例を中心に、あるいはそれらに基づいて行われてきた。

しかし、この分類は2次項の線形性のみに依存するため、半線形および準線形偏微分方程式にも適用可能です。基本型は、オイラー・トリコミ方程式のようなハイブリッド型にも拡張され、定義域の異なる領域で楕円型から双曲型まで変化します。また、高階偏微分方程式にも適用可能ですが、そのような知識はより専門的です。

偏微分方程式の分類は、未知数uがm個の成分を持つベクトルとなり、係数行列Aνがν = 1, 2, …, nに対してm × m行列となるような、 ₁階方程式系に拡張することができる。偏微分方程式は次の形式をとる。 $${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$ ここで、係数行列A _νとベクトルBはxとuに依存する可能性がある。超曲面S が暗黙の形式で与えられている 場合$${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$φがゼロでない勾配を持つ 場合、特性形式がゼロであれば、 Sは与えられた点における 演算子Lの特性曲面となる。$${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

この条件の幾何学的解釈は次のとおりです。曲面S上でuのデータが与えられている場合、微分方程式からS上でのuの法線微分を決定できる可能性があります。S上のデータと微分方程式がS上でのuの法線微分を決定する場合、Sは非特性曲面です。S 上のデータと微分方程式が S 上での u の法線微分を決定しない場合、曲面は特性曲面であり、微分方程式はS上のデータを制限します。つまり、微分方程式はSの内部にあります。

1. 1 階システムLu = 0は、 Lに特徴的な曲面がない場合、楕円型である。つまり、 S上のuの値と微分方程式は常にS上のuの法線微分を決定する。
2. 1 階システムは、その点に法線ξを持つ空間的曲面Sが存在する場合、その点で双曲的である。これは、 ξに直交する任意の非自明なベクトルηとスカラー乗数λが与えられたとき、方程式Q ( λξ + η ) = 0がm 個の実根λ ₁ , λ ₂ , …, λ _mを持つことを意味する。これらの根が常に異なる場合、システムは厳密に双曲的である。この条件の幾何学的解釈は次のとおりである。特性形式Q ( ζ ) = 0 は、同次座標 ζ を持つ円錐 (法線円錐) を定義する。双曲的な場合、この円錐はnm 枚のシートを持ち、軸ζ = λξはこれらのシートの内部を走る。つまり、どのシートとも交差しない。しかし、原点から η だけずらすと、この軸はすべてのシートと交差する。楕円的な場合、法線円錐は実シートを持たない。

線形偏微分方程式は、変数分離という重要な手法によって常微分方程式系に還元することができます。この手法は、微分方程式の解の特性に基づいています。つまり、方程式を解き、境界条件を満たす解が見つかれば、それが解となります（これは常微分方程式にも当てはまります）。ここでは、解の空間と時間のパラメータへの依存性が、それぞれ単一のパラメータに依存する項の積として表せるという仮説を立て、この仮説によって問題を解決できるかどうかを調べます。^{[ 9 ]}

変数分離法では、偏微分方程式をより少ない変数の偏微分方程式に変換し、それが1変数の常微分方程式であれば、より簡単に解くことができる。

これは、分離型偏微分方程式と呼ばれる単純な偏微分方程式で可能であり、定義域は一般に長方形（区間の積）です。分離型偏微分方程式は対角行列に対応します。「固定されたxの値」を座標と考えると、各座標を個別に理解することができます。

これは特性曲線法に一般化され、積分変換にも用いられる。

n = 2次元空間における特性曲面は特性曲線と呼ばれます。^{[ 10 ]} 特殊な場合、1 階偏微分方程式が常微分方程式に帰着するような特性曲線を見つけることができます。これらの曲線を直線にするために領域内の座標を変更することで変数分離が可能になり、これは特性曲線法と呼ばれます。

より一般的には、この方法を高次元の1階偏微分方程式に適用すると、特性曲面が見つかる可能性がある。

積分変換によって偏微分方程式をより単純なもの、特に変数分離可能な偏微分方程式に変換することができる。これは演算子の対角化に相当する。

その重要な例の一つがフーリエ解析であり、これは正弦波の固有基底を用いて熱方程式を対角化する。

領域が有限または周期的な場合は、フーリエ級数などの解の無限和が適切ですが、無限領域の場合は一般的にフーリエ積分などの解の積分が必要となります。上記の熱方程式における点源の解は、フーリエ積分の使用例です。

偏微分方程式は、適切な変数変換によって、解が既知のより単純な形式に変換できる場合が多い。例えば、ブラック・ショールズ方程式などである。$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$$熱方程式 に還元できる$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ 変数変換により^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\x&=\ln \left(S\right),\\\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}}$$

非同次方程式は、基本解（点源の解）を見つけることで解けることが多い（定数係数偏微分方程式の場合は常に解ける）。${\displaystyle P(D)u=\delta }$)、そして境界条件との畳み込みを行うことで解を得る。

これは信号処理において、フィルターをインパルス応答によって理解することに類似している。

重ね合わせの原理は、偏微分方程式の線形システムを含む、あらゆる線形システムに適用されます。この概念の一般的な視覚化は、同位相の 2 つの波が相互作用して合成され、より大きな振幅になるというものです。たとえば、sin x + sin x = 2 sin xです。同じ原理は、解が実数または複素数で加法性を持つ偏微分方程式でも観察できます。u 1 と u 2 が何らかの関数空間 R における線形偏微分方程式の解である場合、_任意の_定数c 1とc 2 を持つu ₌ c 1 _{u 1 + c 2 u 2}も同じ関数_空間における_その偏微分_方程式の_解となります。

非線形偏微分方程式を解くための一般的に適用可能な解析的手法は存在しない。しかしながら、解の存在と一意性に関する結果（コーシー・コワレフスキーの定理など）はしばしば得られ、解の重要な定性的および定量的性質の証明も可能である（これらの結果を得ることは解析の重要な部分である）。

しかしながら、いくつかの手法は複数の種類の方程式に適用できる。h原理は、劣決定方程式を解くための最も強力な方法である。リキエ・ジャネ理論は、多くの解析的過剰決定系に関する情報を得るための効果的な方法である。

特性曲線法は、非線形偏微分方程式を解くための非常に特殊なケースで使用できる。^{[ 12 ]}

偏微分方程式は、摂動解析によって解くことができる場合がある。摂動解析では、解は既知の解を持つ方程式に対する補正として考えられる。代替手段としては、単純な有限差分法から、より成熟したマルチグリッド法や有限要素法に至るまで、数値解析手法が挙げられる。科学や工学における多くの興味深い問題は、コンピュータ、時には高性能スーパーコンピュータを用いて、このような方法で解決されている。

1870年以降、ソフス・リーの研究は微分方程式の理論をより確固たる基礎の上に築いた。彼は、現在リー群と呼ばれるものを導入することで、従来の数学者たちの積分理論を共通の源泉に帰着させることができること、そして同じ微小変換を許容する常微分方程式は、積分において同程度の困難を示すことを示した。彼はまた、接触変換という主題も強調した。

偏微分方程式を解く一般的なアプローチでは、微分方程式の対称性、すなわち解から解への連続的な無限小変換（リー理論）を利用します。連続群論、リー代数、微分幾何学は、線形および非線形偏微分方程式の構造を理解し、可積分方程式を生成し、そのラックス対、再帰演算子、バックルンド変換を見つけ、最終的に偏微分方程式の厳密な解析解を見つけるために使用されます。

対称性を用いた手法は、数学、物理学、工学、その他多くの分野で生じる微分方程式を研究するために有効であることが認められている。

アドミアン分解法^{[ 13 ]}、リアプノフ人工小パラメータ法、および彼のホモトピー摂動法はすべて、より一般的なホモトピー解析法^{[ 14 ]}の特殊なケースです。これらは級数展開法であり、リアプノフ法を除いて、よく知られている摂動理論と比較して小さな物理パラメータに依存しないため、これらの方法にはより大きな柔軟性と解の一般性があります。

有限要素法（FEM）（その実用的な応用は有限要素解析（FEA）としてよく知られている）は、有限個の関数を使用して偏微分方程式（PDE）および積分方程式の解を近似するための数値的手法である。^{[ 15 ] [ 16 ]}解法のアプローチは、微分方程式を完全に消去すること（定常状態の問題）またはPDEを常微分方程式の近似システムに変換し、オイラー法、ルンゲ・クッタ法などの標準的な手法を使用して数値的に積分することのいずれかに基づいている。

有限差分法は、微分方程式の解を近似するために有限差分方程式を用いる数値的手法である。

有限差分法や有限要素法と同様に、メッシュ化された形状上の離散的な場所で値が計算されます。「有限体積」とは、メッシュ上の各節点を取り囲む小さな体積を指します。有限体積法では、発散項を含む偏微分方程式の面積分は、発散定理を用いて体積分に変換されます。これらの項は、各有限体積の表面におけるフラックスとして評価されます。ある体積に入るフラックスは隣接する体積から出るフラックスと同一であるため、これらの方法は設計上、質量保存則を満たします。

適切性とは、偏微分方程式に関する一般的な概略的な情報パッケージを指します。偏微分方程式が適切であるとは、以下の条件を満たす必要があります。

• 存在と一意性定理は、いくつかの自由に選択された関数を指定することで、偏微分方程式の特定の解を一つだけ特定できると主張する。
• 自由選択肢を継続的に変更することで、対応する解も継続的に変化する。

これは、複数の異なる偏微分方程式に適用する必要があるため、やや曖昧である。特に「連続性」の要件は、厳密に定義できる方法が通常複数存在するため、曖昧である。しかし、偏微分方程式が適切に定式化されているかどうかを指定せずに研究することは、やや異例である。

正則性とは、弱解の積分可能性と微分可能性を指し、弱解はしばしばソボレフ空間によって表現される。

この問題は、古典的な解を見つけることの難しさから生じます。研究者はしばしば、まず弱い解を見つけ、それからそれが古典的な解として認められるほど滑らかであるかどうかを判断しようとします。

この研究分野では、機能解析の結果がしばしば用いられる。