単一表現

数学において、群Gのユニタリ表現は、複素ヒルベルト空間V上のGの線型表現πであり、 π( g ) は任意のg ∈ Gに対してユニタリ作用素となる。一般理論は、 Gが局所コンパクト(ハウスドルフ)位相群であり、表現が強連続である場合によく発達している。

この理論は1920年代から量子力学で広く応用されており、特にヘルマン・ワイルの1928年の著書『群論と量子力学』の影響を受けています。応用に役立つ特定の群だけでなく、任意の群Gに対するユニタリ表現の一般理論を構築した先駆者の1人は、ジョージ・マッキーでした。

位相群のユニタリ表現の理論は、調和解析と密接に関係しています。アーベル群 Gの場合、 Gの表現論のかなり完全な描写は、ポンチャギン双対性によって与えられます。一般に、 Gの既約ユニタリ表現のユニタリ同値類 (以下を参照) は、そのユニタリ双対を構成します。この集合は、群 C*-代数構成によってGに関連付けられたC*-代数のスペクトルと同一視できます。これは位相空間です。

プランシュレルの定理の一般形は、ユニタリ双対上の測度を使用して、 L ² ( G )上のGの正規表現を記述しようとします。 G がアーベル的である場合、これはポンチャギン双対理論によって与えられます。G がコンパクトである場合、これはピーター・ワイルの定理によって与えられます。その場合、ユニタリ双対は離散空間であり、測度は各質量点にその次数に等しい原子を結び付けます。

G を位相群とする。ヒルベルト空間H上のGの強連続ユニタリ表現は、 GからHのユニタリ群への群準同型である。

${\displaystyle \pi :G\rightarrow \operatorname {U} (H)}$

g → π( g ) ξ は任意のξ ∈ Hに対してノルム連続関数となる。

G がリー群である場合、ヒルベルト空間も基礎となる滑らかな構造と解析的構造を持つことに注意する。Hのベクトル ξ は、写像g → π( g ) ξ が滑らかまたは解析的であるとき（ H上のノルム位相または弱位相において）、滑らかまたは解析的であると言われる。^[1]滑らかなベクトルは、コンパクトな台の滑らかな関数による畳み込みが滑らかなベクトルを生成するため、Lars Gårdingの古典的な議論によりHにおいて稠密である。解析ベクトルは、熱作用素e ^–tDの像のベクトル（G の普遍包絡代数における楕円微分作用素Dに対応する）が解析的であるため、Roe Goodman によって拡張されたEdward Nelsonの古典的な議論により稠密である。滑らかなベクトルや解析ベクトルは稠密な部分空間を形成するだけでなく、しかし、それらはまた、スペクトル理論の意味で、リー代数の元に対応する非有界歪随伴作用素の共通核を形成する。^[2]

2つのユニタリ表現π ₁ : G → U( H ₁ ), π ₂ : G → U( H _{2 )は、} Gのすべてのgに対してπ ₁ ( g ) = A ^* ∘ π ₂ ( g ) ∘ Aとなるようなユニタリ変換A : H ₁ → H ₂が存在するとき、ユニタリ同値であると言われる。これが成り立つとき、Aは表現の絡み合い演算子であると言われる。^[3] ${\displaystyle (\pi _{1},H_{1}),(\pi _{2},H_{2})}$

が有限次元ヒルベルト空間上の連結リー群の表現である場合、関連するリー代数表現が上の歪自己随伴作用素の空間に写像される場合に限り、 がユニタリである。^[4]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {End} (H)}$${\displaystyle H}$

ユニタリ表現は、任意の閉じた不変部分空間に対して、直交補空間が再び閉じた不変部分空間になるという意味で、完全に簡約可能です。これは観察レベルですが、基本的な特性です。たとえば、これは、代数的な意味で、有限次元のユニタリ表現が常に既約表現の直和であることを意味します。

ユニタリ表現は一般の場合よりも扱いやすいので、ユニタリ化可能な表現、つまり適切な複素ヒルベルト空間構造を導入することでユニタリになる表現を考えるのが自然です。これは有限群、さらに一般的にはコンパクト群に対して、任意のエルミート構造に平均化の議論を適用することでうまく機能します。 ^[5]たとえば、マシュケの定理の自然な証明はこのルートで行われます。

一般に、非コンパクト群の場合、どの表現がユニタリ化可能かはより深刻な問題です。数学における重要な未解決問題の 1 つは、ユニタリ双対の記述、つまりすべての実簡約 リー群の既約ユニタリ表現の有効な分類です。すべての既約ユニタリ表現は許容され(または、それらのHarish-Chandra 加群が許容されます)、許容される表現はラングランズ分類によって与えられ、それらのどれが非自明な不変セスクイリニア形式を持つかは簡単にわかります。問題は、二次形式が正定値であるかどうかを判断するのが一般に難しいことです。多くの簡約リー群では、これは解決されています。例については、 SL2(R) の表現論とローレンツ群の表現論を参照してください。

• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
• リード、マイケル、サイモン、バリー（1975）、現代数理物理学の方法、第2巻：フーリエ解析、自己随伴性、アカデミックプレス、ISBN 0-12-585002-6
• ワーナー、ガース（1972）、半単純リー群の調和解析I、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-05468-5

• 誘導表現
• 等型表現
• SL2(R)の表現理論
• ローレンツ群の表現
• ストーン・フォン・ノイマンの定理
• 星のユニタリー表現 リー超代数
• ゾーン球面関数