ユニットディスク

数学において、P（平面 上の任意の点）の周りの開単位円（または円 ）は、Pからの距離が1 未満の 点の集合です。

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert PQ\vert <1\}.\,}$

P の周りの閉じた単位円は、 Pからの距離が 1 以下である 点の集合です。

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|PQ|\leq 1\}.\,}$

単位円板は円板と単位球の特殊なケースであり、単位円の内部を含み、閉じた単位円板の場合は単位円自体を含みます。

これ以上指定しない場合、単位円板という用語は、標準ユークリッド計量に関して、原点、の周りの開いた単位円板に対して使用されます。これは、原点を中心とする半径 1 の円の内部です。この集合は、絶対値が1 未満のすべての複素数の集合と同一視できます。複素平面 ( C )のサブセットとして見ると、単位円板は と表記されることがよくあります。 ${\displaystyle D_{1}(0)}$${\displaystyle \mathbb {D} }$

機能

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}$

は、開単位円板から平面への実解析的かつ全単射な関数の例であり、その逆関数も解析的である。したがって、実2次元解析多様体として考えると、開単位円板は平面全体に同型である。特に、開単位円板は平面全体に 同相である。

しかし、開単位円板と平面の間には共形全単射写像は存在しません。したがって、リーマン面として考えると、開単位円板は複素平面とは異なります。

開いた単位円板と開いた上半平面の間には共形全単射写像が存在します。したがって、リーマン面として考えると、開いた単位円板は上半平面と同型（「双正則」または「共形同値」）であり、この 2 つはしばしば互換的に使用されます。

より一般的には、リーマン写像定理は、複素平面自体とは異なる複素平面の単連結な 開部分集合はすべて、開単位円板への共形かつ全単射の写像を許容することを述べています。

開いた単位円板から開いた上半平面への全単射な等角写像の一つはメビウス変換である。

${\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}$これはケーリー変換   の逆です。

幾何学的には、実軸が曲げられ、縮んで、上半平面が円盤の内部になり、実軸が円盤の円周を形成する（ただし、上部の 1 点、つまり「無限遠点」を除く）ように想像できます。開いた単位円盤から開いた上半平面への単射の等角写像は、2 つの立体投影の合成として構築することもできます。まず、単位円盤を単位上半球に立体的に上向きに投影し、単位球の「南極」を投影中心とします。次に、この半球を球に接する垂直な半平面に横向きに投影し、半球上の接触点の反対側の点を投影中心とします。

単位円と上半平面は、ハーディ空間の領域として互換性がありません。この違いは、単位円には有限（1 次元）のルベーグ測度があるのに対し、実数直線にはそれがないことに起因しています。

開いた単位円板は、双曲面のポアンカレ円板モデルの点の集合を形成します。単位円に垂直な円弧は、このモデルでは「線」を形成します。単位円は、ケイリー・クライン計量のスタイルでクロス比を使用して円板上の計量を決定するケイリー絶対値です。微分幾何学の言語では、単位円に垂直な円弧は、モデル内の点間の最短距離を示す測地線です。モデルには、特殊ユニタリ群SU(1,1)によって表現される動きが含まれます。円板モデルは、上記の マッピングgによってポアンカレ半平面モデルに変換できます。

ポアンカレ円板とポアンカレ半平面はどちらも双曲面の 共形モデルであり、交差する曲線間の角度は等長変換群の動きによって保存されます。

双曲空間の別のモデルも、開単位円板上に構築されます。それはベルトラミ・クラインモデルです。これは共形ではありませんが、測地線が直線であるという性質を持っています。

また、単位円を他の計量に関して考えることもできます。たとえば、タクシー計量とチェビシェフ計量では、円は正方形のように見えます (基礎となるトポロジーはユークリッドのものと同じである にもかかわらず)。

ユークリッド単位円の面積はπで、周囲は 2π です。対照的に、タクシー幾何学における単位円の周囲（タクシー計量に対する相対値）は 8 です。1932 年に、スタニスワフ・ゴワブは、ノルムから生じる計量では、単位円の周囲は 6 から 8 の間の任意の値を取ることができ、これらの極値は単位円がそれぞれ正六角形または平行四辺形の場合にのみ得られることを証明しました。

• 単位円グラフ
• 単位球
• ド・ブランジュの定理

• S. Golab、「ミンコフスキーの地理的問題に関する問題」、Trav。アカド。 Mines Cracovie 6 (1932)、179。

• Weisstein、Eric W.「単位円盤」。MathWorld。
• 単位円の周囲と面積について、JC アルバレス パヴィアと AC トンプソン著