線形スパン

数学において、ベクトル空間の要素の集合の線型スパン（線型包^[1]または単にスパンとも呼ば^れる）は、Sの要素のすべての有限線型結合の集合であり、Sを含むすべての線型部分空間の共通部分である。これはしばしばspan( S ) ^[3]または ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \langle S\rangle .}$

たとえば、幾何学では、2 つの線形独立 ベクトルが平面に広がります。

ベクトル空間Vが部分集合Sの線型スパンであることを表現するには、通常、次のいずれかのフレーズを使用します: S はVを張る、S はVの全域集合である、VはSによって張られるか生成される、 S はVの生成集合または生成集合である。

スパンは多くの数学的構造に一般化することができ、その場合、最小のサブ構造は一般にサブ構造と呼ばれる。${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

体K上のベクトル空間 V が与えられたとき、ベクトルの集合S (必ずしも有限ではない) の張る範囲は、Sを含むVのすべての部分空間の共通部分Wとして定義されます。したがって、これはW を含む最小の部分空間 (集合包含の場合) です。これはSまたはS内のベクトルによって張られる部分空間と呼ばれます。逆に、S はWの張る集合と呼ばれ、 S がW を張ると言います。

この定義から、 SのスパンはSの要素（ベクトル）のすべての有限線形結合の集合であり、そのように定義できることがわかります。^{[4] [5] [6]}つまり、$${\displaystyle \operatorname {span} (S)={\biggl \{}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+ \cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid n\in \mathbb {N} ,\;\mathbf {v} _{1},...\mathbf {v} _ {n}\in S,\;\lambda _{1},...\lambda _{n}\in K{\biggr \}}}$$

Sが空の場合、唯一の可能性はn = 0であり、前の式は空和に簡約されます。^[a]空和の標準的な慣例は、他の定義と直接関連する特性を意味します。ただし、多くの入門書では、この事実を定義の一部として単純に含めています。 ${\displaystyle \operatorname {span} (S)}$${\displaystyle {\text{span}}(\emptyset )=\{\mathbf {0} \},}$

が有限のとき、 ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$$${\displaystyle \operatorname {span} (S)=\{\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\ lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\mid \lambda _{1},...\lambda _{n}\in K\}}$$

実ベクトル空間には{(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}が張集合として存在します。この特定の張集合は基底でもあります。 (−1, 0, 0)を(1, 0, 0)に置き換えると、これもの標準基底を形成します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

同じ空間の別の全域集合は{(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}で与えられますが、この集合は線形従属であるため基底ではありません。

集合{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } は の全域集合ではありません。その範囲は、最後の要素が 0 であるすべてのベクトルの空間だからです。その空間は、集合 {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} によっても範囲付けられます。これは、(1, 1, 0) が (1, 0, 0) と (0, 1, 0) の線形結合であるためです。したがって、範囲付けられた空間は ではありません。ゼロに等しい 3 番目の要素を削除することで、 と同一視できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

空集合は 内のすべての可能なベクトル空間の部分集合であり、{(0, 0, 0)} はこれらすべてのベクトル空間の共通集合であるため、空集合は {(0, 0, 0)} の全域集合です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

単項式 の集合x ⁿ （ nは負でない整数）は、多項式の空間を張ります。

K上のベクトル空間Vの部分集合Sのすべての線形結合の集合は、 Sを含むVの最小の線形部分空間です。

証明。まず、スパンSがVのサブスペースであることを証明します。SはVのサブセットなので、スパンSにゼロベクトル0が存在すること、スパンS が加算に対して閉じていること、スパンSがスカラー乗算に対して閉じていることを証明するだけで済みます。 とすると、なので、VのゼロベクトルがスパンSに存在することは自明です。 Sの 2 つの線形結合を加算すると、Sの線形結合:も生成されます(すべて ) 。また、 Sの線形結合にスカラーを乗算すると、 Sの別の線形結合: が生成されます。したがって、スパンSはVのサブスペースです。${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle \mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle (\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \lambda _{i},\mu _{i}\in K}$${\displaystyle c\in K}$${\displaystyle c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

W がS を含むVの線形部分空間であると仮定します。すべてのv _{i は}Sの線形結合であるため(自明です) 、となります。Wは加算とスカラー乗算に対して閉じているため、すべての線形結合はWに含まれていなければなりません。したがって、スパンS はS を含むVのすべての部分空間に含まれ、そのようなすべての部分空間の共通部分、またはそのような最小の部分空間は、 Sのすべての線形結合の集合に等しくなります。${\displaystyle S\subseteq \operatorname {span} S}$${\displaystyle \lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}}$

ベクトル空間Vのすべての全域集合S には、少なくともVからの任意の線形独立なベクトル集合と同じ数の要素が含まれていなければなりません。

証明。を全域集合とし、 をVから線形独立なベクトル集合とします。 であることを示します。${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$${\displaystyle W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}}$${\displaystyle m\geq n}$

S はV を張るので、もV を張らなければならず、Sの線形結合でなければなりません。したがって は線形従属であり、Sから他の要素の線形結合であるベクトルを 1 つ削除できます。このベクトルは、 W が線形独立であるため、w _iのいずれにもなりません。結果の集合は で、これはVの全域集合です。この手順をn回繰り返します。ここで、 p番目の手順後の結果の集合は、 Sのm - pベクトルとの和集合です。${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{1}}$${\displaystyle S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}}$

n番目のステップまで、 vのすべての随伴ベクトルに対してSから削除するv _{i が}必ず存在するため、少なくともw _iと同じ数のv _iが存在することになります (つまり) 。これを検証するために、矛盾として と仮定します。すると、m番目のステップで、集合 が得られ、別のベクトル を随伴できます。しかし、はVの全集合であるため、は の線形結合です。Wは線形独立なので、これは矛盾です。${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{m+1}}$${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$

V を有限次元ベクトル空間とします。 Vを張る任意のベクトル集合は、必要に応じてベクトルを破棄することで (つまり、集合内に線形従属ベクトルがある場合)、Vの基底に縮小できます。選択公理が成り立つ場合、これはV が有限次元であるという仮定なしに真です。これはまた、 Vが有限次元 の場合、基底が最小全域集合であることを示しています。

空間上の点の範囲の定義を一般化すると、マトロイドの基底集合の部分集合Xは、 Xの階数が基底集合全体の階数と等しい場合、スパニング集合と呼ばれる^[7]。

ベクトル空間の定義は、加群に一般化することもできる。^{[8] [9]} R加群AとAの元a ₁ , ..., a _nの集合が与えられたとき、a ₁ , ..., a _nによって張られるAのサブ加群は、元a _iのすべてのR線形結合 からなる巡回加群の和である。ベクトル空間の場合と同様に、Aの任意の部分集合によって張られるAのサブ加群は、その部分集合を含むすべてのサブ加群の共通部分である。 $${\displaystyle Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}}$$

関数解析では、ベクトルの集合の閉じた線形スパンは、その集合の線形スパンを含む最小の閉集合です。

X がノルムベクトル空間であり、E がXの任意の空でない部分集合であるとします。またはで表されたEの閉線形範囲は、 E を含むXのすべての閉線形部分空間の共通部分です。 ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)}$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Span} }}(E)}$

これを数学的に表現すると、

${\displaystyle {\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.}$

区間 [0, 1] 上の関数x ⁿの閉線形範囲（ nは非負の整数）は、使用するノルムによって異なります。L 2 ノルムを使用する場合、閉線^形範囲は区間上の平方積分可能な関数のヒルベルト空間です。ただし、最大ノルムを使用する場合、閉線形範囲は区間上の連続関数の空間になります。どちらの場合でも、閉線形範囲には多項式ではない関数が含まれるため、線形範囲自体には含まれません。ただし、閉線形範囲内の関数の集合の濃度は連続体の濃度であり、多項式集合の濃度と同じです。

集合の線形スパンはその閉じた線形スパンに稠密である。さらに、以下の補題で述べられているように、閉じた線形スパンは実際にその線形スパンの 閉包である。

閉じた線形スパンは、閉じた線形部分空間（それ自体も非常に重要である。Riesz の補題を参照）を扱うときに重要になります。

X をノルム空間とし、 E をXの空でない部分集合とする。すると

(したがって、閉じた線形スパンを探す通常の方法は、まず線形スパンを探し、次にその線形スパンの閉包を探すことです。)

• アフィン包
• 円錐形の組み合わせ
• 凸包

• Axler, Sheldon Jay (2015). 線形代数を正しく理解する(PDF) (第 3 版). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0。
• ヘフェロン、ジム(2020)。線形代数(PDF) (第 4 版)。Orthogonal Publishing。ISBN 978-1-944325-11-4。
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (第3版). AMS Chelsea Publishing . ISBN 978-0821816462。
• オクスリー、ジェームズ G. (2011)。マトロイド理論。オックスフォード大学院数学テキスト。第 3 巻 (第 2 版)。オックスフォード大学出版局。ISBN 9780199202508。
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (PDF) (第 2 版). Springer . ISBN 0-387-24766-1。
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008).線形関数解析. Springer. ISBN 978-1848000049。
• Lay, David C. (2021)線形代数とその応用 (第 6 版)。ピアソン。

• Lankham, Isaiah、Nachtergaele, Bruno、Schilling, Anne (2010 年 2 月 13 日)。「線形代数 - 抽象数学の入門として」(PDF)。カリフォルニア大学デービス校。2011年9 月 27 日閲覧。
• Weisstein, Eric Wolfgang . 「ベクトル空間スパン」。MathWorld 。 2021年2月16日閲覧。
• 「線形包」。数学百科事典。2020年4月5日。 2021年2月16日閲覧。

• 線形結合とスパン: ベクトルの線形結合とスパンを理解する、khanacademy.org。
• サンダーソン、グラント（2016年8月6日）。「線形結合、スパン、基底ベクトル」。線形代数の本質。2021年12月11日にオリジナルからアーカイブ – YouTube経由。