直交性

数学において、直交性は幾何学的概念である垂直性の一般化である。2本の線を互いに関連付ける場合、通常、直交の後にtoが続く（例：「線Aは線Bに垂直」）のに対し、 ^[1] 直交はtoなしで使用されることが多い（例：「直交する線Aと線B」）。^[2]

直交性は、数学的な意味とはほとんど関連がないか、まったく関連がないさまざまな意味でも使用されます。

この単語は古代ギリシャ語の ὀρθός ( orthós )（「直立」を意味する）^[3]とγωνία ( gōnía )（「角度」を意味する）^{[4]に由来する。}

古代ギリシャ語のὀρθογώνιον ( orthogṓnion ) と古典ラテン語の orthogonium はもともと長方形を意味していました。^[5]後に、直角三角形を意味するようになりました。12世紀には、古典期以降のラテン語のorthogonalis が直角または直角に関連するものを意味するようになりました。^[6]

数学において、直交性は、幾何学的概念の直交性を双線型形式の線型代数に一般化したものである。

双線型形式のベクトル空間の2 つの要素uとv は、の場合直交します。双線型形式に応じて、ベクトル空間には非ゼロの自己直交ベクトルが含まれる場合があります。関数空間の場合、直交関数の族を使用して直交基底が形成されます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$

この概念は、直交関数、直交多項式、および組合せ論の文脈で使用されてきました。

光学では、垂直および水平の直線偏光、または右回りおよび左回りの円偏光のように、偏光状態が互いに独立して伝搬する場合、その偏光状態は直交していると言われます。

特殊相対性理論では、運動の速さによって決まる時間軸は、同じく速さによって決まる同時発生の空間軸と双曲直交する。この理論は同時性の相対性を特徴とする。

幾何学 において、双曲線の漸近線によって分離された 2 本の直線間の双曲直交性の関係は、同時発生を定義するために特殊相対性理論で使用される概念です。2 つの事象は、特定のタイムラインに対して双曲直交する直線上にあるときに同時になります。特定のタイムラインへのこの依存性は速度によって決定され、同時性の相対性の基礎となります。

量子力学では、エルミート演算子、およびの2 つの固有状態が直交するための十分な条件 (ただし必要条件ではない) は、これらが異なる固有値に対応することである。これは、ディラック表記において、とが異なる固有値に対応することを意味する。これは、シュレーディンガー方程式がシュトゥルム・リウヴィル方程式である (シュレーディンガーの定式化の場合)、または観測量がエルミート演算子によって与えられる (ハイゼンベルクの定式化の場合) という事実から導かれる。^{[出典が必要]}${\displaystyle \psi_{m}}$${\displaystyle \psi_{n}}$${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =0}$${\displaystyle \psi_{m}}$${\displaystyle \psi_{n}}$

芸術では、消失点を指す遠近法の（想像上の）線は「直交線」と呼ばれます。「直交線」という用語は、現代美術批評の文献ではまったく異なる意味を持つことがよくあります。ピエト・モンドリアンやバーゴイン・ディラーなどの画家の作品の多くは、「直交線」のみを使用していることで知られています。ただし、これは遠近法を指すのではなく、交差する箇所で直角を形成する、水平または垂直のみの直線を指します。たとえば、ティッセン＝ボルネミッサ美術館のWeb サイトにあるエッセイには、「モンドリアンは... 作品全体を直交線と原色のバランスの探求に捧げました」と書かれています。2009 年 1 月 31 日にWayback Machineにアーカイブされました

プログラミング言語設計における直交性とは、さまざまな言語機能を任意の組み合わせで使用して一貫した結果を得ることができる能力である。^{[8]この用法は}、Van WijngaardenによってAlgol 68の設計で導入された。

言語の記述、学習、実装を容易にするために、独立した基本概念の数は最小限に抑えられています。一方で、これらの概念は、有害な余分なものを避けながら言語の表現力を最大化するために「直交的に」適用されています。^[9]

直交性とは、システムのコンポーネントによって生成される技術的効果を変更しても、システムの他のコンポーネントに副作用が生じたり、副作用が伝播したりしないことを保証するシステム設計特性です。通常、これは関心の分離とカプセル化によって実現され、複雑なシステムを実現可能かつコンパクトな設計に不可欠です。コンポーネントで構成されるシステムの出現動作は、そのロジックの形式的な定義によって厳密に制御されるべきであり、不十分な統合、つまりモジュールとインターフェイスの非直交設計から生じる副作用によって制御されるべきではありません。直交性により、副作用を引き起こさず、副作用に依存しない設計を検証することが容易になるため、テストと開発の時間が短縮されます。

命令セットが直交しているとは、冗長性がなく（つまり、特定のタスクを実行するために使用できる命令が1つしかない）^{、命令が任意の}アドレッシングモードで任意のレジスタを使用できるように設計されていることを意味します。この用語は、命令を命令フィールドをコンポーネントとするベクトルと見なすことに由来しています。1つのフィールドは操作するレジスタを識別し、もう1つのフィールドはアドレッシングモードを指定します。直交命令セットは、レジスタとアドレッシングモードのすべての組み合わせを一意にエンコードします。^[11]

電気通信において、理想的な受信機が、異なる基底関数を使用して、任意の強さの不要な信号を目的の信号から完全に除去できる場合、多重アクセス方式は直交しています。そのような方式の 1 つが時分割多重アクセス(TDMA) であり、直交基底関数は重複しない矩形パルス (「タイム スロット」) です。

もう 1 つの方式は、直交周波数分割多重(OFDM) です。これは、単一の送信機によって、互いに干渉しないように直交させるために必要な最小周波数間隔で、周波数多重化された一連の信号を使用することを指します。よく知られている例としては、802.11 Wi-Fiの ( a、g、n ) バージョン、WiMAX、ITU-T G.hn、北米以外のほとんどの国で使用されている地上デジタル TV 放送システムのDVB-T 、 ADSLの標準形式である DMT (Discrete Multi Tone) などがあります。

OFDM では、サブキャリア周波数は、サブキャリアが互いに直交するように選択されます^{[どのように？ ]}。つまり、サブチャネル間のクロストークが排除され、キャリア間ガード バンドは不要になります。これにより、送信機と受信機の両方の設計が大幅に簡素化されます。従来の FDM では、サブチャネルごとに個別のフィルターが必要です。

統計分析を行う際、特定の従属変数に影響を与える独立変数は、相関がない場合には直交していると言われます。 ^[12]これは共分散が内積を形成するためです。この場合、変数の効果を単回帰で個別にモデル化するか、同時に重回帰でモデル化するかに関係なく、独立変数のいずれかが従属変数に与える影響について同じ結果が得られます。相関が存在する場合、因子は直交しておらず、2 つの方法で異なる結果が得られます。この用法は、期待値(平均) を減算して中心化した場合、相関のない変数は、観測データ (つまりベクトル) としてもランダム変数 (つまり密度関数) としても、上で説明した幾何学的な意味で直交するという事実に起因しています。最大尤度フレームワークに代わる 1 つの計量経済学の形式主義である一般化モーメント法は、直交条件に依存しています。特に、通常最小二乗推定量は、説明変数とモデル残差の間の直交条件から簡単に導出できます。

分類学において、直交分類とは、どの項目も複数のグループに属していない分類、つまり、分類が相互に排他的である分類のことです。

化学と生化学において、直交相互作用は、2対の物質があり、各物質がそれぞれの相手と相互作用できるが、もう一方の対の物質とは相互作用しないときに発生します。たとえば、DNAには2つの直交対があります。シトシンとグアニンが塩基対を形成し、アデニンとチミンが別の塩基対を形成しますが、他の塩基対の組み合わせは強く不利になります。化学的な例として、テトラジンはトランスシクロオクテンと反応し、アジドはシクロオクチンと交差反応なしで反応するため、これらは相互に直交する反応であり、同時に選択的に実行できます。^[13]

有機合成において、直交保護は官能基を互いに独立して 脱保護することを可能にする戦略です。

超分子化学における直交性の概念は、2 つ以上の超分子（多くの場合は非共有結合）相互作用が適合し、他方からの干渉なしに可逆的に形成される可能性を指します。

分析化学では、測定や識別がまったく異なる方法で行われる場合、その分析は「直交」しており、測定の信頼性が高まります。したがって、直交テストは結果の「クロスチェック」と見なすことができ、「クロス」という概念は直交性の語源に相当します。直交テストは、新薬申請の一部として頻繁に必要になります。

システム信頼性の分野において、直交冗長とは、バックアップ デバイスまたはバックアップ方法の形式が、エラーが発生しやすいデバイスまたはバックアップ方法とはまったく異なる冗長性の形式です。直交冗長バックアップ デバイスまたはバックアップ方法の障害モードは、システム全体を壊滅的な障害から保護するために冗長性を必要とするデバイスまたはバックアップ方法の障害モードと交差せず、完全に異なります。

神経科学では、刺激のコード化（場所や質など）が重複する脳内の感覚マップを直交マップと呼びます。

哲学では、2 つのトピック、著者、または著作が、潜在的に重複または競合する主張を実質的にカバーしていない場合、それらは互いに「直交」していると言われます。したがって、哲学のテキストは、互いにサポートおよび補完したり、競合する説明やシステムを提供したり、または著作の範囲、内容、目的がまったく関連していない場合に互いに直交したりすることができます。

チェスのような正方形の格子を特徴とするボードゲームでは、「直交」は「同じ行/「ランク」または列/「ファイル」にある」という意味で使用されます。これは、「斜めに隣接する」正方形と対になるものです。^[27]古代中国のボードゲームである囲碁では、プレイヤーは直交するすべての隣接するポイントを占領することで相手の石を捕獲することができます。

ステレオビニールレコードは、左右のステレオチャンネルの両方を1つの溝にエンコードします。ビニールのV字型の溝には、互いに90度の角度の壁があり、各壁の変化によって、ステレオ信号を構成する2つのアナログチャンネルの1つが個別にエンコードされます。カートリッジは、溝に沿って針が2つの直交方向（垂直から左右に45度）に動くのを感知します。^[28] 純粋な水平方向の動きはモノラル信号に対応し、両方のチャンネルが同一（同位相）の信号を伝送するステレオ信号と同等です。

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• 直交リガンド-タンパク質ペア
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